Đề thi Olympic 30/4 môn Toán khối 10 năm 2021Bài 1: Cho $a,b,c$ là ba cạnh của một tam giác có chu vi là $2$. Chứng minh rằng:\[2\sqrt 2  + \frac{{{a^3} + {b^3} + {c^3} - 3abc}}{6} \le \sqrt {{a^2} + {b^2}}  + \sqrt {{b^2} + {c^2}}  + \sqrt {{c^2} + {a^2}}  < 2\sqrt 3 \]Bài 2: Cho các số thực $x,y,z$ thỏa mãn:\ Chứng minh rằng $x+y+z$ là số nguyên.Bài 3: Với mỗi số nguyên $n \ge 2$, xét một bảng gồm $(2n - 1) \times (2n-1)$ ô vuông. Người ta viết các số $-1, 0, 1$ vào mỗi ô vuông sao cho với mọi bảng con $2 \times 2$, ta luôn tìm được 3 ô sao cho tổng các số viết trên mỗi ô vuông này bằng $0$. Đặt $S_n$ là giá trị lớn nhất của tổng các số được viết trên bảng.(a) Chứng minh rằng $S_2=5$.(b) Chứng minh rằng $S_n = n^2+n-1$.Bài 4: (a) Chứng minh rằng tồn tại hai cặp số $(a,b)$ sao cho $a,b$ là những số nguyên dương thỏa mãn:$$a^2 + 3b^2 = 7^9$$(b) Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho phương trình$$x^2 + y^2 + xy= 7^n$$có nghiệm trong tập các số nguyên không chia hết cho $7$.Bài 5: Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp đường tròn $(O)$. Tia $AO$ cắt $BC$ tại $L$. Gọi $A'$ là điểm đối xứng của $A$ qua $BC$. Tiếp tuyến tại $A'$ của đường tròn ngoại tiếp $A'BC$ cắt $AB,AC$ lần lượt tại $D,E$.(a) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp của các tam giác $A'BD, A'CE, A'AL$ đồng quy tại một điểm khác $A'$.(b) Gọi $J$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ADE$. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp của hai tam giác $ABC, JDE$ tiếp xúc nhau.

Ngày thi thứ nhất Thời gian: 270 phútBài 1 (7 điểm): Cho dãy số $\left ( a_n \right )$ được xác định bởi $a_1 =1$ và $\left\{\begin{matrix} a_{2n}=a_n \\ a_{2n+1} = a_n +1  \end{matrix}\right.$ với $n \geq 1$.a) Tìm tất cả $n$ sao cho $a_{kn}=a_n$ với mọi số nguyên dương $k \leq n$.b) Chứng minh rằng tồn tại vô số $m$ nguyên dương mà $a_{km} \geq a_m$ với mọi số $k$ nguyên dương. Bài 2 (7 điểm): Cho bảng ô vuông $2021 \times 2021$. Tìm giá trị lớn nhất của $k$ sao cho có thể đánh dấu được $k$ ô của bảng mà mỗi ô trong $k$ ô đó thì có chung đỉnh với tối đa 1 ô được đánh dấu. Bài 3 (7 điểm): Cho tam giác $ABC$ và điểm $N$ không trùng với các điểm $A,B,C$. Gọi $A_b$ là điểm đối xứng với $A$ qua đường thẳng $NB$, còn $B_a$ là điểm đối xứng với $B$ qua đường thẳng $NA$. Xác định tương tự với 2 cặp điểm còn lại là $B_c,C_b$ và $C_a,A_c$. Đường thẳng $m_a$ qua $N$ và vuông góc với $B_c C_b$. Xác định tương tự với $m_b, m_c$.a) Giả sử $N$ là trực tâm tam giác $ABC$, chứng minh rằng ba đường thẳng đối xứng với các đường $m_a, m_b, m_c$ lần lượt qua phân giác các góc $\widehat{BNC}, \widehat{CNA}, \widehat{ANB}$ thì trùng nhau.b) Giả sử $N$ là tâm đường tròn Euler của tam giác $ABC$, chứng minh rằng ba đường thẳng đối xứng với các đường $m_a, m_b, m_c$ lần lượt qua $BC,CA,AB$ thì đồng quy tại một điểm. Ngày thi thứ hai Thời gian: 270 phútBài 4 (7 điểm): Cho các số thực không âm $a,b,c$ thoả mãn$2 \left ( a^2 +b^2 + c^2 \right ) +3(ab+bc+ca)=5(a+b+...

Xin chào, mình là pcoVIetnam02 . Có một số bạn đã biết, mình từng làm một chuyên đề phương trình hàm trên tập rời rạc nhưng sau đó vì diễn đàn bảo trì nên topic cũng không cánh mà bay. Và vì các bạn cũng bắt đầu thi Olympic 30/4 rồi nên mình sẽ làm luôn một chuyên đề về phương trình hàm trên tập số thực với khá là nhiều cách giải khác nhau để các bạn có thể trang bị cho kì thì VMO sắp tới. Yêu cầu rất đơn giản:$1)$ Tích cực tham gia, bàn luận và giải các bài toán mình đưa ra (tất nhiên sẽ có bài dễ nhưng mà lâu lâu thôi, vì sắp thì VMO rồi nên mình sẽ coi như các bạn đã biết được cơ bản của phương trình hàm).$2)$ Ủng hộ các bạn đưa ra cách làm của bài đó, phương pháp, trình bày rõ ràng mạch lạc.$3)$ Nếu muốn gửi bài tập cho các bạn khác cùng làm nhớ ghi số thứ tự (sau số của bài cuối cùng được đăng), đăng khoảng từ 1-5 bài và nếu không ai giải được (mình sẽ cố gắng giải cho các bạn) thì người đăng phải gửi lời giải của bài đó. Mong các bạn sẽ hưởng ứng vì chuyên đề này không mấy ai quan tâm, thêm cả việc không quá nhiều người học THPT ở group này nên cũng khó khăn cho mình. Nhưng vì đam mê thì làm thôi chứ biết sao  Sau đây là những bài tập đầu tiên (lấy lại từ những bài trước mình đã làm): $\boxed{1}$ Tìm tất cả các hàm $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ thỏa $g(x+y)+g(x)g(y)=g(xy)+g(x)+g(y)$ , $\forall x,y\in \mathbb{R}$ $\boxed{2}$ Tìm tất cả các hàm $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ thỏa$f(xf(x)+f(y)) = f(x)^2 +y$, $\forall x,y\...

Chào các bạn, mình là 12DecMath. Để tiếp nối series ôn tập hình học của anh spirit1234, mình xin phép được lập lại topic rất hay giúp các bạn lớp 9 có thể ôn tập hình học thi vào THPT chuyên.P/s: Dưới đây là một số bài tập mà mình muốn gửi!$\boxed{1}$ Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I). (I) tiếp xúc với AB,AC lần lượt tại D và E. P là một điểm bất kì trên cung lớn DE của đường tròn (I). Lấy điểm F là điểm đối xứng với A qua PD và M là trung điểm DE. Chứng minh rằng $\hat{FMP}$ = 90o$\boxed{2}$ Cho tam giác ABC (AB<AC) nội tiếp đường tròn (O). Phân giác $\hat{BAC}$ cắt (O) tại E khác A. Gọi M,N lần lượt là trung điểm AB,AC. Trung trực AB,AC cắt AE lần lượt tại P,Q. Chứng minh rằng $PM.PE=QN.QE$$\boxed{3}$ Cho tam giác ABC (AB<AC) ngoại tiếp đường tròn (I), nội tiếp (O), có trực tâm H. (I) tiếp xúc với BC tại D. Khi IO//BC thì chứng minh rằng HD//AO$\boxed{4}$ Cho tam giác ABC nhọn, không cân, nội tiếp đường tròn (O) có trực tâm H. AH cắt BC tại D. Đường tròn (w) tâm A đi qua D cắt (O) tại P,Q. Gọi G là giao điểm của PQ và AD. AO cắt BC tại E và K,M lần lượt là trung điểm của AD,BC. Chứng minh rằng HM,GE,OD đồng quy.$\boxed{5}$ Cho tam giác ABC có I là tâm đường tròn nội tiếp và Ia là tâm đường tròn bàng tiếp ứng với góc A. Đường thẳng qua Ia vuông góc với AIa cắt AC tại E. Gọi H,K lần lượt là hình chiếu của Ia lên AB,AC. L thuộc HK sao cho CL//AB. Chứng minh rằng B,L,E thẳng hàng.$\boxed{6}$(Bài toán khó) Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp (I). Đường chéo AC và BD...

Bài 1. Giới thiệu Ở bài viết này mình sẽ giới thiệu theo kiểu layman về một vấn đề của lý thuyết số hiện đại. 1. Dẫn nhập Một câu hỏi cơ bản và lâu đời nhất của số học là làm thế nào để biết một (hệ) phương trình đa thức với hệ số nguyên (phương trình Diophantus) cho trước có nghiệm nguyên (hay hữu tỉ) hay không, và tìm nghiệm nguyên (hay hữu tỉ) như thế nào? A priori, đây là một câu hỏi rất khó và hoàn toàn có thể là không có câu trả lời. David Hilbert đã phát biểu nó thành bài toán thứ 10 trong danh sách 23 bài toán thế kỷ: Liệu có một thuật toán mà, cho trước một phương trình Diophantus, trả lời rằng phương trình đó có nghiệm hay không?Định lý Matiyasevich đã đưa ra câu trả lời phủ định: Không tồn tại một thuật toán phổ quát như vậy. Chú ý, nếu ta không nói đến nghiệm nguyên (hay hữu tỉ), mà quan tâm đến nghiệm phức (hoặc nghiệm trong một trường đóng đại số), thì vấn đề rất đơn giản: Trong logic toán và lý thuyết mô hình, đây là tính chất khử lượng từ (QE/quatifier /elimination) của lý thuyết ACF (algebraically closed field). Tương tự đối với nghiệm thực (hoặc nghiệm trong một trường đóng thực), lý thuyết RCF (real closed field) cũng có QE. Ngoài ra ta còn có các công cụ của giải tích: thuật toán Sturm, đạo hàm... Ở bài này, chúng ta tìm hiểu lí do tại sao việc tìm nghiệm hữu tỉ lại khó. Tổng quát hơn, ta quan tâm đến việc tìm nghiệm trong một trường số (number field). Đây là bước chuyển từ lý thuyết số sơ cấp sang lý thuyết số đại số....

Chào các bạn; mình là Mr handsome ugly sau một khoảng thời gian diễn đàn bị mất dữ liệu mình quyết định lập lại TOPIC này để giúp các bạn lớp 9 ôn luyện số học để thi chuyên; đồng thời tiếp nối TOPIC cũ đã bị xóa trước kia; không dài dòng nữa sau đây sẽ là nội quy của TOPIC: 1. KHÔNG SPAM LÀM LOÃNG TOPIC; BÀI BIẾT NÀO VI PHẠM SẼ BỊ XÓA 2. TRÌNH BÀY BÀI GIẢI KHOA HỌC NGẮN GỌN; KHÔNG LÀM NGƯỜI XEM KHÓ HIỂU 3. BẤT CỨ BÀI TOÁN NÀO SAU 2 NGÀY KHÔNG CÓ LỜI GIẢI THÌ YÊU CẦU BẠN ĐỀ XUẤT BÀI TOÁN PHẢI ĐƯA BÀI GIẢI 4.HẠN CHẾ SỬ DỤNG CÁC KIẾN THỨC CỦA CẤP 3; CÁC ANH CHỊ LỚP LỚN CŨNG NÊN HẠN CHẾ GIẢI BÀI MÀ THAY VÀO ĐÓ HÃY ĐỀ XUẤT BÀI TOÁN MỚI HOẶC ĐƯA RA LỜI GIẢI THỨ 2 CHO BÀI TOÁN 5. LUÔN ĐÁNH SỐ THỰ TỰ CỦA BÀI; BÀI NÀO ĐÃ ĐƯỢC GIẢI THÌ CẦN ĐƯỢC IN ĐỎ; BÀI VIẾT NÊN ĐƯỢC GÕ BẰNG PHÔNG CHỮ "TIMES NEW RONAM" 6. KHÔNG ĐĂNG CÁC BÀI TOÁN MỞ; GIẢ THUYẾT... *Mong các bạn tuân thủ nội quy TOPIC nhằm có 1 khoảng thời gian "tuyệt vời" trên TOPIC  . Vì mình không nhớ rõ lắm TOPIC trước đã đi đền bài mấy rồi mà chỉ nhớ đã hơn 80 bài nên mình sẽ khỏi động TOPIC bằng bài 80: Bài 80: Chứng minh với mọi n tự nhiên thì $3^{2^{4n+1}}+2^{3^{4n+1}}+5$ luôn chia hết cho 22 Bài 81:Tìm các cặp số nguyên x;y sao cho $x^{6}+x^{3}y=y^{3}+2y^{2}$ bài 82: Tìm x;y nguyên dương sao cho $x^{2}y+x+y$ chia hết cho $xy^{2}+y+1$ Bài 83: Cho m;n nguyên dương thỏa $m+n+1$ là 1 ước nguyên tố của $2(m^{2}+n^{2})-1$. Chứng minh mn là số...

NGƯỜI THÔNG MINH NHẤT HÀNH TINH(dành cho người quan tâm đến Toán, Vật lý và Triết học)...Grigori Perelman, sinh năm 1966 - đứng thứ 9 trong danh sách 100 thiên tài đang sống giữa chúng ta (kết quả bầu năm 2007 khi ông còn chưa được giải Clay vì lời giải bài toán “thiên niên kỷ” của Poincare, trong khi đó đứng đầu danh sách là Hoffman, cha đẻ của “thuốc gây ảo giác LSD”). Tuy vậy theo tôi biết thì cộng đồng khoa học đã từ lâu công nhận ông là nhà khoa học thông thái nhất hành tinh, tôi tuy ngoại đạo nhưng cũng rất tò mò muốn biết con người này thực ra là ai, ngoài những thông tin “lá cải” về việc ông từ chối nhận giải thưởng 1 triệu đôla và ở ẩn đối với tất cả xã hội do đó sống nghèo đói. Đơn giản khi một con người đã tuyệt đỉnh thông minh, thì ngoài việc “lập dị” ra thì mỗi hành động của ông ta phải có cả một câu chuyện dài phía sau, chứ không phải kiểu “nổ” bất thình lình... Và qua cuộc đời ông, tôi thấy được một câu chuyện rất hay về các nhà toán học thời hiện đại, cũng như toán học cần thiết để làm gì, từ những cuộc tranh cãi “32 con gà” ngày nay cho đến thành tựu của Ngô Bảo Châu đều có ý nghĩa cao siêu hơn ta hằng nghĩ!Đầu tiên phải nói thật, gây tò mò nhất đối với tôi là việc ngài Perelman là “chuyên gia từ chối các giải thưởng danh giá”. Hãy xem ông đã từ chối gì:-1996 từ chối giải của Hiệp hội toán học châu Âu (EMC) dành cho các nhà toán học trẻ - giải thưởng này như một bảo đảm cho người lĩnh giải sẽ được nhận vào làm việc tại các trường đại học danh giá nhất của...

https://tongthanhvan...-truyen-ki.html  [Hư Trúc Truyền Kì] Saint Etienne, Hạ tuần tháng 5/2019 Những ngày đầu hè nghe tiếng ve kêu râm ran làm người ta cảm thấy nao nao, nhớ lại tháng ngày vui buồn đi học, những mùa hoa phượng đỏ chia tay bạn bè, thầy cô tìm miền đất mới… Thời gian thấm thoắt thoi đưa gần cả năm từ ngày kết thúc bảo vệ luận án PhD và rời khỏi « thế giới toán học » đi tìm tương lai mới, dường như vẫn đâu đây đọng lại kí ức của những ngày tuổi trẻ phơi phới sống/ăn/ngủ với đam mê riêng mà chả có chút nào nuối tiếc… Thỉnh thoảng nhàn rỗi trà dư tửu hậu đàm đạo với các huynh đệ chuyện trong « giới toán lâm » mà thấy có cảm hứng để quay lại viết cái gì đó, thỏa thích, không câu nệ, có chút thi vị… Ai xem/đọc Thiên Long Bát Bộ của Kim Dung thì chắc hẳn đều biết tới nhân vật Hư Trúc (虛竹), anh sư « ngô nghê«, mắt to mũi lớn, tướng mạo cục súc nhưng tâm tính hiền lành, tốt bụng của Thiếu Lâm tự, huynh đệ với Kiều Phong, Đoàn Dự, kiêm chưởng môn phái Tiêu Dao, thuộc hàng võ lâm cao thủ thượng thừa thời đó, mà chắc số người trong giang hồ có thể tỉ thí đếm trên đầu ngón tay… Điểm Hư Trúc làm ai cũng nhớ tới là thực ra anh ta không có biết gì về võ công, chỉ là một tiểu tăng quét chùa trói gà không chặt. Kim Dung lão nhân gia ưu ái đặc biệt cho nhân vật này, số mạng đổi đời sau khi gặp được quý nhân trong động. Số là Hư Trúc « vô tình » đặt nhầm quân cờ lên bàn mà giải được "Trân Long kỳ trận", 10 năm...

Note này viết về một số kết quả cơ bản của giải tích hàm. Hầu như không có chứng minh nào hoặc rất tóm tắt. Mình rất mong được trao đổi. Đầu tiên chúng ta bắt đầu với I - Định lý Baire về phạm trù. Def. Trong một không gian tô-pô,một tập $G_\delta$ là giao của một họ đếm được các tập mở, một tập $G_\delta$-trù mật là giao của một họ đếm được các tập mở trù mật.Def. Một không gian tô-pô được gọi là Baire nếu mọi tập $G_\delta$-trù mật đều trù mật.Nói cách khác, một không gian $X$ là Baire nếu với mọi cách viết $X$ thành giao của một họ đếm được các tập đóng, ít nhất một trong các tập đó có phần trong khác rỗng. Dễ thấy không gian con mở của một không gian Baire cũng là Baire. Định lý [Baire]. Không gian mê-tríc đầy đủ và không gian Hausdorff, com-pắc địa phương là các không gian Baire. Def. Một tính chất được gọi là đúng hầu khắp nơi theo nghĩa Baire nếu nó đúng trên một tập $G_\delta$-trù mật. Định lý. Giả sử $X$ là một không gian Baire, $(Y,d)$ là một không gian mê-tríc và $f_n: X \to Y$ $(n \in \mathbb{N})$ là một dãy hàm liên tục, hội tụ điểm về $f$. Khi đó $f$ liên tục hầu khắp nơi theo nghĩa Baire. Chứng minhVới $n, p \in \mathbb{N}$, đặt $$F_{n,p}:= \{x \in X \, | \, \forall q \geqslant p, \, d(f_p(x),f_q(x)) \leqslant 2^{-n} \}.$$ Đây là một tập đóng, hơn nữa với mỗi $n \in \mathbb{N}$, dễ thấy $$\bigcup_{p \in \mathbb{N}}F_{n,p} = X.$$Với $U \subseteq X$ là một tập mở tùy ý, ta có $$\bigcup_{p \in \mathbb{N}}(U \cap F_{n,p}) = U,$...

Phần 1: KHÁI NIỆM ĐỊNH THỨC CẤP $n$. Định thức cấp bốn tương ứng với bảng các phần tử: $\begin{align*}\begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\\ a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44}\end{pmatrix}\end{align*}$ được xác định bởi đẳng thức: $\begin{align*}\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\\ a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44}\end{vmatrix}\end{align*}$=$a_{11}.\begin{align*}\begin{vmatrix} a_{22}&a_{23}&a_{24}\\ a_{32}&a_{33}&a_{34}\\ a_{42}&a_{43}&a_{44}\end{vmatrix}\end{align*}$-$a_{12}.\begin{align*}\begin{vmatrix} a_{21}&a_{23}&a_{24}\\ a_{31}&a_{33}&a_{34}\\ a_{41}&a_{43}&a_{44}\end{vmatrix}\end{align*}$+$a_{13}.\begin{align*}\begin{vmatrix} a_{21}&a_{22}&a_{24}\\ a_{31}&a_{32}&a_{34}\\ a_{41}&a_{42}&a_{44}\end{vmatrix}\end{align*}$-$a_{14}.\begin{align*}\begin{vmatrix} a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}\\ a_{41}&a_{42}&a_{43}\end{vmatrix}\end{align*}$. Tương tự, nhờ định thức cấp bốn ta có thể định nghĩa định thức cấp năm v.v...  Các định nghĩa về định thức con và phần phụ đại số của phần tử nào đó và cả hai định lý về các phần phụ đại số đã phát biểu đối với định thức cấp ba vẫn còn có hiệu lực đối với định thức cấp tùy ý.  Do đó, nếu gọi $...