Trang chủ

Javascript bị vô hiệu

Javascript bị vô hiệu, một vài chức năng sẽ không hoạt động. Vui lòng bật lại Javascript để sử dụng đầy đủ các chức năng.

Thế nào là một lược đồ?

12-03-2023

Gửi bởi bangbang1412 trong Toán học lý thú

Đã rất lâu kể từ khi Grothendieck giới thiệu lý thuyết lược đồ (scheme theory) trong bộ "Éléments de géométrie algébrique" thì tới nay lược đồ đã trở thành một ngôn ngữ cơ bản của hình học đại số và có ứng dụng sâu rộng trong những ngành liên quan như lý thuyết số. The very notion of a scheme has a childlike simplicity - so simple, so humble in fact that no one before me had the audacity to take it seriously. Nó đã một lần và mãi mãi thay đổi hình học đại số thành một ngôn ngữ quá sức trừu tượng với bất cứ ai, nhất là những ai không có khả năng về đại số (David Mumford từng viết một bài "Có thể giải thích lý thuyết lược đồ cho một nhà sinh học không?") vì một lý do đơn giản, nó dựa rất nặng trên ngôn ngữ đại số giao hoán. Ngày nay không ai có thể học hình học đại số mà không học ngày càng nhiều đại số giao hoán. Vào thời kỳ mà lý thuyết lược đồ mới bắt đầu, nó đã làm "sấp ngửa" các nhà toán học. David Mumford từng viết Then Grothendieck came along and turned a confused world of researchers upside down, overwhelming them with the new terminology of schemes as well as with a huge production of new and very exciting results. These notes attempted to show something that was still very controversial at that time: that schemes really were the most natural language for algebraic geometry and that you did not need to sacrifice geometric intuition when you spoke "scheme". Thậm chí ngay cả P. Cartier, một người mà Grothendieck đặc biệt ngưỡng bộ về tốc độ học nhữ...

Tôpô số học: số nguyên tố giống nút như thế nào?

07-03-2023

Gửi bởi nmlinh16 trong Toán học lý thú

Xin được gửi các thành viên của diễn đàn bài viết của mình về sự liên hệ giữa lý thuyết số và lý thuyết nút:"Tôpô số học: số nguyên tố giống nút như thế nào?"https://drive.google...?usp=share_link

Phỏng vấn với Jean-Pierre Serre

20-02-2023

Gửi bởi bangbang1412 trong Kinh nghiệm học toán

Phỏng vấn với Jean-Pierre Serre While other sciences search for the rules that God has chosen for the Universe, we mathematicians search for the rules that even God has to obey. Trong khi các ngành khoa học khác tìm kiếm các quy luật mà Chúa đã chọn cho vũ trụ, chúng tôi những nhà toán học tìm kiếm các quy luật mà ngay cả Chúa cũng phải tuân theo. Jean-Pierre Serre sinh năm 1926 tại Pháp. Ông từng theo học toán tại đại học sư phạm Paris. Vào năm 1954, ở tuổi 28, ông đã được giải Fields bởi Hiệp hội Toán học Quốc tế, chứng nhận cao nhất cho một thành tựu trong toán học. Hai năm sau ông được bổ nhiệm chức Giáo sư về Đại số và Hình học tại College de France, nơi mà ông là giáo sư trẻ nhất trong khoảng 15 năm. Ông thăm khoa toán Đại học Quốc Gia Singapore từ ngày 2 tới 15 tháng Hai năm 1985. Chuyến thăm của ông được tài trợ chương trình trao đổi học thuật Pháp-Sing. Khi ở Singapore, giáo sư Serre đã trình bày hai bài giảng về đường cong đại số trên trường hữu hạn và một bài giảng về hàm Ramanujan. Ông cũng góp một bài nói seminar hai tiếng về chứng minh của Falting cho giả thuyết Mordell, và một bài giảng hội đàm với tiêu đề "Biệt thức = $b^2-4ac$" về class numbers của các trường toàn phương ảo (imaginary quadratic fields). Vào ngày 14 tháng hai năm 1985, ông có một cuộc phỏng vấn trong đó ông thảo luận nhiều khía cạnh sự nghiệp toán học của mình và cách nhìn của ông về toán học. Những gì sau đây là ghi chép từ cuộc phỏng vấn đó, chỉnh sửa bởi C. T. Chong...

Lý thuyết phạm trù vô cực mang lại tầm nhìn “từ trên xuống” cho toán học

11-02-2023

Gửi bởi nmlinh16 trong Toán học lý thú

THÔNG TIN CHUNGBài viết gốc: Infinity Category Theory Offers a Bird’s-Eye View of Mathematics, đăng trên Scientific American, Volume 325, Issue 4, October 2021. https://www.scientif...f-mathematics1/Tác giả: Giáo sư Emily Riehl, Johns Hopkins University, chuyên gia về lý thuyết phạm trù bậc cao và lý thuyết đồng luân, các công trình của cô liên quan đến phạm trù mô hình và nền tảng của lý thuyết phạm trù vô cực.Hình vẽ: Họa sĩ Matteo Farinella.Người dịch: Nguyễn Mạnh Linh, Université Paris-Saclay. Một ngày thu ở New England, khi còn là sinh viên năm ba, tôi đi ngang qua một ga tàu điện ngầm và một bài toán đã lọt vào mắt tôi. Một người đàn ông cùng những ý tưởng được vẽ nguệch ngoạc trên tường, một trong số đó là bài toán dựng một hình lập phương với thể tích gấp đôi một hình lập phương khác cho trước, bằng thước thẳng và compa. Điều này làm tôi phải dừng lại. Tôi đã thấy bài toán này trước đây, đó là một câu đố từ hơn hai thiên thiên kỷ trước, mà theo Plutarch thì tác giả là Plato. Một thanh thước thẳng (lý tưởng) cho phép kéo dài một đoạn thẳng theo cả hai hướng, và một chiếc compa cho phép vẽ một đường tròn với bán kính tùy ý và tâm cho trước. Cái khó của câu đố này là các điểm và độ dài được dựng ra sau cùng hoặc phải có từ đầu, hoặc phải được dựng từ những thông tin trước đó. Để gấp đôi thể tích của hình lập phương, ta bắt đầu với độ dài cạnh của nó. Ta hoàn toàn có thể xem độ dài này là $1$ vì đó là độ dài duy nhất được cho tr...

Phạm Tuấn Huy được trao Clay Research Fellowship

31-01-2023

Gửi bởi Nesbit trong Tin tức - Vấn đề - Sự kiện

Ngày 27/1 vừa qua, viện Clay đã công bố danh sách hai người được trao fellowship năm 2023, đó là Phạm Tuấn Huy và Paul Minter. Đây là một "giải thưởng" rất danh giá dành cho những nhà Toán học trẻ tiềm năng vừa xong hoặc sắp xong PhD. The Clay Mathematics Institute is pleased to announce that Paul Minter and Huy Tuan Pham have been awarded Clay Research Fellowships.Paul Minter obtained his PhD in 2022 from the University of Cambridge, advised by Neshan Wickramasekera. Paul has been appointed as a Clay Research Fellow for four years beginning 1 July 2023. Huy Tuan Pham will receive his PhD in 2023 from Stanford University, where he is advised by Jacob Fox. Huy has been appointed as a Clay Research Fellow for five years beginning 1 July 2023. Trước đó thì Huy chính là người đã giải được giả thuyết Kahn-Kalai nổi tiếng. Mình nói "Huy giải được", mặc dù bài báo có hai tác giả, là bởi vì chính em là người tìm ra lời giải. Anh em tham khảo thêm bài phỏng vấn của em ấy ở đây: https://www.twosigma...o-sigma-fellows. Ngoài ra thì em còn có nhiều bài báo quan trọng khác, xem thêm profile trên Clay và trang web cá nhân của Huy. Xin chúc mừng Huy. Tin rằng em sẽ còn gặt hái được nhiều thành tựu hơn nữa trong tương lai gần.

Giới thiệu phạm trù mô hình và lý thuyết đồng luân

30-01-2023

Gửi bởi nmlinh16 trong Toán học hiện đại

Khái niệm phạm trù mô hình (model category) được đưa ra bởi Quillen năm 1967, trong nỗ lực tổng quát hóa đại số đồng điều thành lý thuyết đồng luân cho các đối tượng không abel như không gian tô pô, nhóm, đại số trên một vành... Ngôn ngữ phạm trù mô hình và khái niệm đồng luân tổng quát là một phần quan trọng trong K-lý thuyết đại số cũng như hình học đại số. Một phần của lý thuyết phạm trù mô hình và đồng luân là lý thuyết đồng luân đơn hình đã được viết ở bài https://diendantoanh...g-luân-đơn-hình. Chúng ta sẽ trình bày những khái niệm và kết quả cơ bản của lý thuyết này. 1. Ví dụ: Không gian tô pô và phức dây chuyền Xét phạm trù $\mathbf{Top}$ các không gian tô pô.Nhắc lại rằng hai ánh xạ liên tục $f, g: X \to Y$ được gọi là đồng luân nếu tồn tại ánh xạ liên tục $H: X \times [0,1] \to Y$ sao cho $H(-,0) = f$ và $H(-,1) = g$ (một phép đồng luân giữa $f$ và $g$). Khi đó, ta ký hiệu $f \simeq g$.Hai không gian $X$ và $Y$ được gọi là tương đương đồng luân nếu tồn tại các ánh xạ liên tục $f: X \leftrightarrows Y: g$ sao cho $fg \simeq 1_Y$ và $gf \simeq 1_X$. Khi đó, ta ký hiệu $X \simeq Y$. Nếu $(X,x)$ và $(Y,y)$ là các không gian định điểm, ta ký hiệu hởi $[(X,x), (Y,y)]$ thương của tập hợp các ánh xạ định điểm $(X,x) \to (Y,y)$ bởi quan hệ đồng luân định điểm (một phép đồng luân định điểm $H$ giữa hai ánh xạ định điểm là một phép đồng luân sao cho $H(-,t)$ là ánh xạ định điểm với mọi $t \in [0,1]$). Vớ...

Bài giảng Grothendieck - lời tựa của Peter Scholze

19-01-2023

Gửi bởi bangbang1412 trong Các nhà Toán học

Bài giảng Grothendieckbởi Frédéric Jaëck và các tác giả khác.Lời giới thiệu bởi Peter Scholze. Làm thế nào để viết một lời giới thiệu cho một quyển sách về công trình và tầm ảnh hưởng của Grothendieck? Những ý tưởng của ông đã định hình cách suy nghĩ của tôi về toán học, và chắc chắn nó cũng đúng với các nhà toán học xung quanh tôi tới mức không thể hình dung được. (1) (1): Có lần ai đó hỏi tôi rằng tôi có nghiên cứu các công trình của những con người kinh điển như Poincaré, Riemann, Siegel,... không, câu trả lời của tôi là "Với tôi, toán học bắt đầu với Grothendieck." Nhưng tôi được sinh sau khi Grothendieck đã rời khỏi toán học từ lâu, và chẳng phải một nhà sử học hay đã đọc rất nhiều công trình gốc, tôi không thể nói chính xác Grothendieck đã đóng góp những gì. Mặt khác, khi tôi nhận được yêu cầu tôi đã bắt đầu làm quen dần với lý thuyết không gian Banach cơ bản. Với tôi, thật ngạc nhiên khi thấy những đóng góp nổi bật của Grothendieck trong ngành này. Trước đó tôi đã mù mờ biết rằng Grothendieck làm gì đó với những công trình đầu tiên về không gian tô-pô véc-tơ, nhưng không biết những kết quả đó có ảnh hưởng thế nào. Điều này giống như một cuộc hội ngộ với một người bạn cũ sống ở một đất nước xa xôi - Này, dạo này anh đang làm gì? Thật tuyệt khi thấy anh lần nữa! Nên tôi muốn nhân dịp này để làm nổi bật mối liên kết giữa các công trình ban đầu của Grothendieck và các công trình sau này của ông về topos, những thứ xuất hiện trong công trình của tôi. Mộ...

Bất biến của đại số đa thức dưới tác động của nhóm hữu hạn

04-12-2022

Gửi bởi nmlinh16 trong Toán học hiện đại

1 - GIỚI THIỆU Một định lý quen thuộc nói rằng mọi đa thức đối xứng đều biểu diễn được (một cách duy nhất) dưới dạng hàm đa thức theo các đa thức đối xứng sơ cấp. Cụ thể, nếu ta xét tác động hiển nhiên của nhóm đối xứng $S_n$ trên đại số đa thức $K[x_1,\ldots,x_n]$ (với $K$ là một trường tùy ý) thì ta có đẳng cấu đại số $$K[y_1,\ldots,y_n] \to K[x_1,\ldots,x_n]^{S_n} := \{f \in K[x_1,\ldots,x_n]: \forall \sigma \in S_n, \sigma \cdot f = f\}$$ $$y_i \mapsto e_i,$$ trong đó $e_i$ là đa thức đối xứng sơ cấp thứ $i$, được định nghĩa bởi $$\begin{align*} e_1 & = x_1 + \cdots + x_n, \\ e_2 & = \sum_{1 \le i < j \le n} x_i x_j, \\ \vdots \\ e_n & = x_1\cdots x_n.\end{align*}$$Dễ thấy trong trường hợp trên, nhóm $S_n$ tác động lên $K[x_1,\ldots,x_n]$ bằng các đẳng cấu $K$-đại số phân bậc. Lý thuyết bất biến của nhóm hữu hạn quan tâm đến bài toán tổng quát: cho $G$ là một nhóm ma trận hữu hạn (một nhóm con của $\text{GL}_n(K)$), nó tác động lên không gian các đa thức thuần nhất bậc 1 (sinh bởi $x_1,\ldots,x_n$), vì thế tác động lên $K[x_1,\ldots,x_n]$ một cách tự nhiên. Ta biết gì về đại số con bất biến $K[x_1,\ldots,x_n]^G$? Về mặt tính toán toán, người ta quan tâm đến các câu hỏi sau. Tìm một hệ sinh (theo nghĩa $K$-đại số) $f_1,\ldots,f_m$ cho $K[x_1,\ldots,x_n]^G$, tức là ta có toàn cấu $$K[y_1,\ldots,y_m] \to K[x_1,\ldots,x_n]^G, \qquad y_i \mapsto f_i.$$ (Ta sẽ thấy rằng hệ sinh như vậy luôn tồn tại theo định lý hữu hạn Hilbert, và kết quả vẫn đúng n...

Toán học như văn hóa và tri thức

27-10-2022

Gửi bởi bangbang1412 trong Toán học lý thú

Toán học như văn hóa và tri thức - Mathematics as Culture and Knowledge Toán học là một hoạt động tri thức, được cho là một trong những hoạt động tinh tế nhất từng được tạo ra bởi văn minh nhân loại. Hermann Hesse phác họa chân dung những hoạt động của các nhà toán học một cách ẩn dụ trong Glass Bead Game. Có lẽ đó là nỗ lực văn học tốt nhất để bắt dù chỉ một cái nhìn thoáng qua những hoạt động nội tại trong xã hội toán học. Người ta không phê phán một tác phẩm hư cấu bằng sự thiếu chính xác của nó, nhưng sẽ thực sự khó để nói cái gì đó có nghĩa về việc thế nào là làm toán. Có khá nhiều các nhà toán học thừa hưởng quan điểm kiểu Plato về toán học. Điều này có nghĩa là họ có niềm tin rằng các đối tượng và xây dựng toán học có một kiểu tồn tại nào đó trong "thế giới của những ý tưởng", tồn tại độc lập với trí óc con người. Như trong trường hợp của thiên đường thần thoại, những người khởi xướng niềm tin đó tỏ ra khá mập mờ về vị trí và tính nhất quán của thế giới Plato ngoại lai này. Một lý do thường được viện ra để củng cố góc nhìn Plato là sự hiệu quả của toán học trong việc mô hình hóa thế giới vật lý. Không nghi ngờ gì những định luật Kepler cuối cùng cũng có thể được quan sát và thông hiểu bởi bất kì trí thông minh công nghệ nào sống trên một hình tinh bao quanh bởi lực hấp dẫn để quay quanh một ngôi sao (nhưng liệu một khám phá như vậy có tuân theo tiến trình mà chúng ta biết, hành tinh có xoay quanh hai ngôi sao không?). Tuy nhiên người ta khó có thể viện ra một...

Các nhà vật lý lượng tử tiên phong giành giải Nobel Vật lý

21-10-2022

Gửi bởi Nxb trong Tin tức - Vấn đề - Sự kiện

Mình dịch lại bài viết “Pioneering Quantum Physicists Win Nobel Prize in Physics” trên quantamagazine. Bài viết gốc ở đây https://www.quantama...ysics-20221004/ Nếu có lỗi sai mọi người hãy gửi tin nhắn cho mình. ———————————-Các nhà vật lý lượng tử tiên phong giành giải Nobel Vật lý Các nhà vật lý Alain Aspect, John Clauser và Anton Zeilinger đã giành được giải Nobel Vật lý năm 2022 cho các thí nghiệm chứng minh bản chất lượng tử kỳ lạ sâu xa của thực tại. Các thí nghiệm của họ đã cùng nhau thiết lập sự tồn tại của một hiện tượng lượng tử kỳ lạ được gọi là hiện tượng liên đới, nơi hai hạt tách xa nhau dường như chia sẻ thông tin mặc dù không có cách giao tiếp nào có thể hình dung được. Hiện tượng liên đới nằm ở trung tâm của một cuộc đụng độ nảy lửa vào những năm 1930 giữa những người khổng lồ vật lý, Albert Einstein ở một bên, và một bên là Niels Bohr và Erwin Schrödinger về cách vũ trụ vận hành ở cấp độ cơ bản. Einstein tin rằng tất cả các khía cạnh của thực tế nên có một sự tồn tại cụ thể và hoàn toàn có thể biết được. Tất cả các vật thể - từ mặt trăng đến photon ánh sáng - phải có các đặc tính được xác định chính xác có thể được khám phá thông qua phép đo. Tuy nhiên, Bohr, Schrödinger và những người ủng hộ cơ học lượng tử sơ khai khác đã phát hiện ra rằng thực tế về cơ bản là không chắc chắn; một hạt không có các đặc tính nhất định cho đến thời điểm đo. Sự liên đới nổi lên như một cách quyết định để phân biệt giữa hai phiên bản có thể có c...