Phạm Tuấn Huy và Jinyoung Park đã giải được Giả thuyết Kahn-Kalai
06-04-2022
Gửi bởi Nesbit
trong Tin tức - Vấn đề - Sự kiện
Mấy hôm trước thấy trên Twitter xôn xao về việc "Jinyoung Park và Huy Pham đã giải được Giả thuyết Kahn-Kalai", một kết quả rất quan trọng trong ngành Tổ hợp và Topo (chính xác hơn là trong mảng Random Graph - Đồ thị Ngẫu nhiên). Mình thì không quá rành về lĩnh vực này, nhưng thấy có tên Việt Nam nên tò mò thử đọc thêm xem kết quả thế nào và xem Huy Pham là ai cho biết Tuy không hiểu nhiều nhưng biết được rằng kết quả này đúng là một bước đột phá trong ngành, và Huy Pham chính là em Phạm Tuấn Huy, người từng giành được hai HCV IMO các năm 2013 và 2014 (nghĩa là tận 10 năm từ khi người trước đó là anh Lê Hùng Việt Bảo đạt được thành tích này; liên tiếp ngay sau Huy thì còn có thêm hai em cũng lặp lại được thành tích). Bài báo được đăng trên arXiv: https://arxiv.org/abs/2203.17207.
Do thời gian không cho phép nên xin mượn tạm bài viết bằng tiếng anh bên dưới của Gil Kalai (đồng tác giả của giả thuyết Kahn-Kalai) để cung cấp thêm thông tin và bối cảnh cũng như các chi tiết kỹ thuật liên quan. Diễn đàn có Nxb và các anh em khác hiểu biết hơn mình nhiều, hi vọng có thể tham gia bình luận và cung cấp thêm thông tin.
Huy hiện đang làm PhD Toán ở Stanford: https://web.stanford.edu/~huypham. Ngoài hai HCV IMO thì thành tích học đại học và nghiên cứu của em ấy cũng ấn tượng không kém (thấy có làm cả về Deep Learning với một bài Oral ở ICLR). Đồng tác giả Jinyoung Park cũng có profile rất thú vị: từ giáo viên dạy Toán cấp 2 rồi qua Mỹ làm...
6133 Lượt xem ·
15 Trả lời
( Trả lời cuối cùng bởi perfectstrong )
Đề tham khảo thi TN THPT 2022
31-03-2022
Các môn còn lại các bạn dowload tại link sau:Link 1https://drive.google...0EB?usp=sharing Link 2: https://drive.google...7kL?usp=sharing
1159 Lượt xem ·
0 Trả lời
Đề thi VMO 2022
04-03-2022
Gửi bởi hoangvipmessi97
trong Thi HSG Quốc gia và Quốc tế
Ngày thi thứ nhất (04/03/2022)Thời gian làm bài: 180 phútBài 1 (5,0 điểm)Cho $a$ là một số thực không âm và dãy số $(u_n)$ được xác định bởi$$u_1=6, \ u_{n+1}= \dfrac{2n+a}{n}+ \sqrt{\dfrac{n+a}{n}u_n +4}, \ \forall n \geq 1$$.a) Với $a=0$, chứng minh rằng $(u_n)$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.b) Với mọi $a \geq 0$, chứng minh rằng $(u_n)$ có giới hạn hữu hạn. Bài 2 (5,0 điểm)Tìm tất cả các hàm số $f:(0;+ \infty) \rightarrow (0;+ \infty) $ thoả mãn$$f \left ( \dfrac{f(x)}{x}+y \right )=1+f(y), \ \forall x,y \in (0;+ \infty)$$ Bài 3 (5,0 điểm)Cho tam giác nhọn $ABC$. Các điểm $E,F$ lần lượt thay đổi trên tia đối của các tia $BA,CA$ sao cho $BF=CE \ (E \neq B, \ F \neq C)$. Gọi $M,N$ tương ứng là trung điểm của $BE,CF$ và $D$ là giao điểm của $BF$ với $CE$.a) Gọi $I,J$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác $DBE,DCF$. Chứng minh rằng $MN$ song song với $IJ$.b) Gọi $K$ là trung điểm của $MN$ và $H$ là trực tâm của tam giác $AEF$. Chứng minh rằng $HK$ luôn đi qua một điểm cố định. Bài 4 (5,0 điểm)Với mỗi cặp số nguyên dương $(n,m)$ thoả mãn $n<m$, gọi $s(n,m)$ là số các số nguyên dương thuộc đoạn $[n;m]$ và nguyên tố cùng nhau với $m$. Tìm tất cả các số nguyên dương $m \geq 2$ thoả mãn đồng thời hai điều kiện sau:i) $\dfrac{s(n,m)}{m-n} \geq \dfrac{s(1,m)}{m}$ với mọi $n=1,2,...,m-1$;ii) $2022^m+1$ chia hết cho $m^2$. Ngày thi thứ hai (05/03/2022)Thời gian: 180 phútBài 5 (6,0 điểm)Cho $P(x)$ và $Q(x)$ là ha...
2321 Lượt xem ·
0 Trả lời
Học và học lại ngành của bạn
04-03-2022
Gửi bởi bangbang1412
trong Kinh nghiệm học toán
Gần đây mình làm thesis M2, khối lượng kiến thức chuẩn bị khá là nhiều, may là mình cũng mang trong túi một ít nhưng vẫn gặp không ít khó khăn như: chứng minh định lý này có cần thiết không, tại sao định nghĩa này lại có hình thức như vậy hoặc chỉ đơn giản là không thể nhìn thấy các khái niệm kết nối như thế nào. Thế nên mình mở topic này vừa là một bài dịch của mình trên blog của giáo sư Terry Tao và cũng là một topic thảo luận phương pháp học toán chủ yếu ở level research, topic sẽ không giới hạn các ngành học hay chủ đề, phương pháp và bất cứ ai có câu hỏi hay đóng góp về cách học có thể post vào đây.
Bài dịch dưới đây lấy nguồn từ, learn and relearn your field, mình sẽ chỉ tập hợp một số bình luận mình thấy có ích.
Học và học lại ngành của bạn
Terence Tao:
"Ngay cả những sinh viên khá tốt, khi họ tìm được lời giải của bài toán và trình bày lại nó một cách gọn gàng, họ gập sách lại và làm một điều gì khác. Làm như vậy, họ đã bỏ lỡ một giai đoạn quan trọng và có tính định hướng của công việc... Một người thầy giỏi nên hiểu và gây ấn tượng để sinh viên của ông ấy hiểu rằng không có bài toán nào có thể bị vét cạn hoàn toàn. Một trong những nhiệm vụ đầu tiên và quan trọng nhất của người thầy là không được làm cho sinh viên có ấn tượng rằng các vấn đề toán học không có mấy kết nối với nhau, và hoàn toàn không có kết nối gì với những thứ khác. Chúng ta có một cơ hội tự nhiên để khảo sát lại bài toán khi ta xem lại lời giải của nó."
George Polýa, Làm thế nào để giải nó....
2547 Lượt xem ·
39 Trả lời
( Trả lời cuối cùng bởi bangbang1412 )
BẤT ĐẲNG THỨC HƯỚNG TỚI KÌ THI CHUYÊN TOÁN 2021-2022
01-03-2022
Gửi bởi KietLW9
trong Bất đẳng thức và cực trị
Bất đẳng thức hướng tới kì thi chuyên toán 2021 - 2022Bài 1: Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=14$. Chứng minh: $\frac{4(c+a)}{a^2+3c^2+28}+\frac{4a}{a^2+bc+7}-\frac{5}{(a+b)^2}-\frac{3}{a(b+c)}\leqslant \frac{8}{15}$ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~Lời giải.Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz dạng phân thức, ta được: $\frac{a^2}{\frac{1}{2}}+\frac{b^2}{\frac{1}{3}}+\frac{c^2}{\frac{1}{6}}\geqslant \frac{(a+b+c)^2}{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}}=(a+b+c)^2$$\Rightarrow 2a^2+3b^2+6c^2\geqslant (a+b+c)^2\Rightarrow 3a^2+2b^2+5c^2\geqslant 2(a+b)(c+a)$Mà $a^2+3c^2+28=a^2+3c^2+2(a^2+b^2+c^2)=3a^2+2b^2+5c^2\Rightarrow a^2+3c^2+28\geqslant 2(a+b)(a+c)\Rightarrow \frac{4(c+a)}{a^2+3c^2+28}\leqslant \frac{4(a+c)}{2(a+b)(a+c)}=\frac{2}{a+b}$Và $\frac{4a}{a^2+bc+7}=\frac{8a}{2a^2+2bc+14}=\frac{8a}{2a^2+a^2+(b+c)^2}\leqslant \frac{8a}{2a^2+2a(b+c)}=\frac{4}{a+b+c}\leqslant \frac{2}{\sqrt{a(b+c)}}$Do đó: $\frac{4(c+a)}{a^2+3c^2+28}+\frac{4a}{a^2+bc+7}-\frac{5}{(a+b)^2}-\frac{3}{a(b+c)}\leqslant \left [ \frac{2}{a+b}-\frac{5}{(a+b)^2} \right ]+\left [\frac{2}{\sqrt{a(b+c)}}-\frac{3}{a(b+c)} \right ] = \left [ \frac{1}{5}-5(\frac{1}{a+b}-\frac{1}{5})^2 \right ]+\left [ \frac{1}{3}-3(\frac{1}{\sqrt{a(b+c)}}-\frac{1}{3})^2 \right ]\leqslant \frac{1}{5}+\frac{1}{3}=\frac{8}{15}$Bất đẳng thức được chứng minhDấu bằng xảy ra khi $a=3,b=2,c=1$
6736 Lượt xem ·
92 Trả lời
( Trả lời cuối cùng bởi letoanthangjk )
Bài toán N−Phương Hậu đã chính thức tìm lời giải cho số các vị trí hợp lệ đó là $\left ( 0.143n \right )^{n}$
12-02-2022
Gửi bởi DOTOANNANG
trong Tin tức - Vấn đề - Sự kiện
Bài toán N−Phương Hậu đã chính thức tìm lời giải cho số các vị trí hợp lệ đó là $\left ( 0.143n \right )^{n}.$Nguồn_ https://news.harvard...-chess-problem/, hi vọng sắp tới mình có thể tham gia và làm tốt hơn trong việc quảng bá hay thảo luận các vấn đề liên quan đến Toán Tổ hợp. Hơn nữa, mình mong các thành viên khác ủng hộ hết mình cho ý tưởng mọi người chung tay cải tạo lại Box Toán Tổ hợp của anh Nxb − người anh rất tâm huyết của diễn đàn.
988 Lượt xem ·
4 Trả lời
( Trả lời cuối cùng bởi perfectstrong )
Phạm trù motive hình học effective, đối đồng điều motivic và K-lý thuyết đại số
15-01-2022
Gửi bởi bangbang1412
trong Toán học hiện đại
Lý thuyết motives xuất hiện để đưa ra lời giải cho việc hợp nhất hai loại lý thuyết đối đồng điều: đối đồng điều thuộc kiểu bất biến hình học-đại số và đối đồng điều thuộc kiểu bất biến siêu việt. Lớp thứ nhất có thể kể tới nhóm Chow và Quillen K-lý thuyết trong khi đó nhóm thứ hai có thể kể tới đối đồng điều Betti và đối đồng điều $l$-adic. Đối đồng điều thuộc loại thứ nhất thường abel và không thể tính toán, Deligne và Beillinson là những người đầu tiên tin rằng nếu đi theo các đối đồng kiểu bất biến hình học-đại số thì sẽ dễ hơn loại thứ hai. Có ba lý thuyết motives tương đương xây dựng bởi Hanamura, Levine và Voevodsky nhưng xây dựng của Voevodsky được cho là đẹp nhất. Những xây dựng đầu tiên của Grothendieck của các Chow motives được cải thiện và trình bày trong một cuốn sách của Levine, ở đây họ xây dựng các phạm trù effective Chow motives theo kiểu đồng điều $M^{eff}(\mathrm{Spec}(k))$ và theo kiểu đồng điều $M_{eff}(\mathrm{Spec}(k))$ chủ yếu dựa vào chu trình đại số và tương đương hữu tỷ nhưng tương đương hữu tỷ làm mất nhiều thông tin và xây dựng này gặp nhiều trục trặc kĩ thuật. Trong bài viết này mình sẽ trình bày xây dựng của Voevodsky vốn được xem là một cải thiện xây dựng cho $M^{eff}$ và phiên bản cải thiện của chính Voevodsky dựa trên lý thuyết $\mathbb{A}^1$-đồng luân, điều đáng kể của phiên bản đơn giản hóa của xây dựng của Voevodsky là nó làm việc được trên mọi lược đồ nền. Mình sẽ trình bày phiên bản đơn giản của phiên bản đầu của Voevodsky trước....
2303 Lượt xem ·
2 Trả lời
( Trả lời cuối cùng bởi bangbang1412 )
[TOPIC] HÌNH HỌC
30-12-2021
Chào các bạn! Hôm nay mình sẽ lập ra một topic hình học, cũng không hẳn là topic, đây đơn giản chỉ là những bài hình mình đã làm và cảm thấy hay nên đăng lên cho các bạn thảo luận. Nếu bạn nào thấy hay và thú vị thì gửi lời giải lên để các bạn cùng tham khảo nhé, còn nếu dễ quá thì các bạn nói hướng cũng được để topic được sôi nổi nhé. Nếu không ai trả lời thì mình sẽ đăng giải. Coi như đây là một trang tổng hợp các bài hình. Tất nhiên trong đây vẫn có một số bài mình đã không có lời giải từ lâu đăng lên cho các bạn suy nghĩ! Mình thì không giỏi hình lắm nên có gì các bạn góp ý nhé!Mở hàng nha Bài 1: Cho $\Delta ABC$ nhọn ($AB<AC$) nội tiếp đường tròn $(O)$. $X$ là chân đường cao hạ từ $A$ xuống $BC$, $Y$ là một điểm di động trên $AX$. Đường tròn tâm $Z$ đường kính $AY$ cắt $AC,AB$ tại $I,J$. Đường tròn $(AIJ)$ cắt $(O)$ tại $L$. $K$ là giao điểm của $BI$ và $CJ$. Chứng minh $L,Y,K$ thẳng hàng
5196 Lượt xem ·
72 Trả lời
( Trả lời cuối cùng bởi KietLW9 )
Vấn đề Hilbert thứ 21
17-12-2021
Gửi bởi bangbang1412
trong Toán học hiện đại
Vấn đề Hilbert thứ 21 dự đoán sự tồn tại của một hệ phương trình vi phân với nhóm monodromy cho trước. Bài viết này giới thiệu sơ lược về vấn đề Hilbert thứ 21 và các khái niệm liên quan. Setting của chúng ta trong bài toán này là lấy một đường cong $X$ xạ ảnh, không suy biến, liên thông trên $\mathbb{C}$. Gọi $U$ là một tập mở trong $X$ sao cho phần bù của $U$ là một số hữu hạn các điểm đóng. Ký hiệu $U^{an}$ là đa tạp phức ứng với $U$ trong nguyên lý GAGA. Trước tiên chúng ta xem xét một định nghĩa hợp lý của phương trình vi phân. Ví dụ $X = \mathbb{P}^1$ và $U \subset \mathbb{P}^1 - \left \{\infty \right \}$, khi đó một hệ phương trình vi phân được mô tả bởi$$\frac{d}{dz}\mathbf{f} = P(z) \cdot \mathbf{f},$$trong đó $P$ là một ma trận các hàm hệ số. Hệ này bao gồm lớp các phương trình vi phân tuyến tính cấp $n$$$f^{(n)}= p_{n-1}f^{(n-1)}+\cdots + p_1f' + p_0f,$$bằng cách lấy $P$ là ma trận$$ P(z)= \begin{pmatrix}
0 & 1 & ... & 0 &0 \\
0 & . & 1 & 0 & 0 \\
\vdots & & \ddots & \ddots & \vdots\\
0 & 0 & & 0 & 1\\
p_0 & p_1 & \cdots & p_{n-2} & p_{n-1}
\end{pmatrix}$$Trong trường hợp đường cong có giống cao hơn, do không có một hệ tọa độ toàn cục nên ta sẽ định nghĩa một hệ phương trình vi phân trên $U$ là một cặp $(M,\nabla)$ trong đó $M$ là một bó nhất quán tự do địa phương $M$ và một liên thông $\nabla: M \to M \otimes \Omega^{1}_{U/\mathbb{C}}$ thỏa m...
1994 Lượt xem ·
1 Trả lời
( Trả lời cuối cùng bởi bangbang1412 )
Các kiến thức cơ bản về Supremum và Infimum
29-10-2021
Có bạn hỏi tôi về cách tìm Supremum và Infimum của một tập $A\subset \mathbb{R}$ như thế nào ? mong bài viết nho nhỏ này sẽ giúp các bạn hiểu rõ hơn về Supremum và Infimum của một tập hợp $A\subset \mathbb{R}$, từ đó có một phương pháp giải các bài toán dạng này cho riêng mình. Định nghĩa Cho $A$ là tập con khác rỗng của $\mathbb{R}$. $\bullet$ Tập $A$ được gọi là bị chặn trên nếu $\exists M\in\mathbb{R}:\,\,\,a\leq M\,\,,\,\forall a\in A$. Với $A$ là tập bị chặn trên thì Supremum của $A$, ký hiệu $Sup A$ là chặn trên nhỏ nhất của $A$, tức là nếu $m$ là một chặn trên của $A$ thì ta luôn có $Sup A\leq m$. Nếu tập $A$ không bị chặn trên thì người ta đặt $Sup \,A=+\infty$. $\bullet$ Tập $A$ được gọi là bị chặn dưới nếu $\exists M\in\mathbb{R}:\,\,\,a\geq M\,\,,\,\forall a\in A$. Với $A$ là tập bị chặn dưới thì Infimum của $A$, ký hiệu $Inf A$ là chặn dưới lớn nhất của $A$, tức là nếu $n$ là một chặn dưới của $A$ thì ta luôn có $Inf A\geq n$. Nếu tập $A$ không bị chặn dưới thì người ta đặt $Inf \,A=-\infty$ Một số kết quả liên quan đến Supremum và Infimum Định lý 1: Cho $A$ là tập con khác rỗng của $\mathbb{R}$ và bị chặn trên. $Sup A=m$ khi và chỉ khi $\left\{\begin{matrix}a\leq m\,\,,\,\forall a\in A\\ \forall \varepsilon >0\,\,,\,\exists a^*\in A:\,\,a^*>m-\varepsilon \end{matrix}\right.$. Hơn nữa, nếu $m$ là một chặn trên của $A$ và $m\in A$ thì $Sup A=m$, lúc này $Sup A$ chính là Maximum...
288 Lượt xem ·
0 Trả lời
Chú ý
Ấn phẩm của Diễn đàn Toán học
Chủ đề mới
-
-
-
-
cho a+ b >1 . CM a4 +b4> $\frac{1}{8}$
Anna lee - Hôm qua, 23:03
-
Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của $S=\dfrac{a+2b+1}{a-b+4}$
Do Linh An - Hôm qua, 22:29
-
CM $\frac{1}{a}+ \frac{1}{b}\geq \frac{4}{a+b}$
Anna lee - Hôm qua, 22:24
-
-
Tài liệu tham khảo
yuutahnee - Hôm qua, 10:27
-
Có thể chia 1 hình vuông bất kì thành n hình vuông
yuutahnee - Hôm qua, 10:21
-
4, CM:đường trung trực của BC đi qua trung điểm E của IH.Tea Coffee - Hôm qua, 08:29
Bài viết mới
-
Câu 2c: Mình tiếp cận bài toán một cách "chân phương ": Xét 2 trường hợp : 1/ $x_1x_3$: lú...
-
Em xin góp lời giải câu 1b Công 2 phương trình ta có $x^{2}+y^{2}=2xy\left ( \frac{1}{...
-
A,B chơi bốc bi, A lấy trước. Mỗi lượt chơi, chọn 1 đống bi bất kì và lấy 1 số viên (ít nhất 1 và có thể lấy hết bi).Hỏi ai có chiến thuật thắng
Explorer - Hôm nay, 10:46
A và B chơi bốc bi trên 3 đống bi. Ai lấy được viên bi cuối cùng là người chiến thắng. Hai người...
-
Tìm (m,n) s/c vs mọi đa thức f(x) bậc m, tồn tại đa thức g(x) bậc n để $g(f(x))\vdots g(x)$
Explorer - Hôm nay, 09:46
Tìm các cặp số nguyên dương (m,n) sao cho với mọi f(x) hệ số thực có bậc m, tồn tại 1 đa thức hệ...
-
Thử câu 2c:Viết lại giả thiết thành: $x_4 > x_3; x_2 > x_3; x_2 > x_1$ và $1\leq x_1,x_2,x_3,x_4...
-
$f(x+y+f(y))=f(x)+ay, \forall x,y \in \mathbb{R}$
chuyenndu - Hôm nay, 07:56
VMO 2016 nhéhttps://artofproblemsolving.com/community/c6h1238586p6311591
-
Tìm $n$ nguyên sao cho $5n-1$ và $55n+11$ là số chính phương, $55n^2-149$ là số nguyên tố.nhungvienkimcuong - Hôm nay, 07:52
Tìm $n$ nguyên sao cho $5n-1$ và $55n+11$ là số chính phương, $55n^2-149$ là số nguyên tố. B...
-
$1 = d_1 < d_2 < ... < d_{16} = n$ thỏa mãn $d_6 = 18$ và $d_9 - d_8 = 7$
nhungvienkimcuong - Hôm nay, 07:48
bài này $d_9-d_8=17$ phải không bạn
-
CM $\frac{1}{a}+ \frac{1}{b}\geq \frac{4}{a+b}$
chuyenndu - Hôm nay, 07:42
$a+b\ge 2\sqrt{ab}$ và $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge \frac{2}{\sqrt{ab}}$. Nhân hai cái này là ra hehe
-
Đề chọn đội tuyển chuyên Nguyễn Du (Đăk Lăk) vòng 1 năm học 2022-2023Bài 1 (6 điểm):a) Giải phươn...
-
Có thể chia 1 hình vuông bất kì thành n hình vuônghxthanh - Hôm nay, 02:17
Bạn có thể giải thích rõ phần quy nạp đoạn n = k + 3, bằng cách chia 4 hình vuông được kh? Mình c...
-
Tính khoảng cách từ tâm quả táo đến chiếc đũa
hxthanh - Hôm nay, 01:44
Sau đây mình làm bài toán trong mặt phẳng (nhờ thầy Thế vẽ hộ cái hình, máy tính mình bị hỏng, cả...
-
Có thể chia 1 hình vuông bất kì thành n hình vuông
yuutahnee - Hôm nay, 00:10
Đây là một bài toán quen thuộc.Ta có thể quy nạp từ $n\to n+3$ bằng cách chia $4$ một hình vuông....
-
cho a+ b >1 . CM a4 +b4> $\frac{1}{8}$
ThienDuc1101 - Hôm qua, 23:24
Ta có $(a+b)^2\leq \frac{a^2+b^2}{2}$. Khi đó, ta có $1
-
cho a+ b >1 . CM a4 +b4> $\frac{1}{8}$
Anna lee - Hôm qua, 23:03
cho a+ b >1 . CM a4 +b4> $\frac{1}{8}$
-
CM $\frac{1}{a}+ \frac{1}{b}\geq \frac{4}{a+b}$
ThienDuc1101 - Hôm qua, 22:37
Bài toán thiếu ĐK : $a>0,b>0$Khi đó bạn đưa về biến đổi tương đương là được nhá.
-
Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của $S=\dfrac{a+2b+1}{a-b+4}$
Do Linh An - Hôm qua, 22:29
Cho $(a^2+2a)^3+b^6+3(a-1)^2+3b^2=3$Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của $S=\dfrac{a+2b+1}{a-b+4}$
-
CM $\frac{1}{a}+ \frac{1}{b}\geq \frac{4}{a+b}$
Anna lee - Hôm qua, 22:24
CM $\frac{1}{a}+ \frac{1}{b}\geq \frac{4}{a+b}$
-
$DL// EF$DaiphongLT - Hôm qua, 21:15
Cho tam giác $ABC$, đường tròn nội tiếp $(I)$ tiếp xúc $BC,CA,AB$ lần lượt tại $D,E,F$. Đường thẳ...
-
gõ thử latexperfectstrong - Hôm qua, 19:44
Bạn phải kẹp trong các dấu đặc biệt. Bạn xem thêm trong đây https://diendantoanhoc.org/topic/6317...
- 622540 Bài viết
- 105724 Thành viên
- konodio Thành viên mới nhất
- 17600 Online đông nhất
1675 người đang truy cập (trong 20 phút trước)
1 thành viên, 1672 khách, 2 thành viên ẩn danh (Xem đầy đủ danh sách)
