Chứng minh của Landau cho bài toán gấp đôi thể tích khối lập phương
07-07-2023
Gửi bởi manguish
trong Lịch sử toán học
Chủ đề dài, gồm 5 phần.Mở đầuDựng hình dưới góc nhìn của Đại sốMột chút đại số trừu tượngChứng minh của Edmund LandauLời kết(Xuyên suốt bài viết này, chúng ta quy ước: dựng hình là dựng hình bằng thước thẳng và compass)
1. Mở đầu
Các bài toán dựng hình đã được nghiên cứu từ thời Hy Lạp cổ đại. Trong giai đoạn đó, nổi lên ba bài toán dựng hình sau:Chia một góc cho trước thành ba góc bằng nhau.Dựng một hình lập phương có thể tích gấp đôi thể tích một hình lập phương cho trước.Dựng một hình vuông có diện tích bằng một đường tròn cho trước.Với những ai đọc về lịch sử toán học, hẳn mọi người đã biết tới ba bài toán dựng hình này, cũng như biết rằng câu trả lời cho cả ba bài toán là: không dựng được. Hai bài toán đầu tiên được giải quyết sau khoảng 2000 năm, bởi nhà toán học người Pháp Pierre Wantzel, bằng đại số, trong đó có lý thuyết mở rộng trường (Theory of Field Extensions).
Trong bài viết này, mình trình bày chứng minh cho bài toán dựng hình thứ hai trong danh sách trên. Tuy nhiên, mình không trình bày chứng minh của Pierre Wantzel, mà là của Edmund Landau. Lý do là mới đây, khi đọc Chương 6 trong cuốn Mathematics and Its History (3rd edition, written by Joh...
6610 Lượt xem ·
48 Trả lời
( Trả lời cuối cùng bởi L_Euler )
Nguyên lý Hasse và tính chất xấp xỉ yếu, bắt đầu từ đâu?
27-06-2023
Gửi bởi nmlinh16
trong Nghiên cứu Toán học
Cuối tháng 5 vừa rồi, ở hội nghị AGAG ở Charlottesville (https://sites.google...gag-at-uva/home), một bạn đồng nghiệp đã hỏi mình rằng nếu muốn nghiên cứu về vấn đề nguyên lý địa phương-toàn cục (nguyên lý Hasse) và tính chất xấp xỉ yếu cho đa tạp đại số trên trường số, thì nên bắt đầu từ đâu. Mình nghĩ sẽ có ích, nên mình sẽ đăng lại email trả lời của mình (tiếng Anh ở dưới): Rất vui được gặp bạn hôm nay ở Charlottesville. Vì bạn đã hỏi một số tài liệu tham khảo về nguyên lý Hasse và tính chất xấp xỉ yếu để bắt đầu tìm hiểu, tôi viết thư cho bạn hòng trả lời câu hỏi đó. Dưới đây là "túi khôn" của những những người trong cùng trường phái với tôi.
Trước hết, bạn cần làm quen với đối đồng điều Galois, lý thuyết trường các lớp và các định lý đối ngẫu số học (đối ngẫu địa phương Tate và đối ngẫu toàn cục Poitou-Tate. Tài liệu tham khảo điển hình cho chủ đề này là ghi chú "Arithmetic Duality Theorems" (miễn phí) của James S. Milne, hoặc cuốn sách của Harari mà bản tiếng Anh có tựa là "Galois Cohomology and Class Field Theory".
Cuốn sách "gối đầu giường" có lẽ là "Torsors and Rational Points" của Skorobogatov. Trở ngại Brauer-Manin, torsors trong hình học số... được giải thích...
3487 Lượt xem ·
0 Trả lời
Hướng dẫn vẽ hình phẳng trên GeoGebra (Với hình ảnh minh hoạ chi tiết các thao tác vẽ)
12-05-2023
Gửi bởi HaiDangPham
trong Hình học
I. GIỚI THIỆU Chào mọi người! Mình là HaiDangPham. Mình mới gia nhập diễn đàn được một tháng, hiện đang là ĐHV THCS. Bài viết này giới thiệu đến mọi người một tài liệu do mình biên soạn: HƯỚNG DẪN VẼ HÌNH PHẲNG TRÊN GEOGEBRA (Với hình minh hoạ chi tiết các thao tác vẽ) Mục đích của tài liệu: giúp mọi người có thể sử dụng phần mềm vẽ hình GeoGebra (phiên bản web) một cách nhanh chóng nhất thông qua việc tự đọc. *Diễn đàn của mình hình như hiện tại mới chỉ có một bài viết (năm 2016) của anh Nesbit hướng dẫn sơ lược vẽ hình trên phần mềm GeoGebra (được tích hợp vào trong chương trình gõ công thức LaTex của diễn đàn). Đã 7 năm trôi qua, GeoGebra giờ đây đã có phiên bản web vô cùng tiện lợi, và chắc chắn cũng đã bổ sung thêm nhiều tính năng. Vì lý do này, một tài liệu mới để hướng dẫn sử dụng phiên bản web của Geo Gebra là cần thiết. Mình cũng đã trao đổi qua ý tưởng với anh perfectstrong (quản trị viên của diễn đàn) và được anh khuyến khích làm. Ban đầu mình có hai hướng: soạn thảo văn bản bằng Word hoặc làm video. Tuy nhiên, soạn văn bản bằng Word thì việc dàn trang sẽ quá mất công, còn làm video thì mình không biết cách làm. Rồi...
2590 Lượt xem ·
11 Trả lời
( Trả lời cuối cùng bởi HaiDangPham )
Đời sống toán học ở nước Việt Nam Dân Chủ Cộng Hòa
04-04-2023
Gửi bởi nmlinh16
trong Lịch sử toán học
Chú dẫn của người dịch: Alexandre Grothendieck (1928-2014) là nhà toán học được công nhận rộng rãi là có ảnh hưởng nhất thế kỷ XX. Các công trình của ông đã cách mạng hóa Hình học đại số, Tôpô đại số, Đại số đồng điều cũng như Lý thuyết số bằng việc sử dụng rộng rãi ngôn ngữ Lược đồ, Phạm trù và Hàm tử. Năm 1967, giữa bom đạn của chiến tranh Việt Nam, ông đã đến Miền Bắc và mở lớp giảng bài cho Đại học Hà Nội đang sơ tán trong rừng. Ông đã bán chiếc huy chương Fields của mình để góp phần gây quỹ "Một tỷ cho Việt Nam". Là người có tinh thần phản chiến mãnh liệt, chuyến đi Việt Nam dường như đã tác động lớn đến tư tưởng của Grothendieck. Sau khi trở về Paris, ông đã quay lưng với cộng đồng toán học và ở ẩn. Về cuối đời, ông đã gửi tuyên bố không cho xuất bản hay tái bản bất kỳ công trình khoa học nào của mình, ông muốn bị lãng quên. Tất nhiên, giới toán học đã không thể làm vậy. Một trong những "định lý" quan trọng nhất mà Grothendieck đã công bố là "Tồn tại một nền toán học Việt Nam". Bài dịch sau đây là hồi ký của Grothendieck về chuyến thăm Việt Nam năm 1967. PHẦN I Đầu năm nay, tôi nhận được (nhờ các bên trung gian) thỉnh cầu từ phía cá...
2143 Lượt xem ·
6 Trả lời
( Trả lời cuối cùng bởi Nesbit )
Lý thuyết về các derivator
31-03-2023
Gửi bởi bangbang1412
trong Toán học hiện đại
Ta đã biết rằng các phạm trù tam giác là nơi người ta làm đại số đồng điều nhưng có một vấn đề không tốt của nó là xây dựng nón (cone construction) không có tính hàm tử. Đây là chỗ tạo ra rất nhiều vấn đề thậm chí khiến người ta nghi ngờ rằng phạm trù tam giác chưa phải khái niệm đúng (ngày nay ta có các $\infty$-phạm trù ổn định và các phạm trù mô hình ổn định). Nhưng chúng ta cũng không thể định nghĩa lại phạm trù tam giác mà dùng một hàm tử nón được. Bản thân Verdier là người nghĩ ra định nghĩa đã nhận xét rằng một phạm trù tam giác mà được trang bị một hàm tử nón thì phải chẻ. Do đó nếu muốn xây dựng nón có tính hàm tử thì nó không phải một tính chất của phạm trù gốc, mà nó nằm trên một "phạm trù cao hơn". Nói khác nữa, khi nghiên cứu phạm trù tam giác (và đặc biệt hình thức luận sáu hàm tử) ta "không nên" nghiên cứu từng phạm trù đơn lẻ mà phải đi theo các họ phạm trù. Một trong các cách đầu tiên được đề xuất để sửa chữa tính không-hàm tử là lý thuyết về các derivator của Grothendieck trong Pursuing Stacks năm 1983 và sau đó được công bố lại dưới tập bản thảo 2000 trang có tên Les Dérivateurs. Bài viết này của mình là một dẫn nhập về lý thuyết derivator. Một trong các...
886 Lượt xem ·
1 Trả lời
( Trả lời cuối cùng bởi bangbang1412 )
Luis A. Caffarelli được trao giải Abel năm 2023
24-03-2023
Gửi bởi Nesbit
trong Tin tức - Vấn đề - Sự kiện
Viện Hàn lâm Khoa học và Văn học Na Uy vừa trao Giải thưởng Abel 2023 cho Luis A. Caffarelli (Đại học Texas ở Austin, Mỹ) vì những đóng góp quan trọng của ông cho lý thuyết chính quy (regularity theory) cho các phương trình đạo hàm riêng phi tuyến, bao gồm các bài toán biên tự do và phương trình Monge-Ampère. Các phương trình đạo hàm riêng phát sinh một cách tự nhiên như các quy luật tự nhiên, cho dù để mô tả dòng chảy của nước hay sự phát triển của dân số. Những phương trình này luôn là đề tài nghiên cứu sôi nổi kể từ thời của Newton và Leibniz. Tuy nhiên, bất chấp những nỗ lực đáng kể của các nhà toán học trong nhiều thế kỷ, những câu hỏi cơ bản liên quan đến tính ổn định hoặc thậm chí tính duy nhất, sự xuất hiện và loại điểm kỳ dị của một số phương trình chính vẫn chưa được giải quyết.Trong khoảng thời gian hơn 40 năm, Luis Caffarelli đã có những đóng góp đột phá trong lý thuyết chính quy (tức là việc loại trừ hoặc mô tả các điểm kỳ dị). Lý thuyết chính quy nắm bắt các đặc điểm định tính chính của các lời giải ngoài thiết lập giải tích hàm ban đầu. Điều này rất quan trọng cho việc mô hình hóa (ví dụ, liệu giả định về các trường biến đổi vĩ mô có tự nhất quán không?),...
1662 Lượt xem ·
2 Trả lời
( Trả lời cuối cùng bởi Nesbit )
Phỏng vấn với Joseph Ayoub
23-03-2023
Gửi bởi bangbang1412
trong Kinh nghiệm học toán
Phỏng vấn với Joseph Ayoub Joseph Ayoub, Giáo sư ngành Toán học tại Đại học Zurich, là người đầu tiên giữ ghế "Alexzandria Figueroa và Robert Penner". Ông quan tâm đến đối đồng điều của các đa tạp đại số và lý thuyết motive. Ông đã bắt đầu hứng thú với toán học như thế nào? Tôi đã luôn hứng thú với toán. Từ lúc bắt đầu thời thiếu niên tôi đã có những điểm số tốt trong mọi môn học nhưng toán học đã luôn là hứng thú đặc biệt của tôi: trong thời gian rảnh của tôi, tôi thưởng thức việc giải quyết các vấn đề toán học. Khi đã làm hết, tôi tự kiếm thêm những vấn đề mới. Tôi đã đặc biệt thích hình học phẳng nhưng tôi cũng đã thích tính toán các thứ khác và giải các phương trình. Trong thời gian nghỉ tôi thường biến mất vào các thư viện để tra cứu các bài báo toán học thông qua Bách Khoa Toàn Thư. Đây là cách làm thế nào tôi quen thuộc với một lượng lớn khái niệm hiện đại như bài toán phân loại các nhóm đơn. Tôi đã có thể tiếp cận một lượng không nhỏ "toán cao cấp" ở tuổi còn rất trẻ khi tôi tìm thấy vài bài báo trong kho của căn hộ nhà tôi ở Beyrouth. Chúng là các bản thảo của các bài giảng tô-pô đại cương mà bố tôi - một giáo sư toán học - đã giảng dạy ở đại học...
2208 Lượt xem ·
0 Trả lời
Bài viết mới
-
$\sum \frac{\sqrt{a+b}}{c+3ab} \geq \frac{3\sqrt{2}}{4}$VGNam - Hôm qua, 22:36
Với $a,b,c\geq 0$ sao cho $ab + bc +ca = 3$. Hãy chúng minh điều sau đúng: $\sum \...
-
Tìm giới hạn $L=\lim\limits_{x\to n^-} \lfloor x^2\lfloor x^2\lfloor x^2\rfloor\rfloor\rfloor$Konstante - Hôm qua, 22:07
Mình lập luận thế này: $$\lfloor x^2 \rfloor \xrightarrow[x \to n^{-}]{} n^2-1$$Nếu $n=1$ thì giớ...
-
Tìm giới hạn $L=\lim\limits_{x\to n^-} \lfloor x^2\lfloor x^2\lfloor x^2\rfloor\rfloor\rfloor$Thegooobs - Hôm qua, 20:31
$\newcommand{fl} {\left\lfloor #1 \right\rfloor}$Với $n$ là số nguyên dương cho trước. $\fl x$ là...
-
Số cách đặt các quân mã lên bàn cờ 4*4 mà mỗi hàng, mỗi cột chỉ chứa đúng 2 quân mã?
duong966123 - Hôm qua, 20:31
Câu hỏi phụ: có bao nhiêu cách đặt quân mã thỏa đề mà chúng không ăn nhau ? :D Đã nhắc tới q...
-
Số cách đặt các quân mã lên bàn cờ 4*4 mà mỗi hàng, mỗi cột chỉ chứa đúng 2 quân mã?
duong966123 - Hôm qua, 20:21
Hình dưới là khả năng các cột có thể xảy ra.Gọi $(xyzt)$ là một cách "lắp" các cột tạo thành bảng...
-
Số cách đặt các quân mã lên bàn cờ 4*4 mà mỗi hàng, mỗi cột chỉ chứa đúng 2 quân mã?Leonguyen - Hôm qua, 20:15
Câu hỏi phụ: có bao nhiêu cách đặt quân mã thỏa đề mà chúng không ăn nhau ? :D Đã nhắc tới q...
-
Cho tam giác $ABC$ ($AB<AC$) nội tiếp trong đường tròn $(O)$ với phân giác trong $AD$ ( $D$ nằm trên cạnh $BC$). $M$ là trung điểm $BC$hoangkimca2k2 - Hôm qua, 16:41
Cho tam giác $ABC$ ($AB
-
Số cách đặt các quân mã lên bàn cờ 4*4 mà mỗi hàng, mỗi cột chỉ chứa đúng 2 quân mã?perfectstrong - Hôm qua, 15:10
Cho bàn cờ $4*4$.Có bao nhiêu cách đặt các quân mã lên bàn cờ đó sao cho trên mỗi ô chứa nhiều nh...
-
Số cách đặt các quân mã lên bàn cờ 4*4 mà mỗi hàng, mỗi cột chỉ chứa đúng 2 quân mã?
Leonguyen - Hôm qua, 00:05
Hình dưới là khả năng các cột có thể xảy ra.Gọi $(xyzt)$ là một cách "lắp" các cột tạo thành bảng...
-
Chứng minh ba đường thẳng AM,DN,PQ đồng quy
Dat lon don - 15-04-2024 - 23:22
( hình như đề bài bạn sai phk là AN,DM,PQ đồng quy ) siêu gà hình nên có gì ngộ nhận th...
-
Cho điểm $A(-2;1),B(1;-2)$ tìm tập hợp điểm M thỏa mãn: $2MA+3MB\leqslant 6\sqrt{2}$
Leonguyen - 15-04-2024 - 21:03
$2MA+3MB=2(MA+MB)+MB$ $\geq2AB=6\sqrt2,$ dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $\left\{\begin{matrix} M\...
-
Số cách đặt các quân mã lên bàn cờ 4*4 mà mỗi hàng, mỗi cột chỉ chứa đúng 2 quân mã?William Nguyen - 15-04-2024 - 18:28
Cho bàn cờ $4*4$.Có bao nhiêu cách đặt các quân mã lên bàn cờ đó sao cho trên mỗi ô chứa nhiều nh...
-
$2^x\cdot p^2+27=y^3$tomeps - 15-04-2024 - 17:35
$2^x p^2 = (y-3)(y^2 + 3y + 9)$ Giả sử $y$ chẵn thì $VP \not \vdots 2$. Như vậy $x = 0$. Mà $x$...
-
$2^x\cdot p^2+27=y^3$Giabao209 - 15-04-2024 - 14:24
tìm số nguyên dương $x, y$ và số nguyên tố $p$ sao cho:$2^x\cdot p^2+27=y^3$
-
Chứng minh ba đường thẳng AM,DN,PQ đồng quy
Dat lon don - 14-04-2024 - 23:30
Đợi tôi tí nhé
-
Cho điểm $A(-2;1),B(1;-2)$ tìm tập hợp điểm M thỏa mãn: $2MA+3MB\leqslant 6\sqrt{2}$
Toi yeu Toan hocc - 14-04-2024 - 22:59
Cho điểm $A(-2;1),B(1;-2)$ tìm tập hợp điểm M thỏa mãn: $2MA+3MB\leqslant 6\sqrt{2}$
-
Chứng minh ba đường thẳng AM,DN,PQ đồng quy
nguyenlvtNo1 - 14-04-2024 - 22:51
Một bài hình dựa theo câu hình IMO 1995Em suy nghĩ nhiều ngày nhưng vân chưa nghĩ ra được, mọi ng...
-
từ các chữ số 1;2;3 lập được bao nhiêu số gồm 5 chữ số có mặt đủ 3 chữ số trênNobodyv3 - 14-04-2024 - 20:31
Ở phần nguyên lý bù trừ tại sao phải cộng 3 vậy ạ!!Số các số 5 chữ số không có ràng buộc gì :$3^5...
-
CM $S = \{u_1 = (1, 1, 2), u_2 = (1, 2, 5), u_3 = (5, 3, 4)\}$ không là cơ sở của $W = \left\langle S \right\rangle$
Konstante - 14-04-2024 - 11:20
a) Do $7u_1 - 2u_2 = u_3$ nên $S$ không là cơ sở của $W$.b) Do $u_1$ và $u_2$ độc lập tuyến tính...
-
với mọi cặp số nguyên dương a, b được tô khác màu thì tông a + b được tô bởi màu còn lại?hovutenha - 14-04-2024 - 08:01
Giả sử tồn tại các tô thỏa mãn.Không mất tính tổng quát ta giả sử số $1$ được tô màu xanh.Trường...
- 631119 Bài viết
- 110318 Thành viên
- ra504 Thành viên mới nhất
- 17600 Online đông nhất
1945 người đang truy cập (trong 10 phút trước)
0 thành viên, 1945 khách, 0 thành viên ẩn danh (Xem đầy đủ danh sách)
