Gửi mọi người một self-study note của mình về đối đồng điều động lực (motivic cohomology) phát triển bởi Voevodsky. Đối đồng điều động lực được dự đoán tồn tại bởi Beillinson, cụ thể, ông dự đoán tồn tại một phức $\mathbb{Z}(n)$ sao cho hypercohomology trên Zariski site này cho ta một đối đồng điều $H^{*,n}(X,\mathbb{Z})=\mathbb{H}_{Zar}^*(X,\mathbb{Z}(n))$ mà khi hạn chế tại một số bậc đặc biệt ta thu được K-lý thuyết Milnor, nhóm Bloch-Chow bậc cao và đồng thời có một dãy phổ hội tụ về K-lý thuyết Quillen sao cho sau khi tensor với $\mathbb{Q}$ dãy phổ này suy biến về $\gamma$-lọc của K-lý thuyết Quillen. Nổi tiếng hơn, giả thuyết Bloch-Kato-Milnor dự đoán tồn tại một đẳng cấu $K^M_*(F)/l \simeq H^*_{et}(F,\mu_l^{\otimes *})$ trong đó $F$ là một trường, $l$ nguyên tố sao cho $1/l \in F$ được Voevodsky chứng minh tương đương với giả thuyết Beillinson-Lichtembaum $H^{p,q}(X,\mathbb{Z}/l) \simeq H^p_{et}(X,\mu_l^{\otimes q})$. Voevodsky sau đó đã được huy chương Fields vì chứng minh trọn vẹn giả thuyết Bloch-Kato bằng cách xây dựng một lớp đa tạp dựa trên công trình của Rost. Với mình đây là thành công đầu tiên hướng tới lý thuyết motive của Grothendieck vì giả thuyết Bloch-Kato đã kết nối hai loại bất biến: transcendental (nhóm Chow) và arithmetic (đối đồng điều etale).
Đối đồng điều động lực tới nay có rất nhiều cách xây dựng, có thể kể đến:
- Như hypercohomology trên Zarikis hoặc Nisnevich site.
- Như nhóm Bloch-Chow bậc cao.
- Như hom-set trong phạm trù motive hình học $\mathbf{DM}_{gm}$ hoặc phạm trù motive hình học effective $\mathbf{DM}^{eff}_{gm}$ (phạm trù này là một ứng viên khá tốt cho phạm trù mixed motives dự đoán bởi Grothendieck nhưng rất tiếc chỉ bằng một ví dụ đơn giản Voevodsky chứng minh nó không có $t$-structure nào theo nghĩa của Deligne.
- Biểu diễn trong phạm trù đồng luân ổn định motivic (không trong note) bằng vật biểu diễn là phổ Eilenberg-MacLane motivic.
Trong note của mình mình chọn hai cách $1$ và $3$, mình không chứng minh chúng agree với nhau mà chọn từng hình thức luận sao cho tiện việc tính toán và đi thẳng vào những chỗ cần đi. Tất cả các định nghĩa trên đều đồng nhất khi ta xét trên phạm trù các đa tạp trơn trên một trường. Trong trường hợp đặc số $0$ trường có giải kì dị ta có thể chỉ xét $k$-đa tạp (không nhất triết hơn) mà vẫn có đối đồng điều motivic.
Mọi người có thể thảo luận thêm về đối đồng điều động lực tại chủ đề này luôn.
File gửi kèm
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 26-08-2022 - 22:28