Đến nội dung


Hình ảnh

$\frac{1}{8}\prod (x+y)^{x+y-z}\ge \left(\frac{3}{2} \right )^{x+y+z-3}x^xy^yz^z$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2938 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 25-06-2013 - 12:58

Cho $1\le x\le y\le z$, chứng minh $$\frac{1}{8}(x+y)^{x+y-z}(y+z)^{y+z-x}(z+x)^{z+x-y}\ge \left(\frac{3}{2} \right )^{x+y+z-3}x^xy^yz^z$$

 


►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫


#2 ChinhLu

ChinhLu

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 38 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Pisa Italy
  • Sở thích:Football, chess

Đã gửi 30-06-2014 - 21:36

Cho $1\le x\le y\le z$, chứng minh $$\frac{1}{8}(x+y)^{x+y-z}(y+z)^{y+z-x}(z+x)^{z+x-y}\ge \left(\frac{3}{2} \right )^{x+y+z-3}x^xy^yz^z$$

Sau khi lấy logarith hai vế, BDT đã cho tương đương với:

$$F(x,y,z):=-3\log 2 + (x+y-z)\log(x+y) + (x+z-y)\log(x+z) + (y+z-x)\log(y+z)-(x+y+z-3)\log (3/2) -x\log x -y\log y -z\log z \geq 0.$$ 

Xem $f(z):=F(x,y,z)$ như là hàm một biến $z$ với $z\geq y$ (Cố định $x$ và $y$). Lấy đạo hàm cấp 1 và cấp 2 của $f$ ta được

$$f'(z)=-\log(x+y) + \log(y+z)+\log(z+x)-\log(z) -1-\log(3/2) + \frac{y+z-x}{y+z}+ \frac{x+z-y}{x+z},$$

$$f^{"}(z)= \frac{x}{(y+z)^2}+\frac{y}{(x+z)^2}+\frac{1}{y+z} +\frac{1}{x+z}-\frac{1}{z}>0.$$

Như vậy ta có $f'(z) \geq f'(y), \forall z\geq y$. Bênh cạnh đó, ta cũng chứng minh được $f'(y)> 0$.

Do đó ta luôn có $F(x,y,z)\geq F(x,y,y)$. Bây giờ bài toán trở nên rất đơn giản. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z=1$.






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh