Kỳ thi tuyển sinh 10 THPT chuyên Quốc Học Huế năm 2013-2014
Môn thi: Toán chuyên
Thời gian làm bài:150 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1:(1.5điểm)
Gỉai hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} \sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{\frac{1}{x}}=3 & & \\ (x+1)\sqrt{y}=2\sqrt{x} & & \end{matrix}\right.$
Bài 2(1.5điểm)
Cho phương trình $x^{4}+(1-m)x^{2}+2m-2=0$ ($m$ là tham số)
1.Tìm các giá trị của $m$ để phương trình có $4$ nghiệm phân biệt.
2.Trong trường hợp pt có $4$ nghiệm phân biệt là $x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}$ hãy tìm các giá trị của $m$ sao cho:
$\frac{x_{1}x_{2}x_{3}}{2x_{4}}+\frac{x_{1}x_{2}x_{4}}{2x_{3}}+\frac{x_{1}x_{3}x_{4}}{2x_{2}}+\frac{x_{2}x_{3}x_{4}}{2x_{1}}=2013$
Bài 3:(1.5điểm)
1.Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện $x+y+z+\sqrt{xyz}=4$ .Tính giá trị của biểu thức:
T=$\sqrt{x(4-y)(4-z)}+\sqrt{y(4-z)(4-x)}+\sqrt{z(4-x)(4-y)}-\sqrt{xyz}$
2.Cho số tự nhiên có $2$ chữ số. Khi chia số đó cho tổng các chữ số của nó được thương là $q$ dư $r$.Nếu đổi chỗ $2$ chữ số của số đó cho tổng các chữ số của nó được thương $4q$ dư $r$. Tìm số đã cho.
Bài 4(3 điểm)
1.Cho đường tròn $(O)$ đường kính $BC$. Lấy điểm $A$ trên đg tròn sao cho $AB> AC$ ($A$ khác $C$). Vẽ hình vuông $ABDE$ ($D$ và $E$ cùng nằm trên nửa mặt phẳng bờ $AB$ không chứa $C$). Gọi F là giao điểm thứ $2$ của $AD$ với đường tròn và $K$ là giao điểm của $CF$ với $DE$. Chứng minh $KB$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$.
2.Cho tam giác $ABC$ có $AB=c,BC=a,AC=b$. Gọi $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$. đường thẳng vuông góc với $CI$ tại $I$ cắt $CA,CB$ theo thứ tự tại $M,N$. Chứng minh:
a)$AM$.$BN$ = $IM^{2}=IN^{2}$
b)$\frac{IA^{2}}{bc}+\frac{IB^{2}}{ac}+\frac{IC^{2}}{ab}=1$
Bài 5(2 điểm)
1.Cho $2$ số dương $a$ và $b$ thỏa mãn điều kiện $a+b$$\leq$2. Chứng minh $\frac{(a+1)^{6}}{b^{5}}+\frac{(b+1)^{6}}{a^{5}}\geq 128.$
2.Tìm số tự nhiên có $3$ chữ số $n=100a+10b+c$ sao cho biểu thức $\frac{n}{a+b+c}$ đạt giá trị nhỏ nhất.
--------------------------------------------------Hết-----------------------------------------------
Họ và tên:.............................
Số báo danh:.................
(Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hieuvipntp: 01-07-2013 - 17:03