15 replies to this topic

[DarkTime]

Ma trận A:

 

$\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$

tính A^n, với n=(1,2....)

p/s: mình học cùi bắp phần quy nạp lắm hix...

Edited by DarkTime, 25-06-2013 - 18:52.

[zarya]

Chéo hóa ma trận A đã cho rồi tìm $A^{n}$

 

Tìm trị riêng:  $\left | A-\lambda I \right |=\begin{vmatrix}
1-\lambda & -1 \\
 2& 4-\lambda
\end{vmatrix}=(\lambda-2)(\lambda-3)=0$

Suy ra: $\lambda=2 hoặc \lambda=3$

Các vector cơ sở: $\begin{bmatrix}
1 &-1
\end{bmatrix}$ và $\begin{bmatrix}
1 &-2
\end{bmatrix}$

 

Ma trận P làm chéo hóa: $P=\begin{bmatrix}
1 & 1 \\
-1 & -2
\end{bmatrix}$

 

$P^{-1}=\begin{bmatrix}
2 & 1 \\
-1 & -1
\end{bmatrix}$

 

Chéo hóa: $P^{-1}AP=\begin{bmatrix}
2 & 1 \\
-1 & -1
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
1 & -1 \\
2 & 4
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
1 & 1 \\
-1 & -2
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
2 & 0 \\
0 & 3
\end{bmatrix}$

 

$(P^{-1}AP)^{n}=P^{-1}A^{n}P=\begin{bmatrix}
2^{n} & 0 \\
 0 & 3^{n}
\end{bmatrix}$

 

$=> A^{n}=P\begin{bmatrix}
2^{n} & 0 \\
 0 & 3^{n}
\end{bmatrix}P^{-1}=\begin{bmatrix}
2^{n+1}-3^{n} & 2^{n}-3^{n} \\
 -2(2^{n}-3^{n}) & -2^{n}+2.3^{n}
\end{bmatrix}$

Edited by zarya, 28-06-2013 - 14:20.

[DarkTime]

cảm ơn bạn zarya nhiều nha

p/s: cho mình hỏi thêm cách tìm tập sinh của không gian vecto với. nhiều sách nói mà mình không hiểu cách làm, có ví dụ thì tốt quá

Edited by DarkTime, 29-06-2013 - 18:58.

[zarya]

Một không gian véc tơ có rất nhiều tập sinh (cũng như cơ sở). Mình chỉ chỉ ra 1 tập cho trước có phải là tập sinh (hoặc cơ sở) của nó không mà thôi. Mình ví dụ trong mặt phẳng afin Euclide 2 chiều (mặt phẳng Oxy), mọi tập hợp hữu hạn có số lượng các véc tơ bất kì trong đó có ít nhất 2 véc tơ không cùng phương đều sinh ra tất cả các véc tơ khác trong mặt phẳng Oxy, chẳng hạn hệ {(0,2), (3,0), (2,1)} là một hệ sinh. {(1,1), (0,1), (1,2), (3,4)} cũng là một hệ sinh khác. Cơ sở là một hệ sinh độc lập tuyến tính. Cũng theo ví dụ trên thì hai véc tơ bất kì trong hệ sinh thứ nhất đều tạo nên một cơ sở của $\mathbb{R}^{2}$.

Để chứng minh một hệ véc tơ cho trước là hệ sinh, có thể bằng định nghĩa, chứng minh mọi véc tơ trong không gian đó được sinh ra bởi hệ này.

Ví dụ: chứng tỏ: {(0,2), (3,0), (2,1)} là một hệ sinh của $\mathbb{R}^{2}$.

Các véc tơ (x,y)$\in \mathbb{R}^{2}$, nếu hệ trên là hệ sinh, tồn tại các số thực a,b,c sao cho:

a(0,2)+b(3,0)+c(2,1)=(x,y)  (*)

Với c=0, b=x/3, a=y/2 thỏa mãn với mọi (x,y)$\in \mathbb{R}^{2}$

Với c=1, b=(x-2)/3, a=(y-1)/2 thỏa mãn với mọi (x,y)$\in \mathbb{R}^{2}$

Tóm lại là luôn tìm được các số a, b, c (có thể phụ thuộc nhau) để thỏa mãn hệ thức (*). Vậy hệ đã cho là hệ sinh.

Nếu hệ trên là cơ sở thì các số a, b, c tìm được phải là duy nhất (không phụ thuộc nhau). Bạn có thể kiểm chứng điều này với các cơ sở mình đã nêu ra ở trên.

[letrongvan]

Ma trận A:

 

$\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$

tính A^n, với n=(1,2....)

p/s: mình học cùi bắp phần quy nạp lắm hix...

Ngày xưa học hình như còn cách cùi bắp nữa là dùng khai triển nhị thức newton và 1 cách nữa là dùng caylay-haminton và hình như còn cách nữa nhưng không nhớ lắm.

Dùng nhị thức newton thì tách thành hai ma trận rồi khai triển nhị thức newton một lúc thấy nó ra, hoặc là lũy thừa vài số mũ đầu tìm quy luật, tuy nhiên dùng chéo hóa là gọn gàng rồi

[YeuEm Zayta]

@letrongvan: chuẩn rồi đấy bạn
p/s : mới năm nhất mà,@ ngày xưa là chuyện lâu lắm rồi đấy

[letrongvan]

Tính đến thời điểm này cũng cách đây 1 năm rồi, cũng gọi là ngày xưa, hồi mới vào trường 2 tuần cũng được học rồi mà

[MrVirut]

Em muốn hỏi là ta có thể biến đổi ma trận $A$ về dạng ma trận tam giác trước khi thực hiện phép tính đa thức đặc trưng được ko ak ?

Thực tế là em đã làm vậy và tìm trị riêng sai kết quả, chẳng hiểu lý do tại sao?

 

 

$(P^{-1}AP)^{n}=P^{-1}A^{n}P=\begin{bmatrix}
2^{n} & 0 \\
 0 & 3^{n}
\end{bmatrix}$

 

$=> A^{n}=P\begin{bmatrix}
2^{n} & 0 \\
 0 & 3^{n}
\end{bmatrix}P^{-1}$

 

Với lại, có thể giải thích dùm em đẳng thức trên không ạ ? Em mới vọc ma trận nên mù mờ quá

(P−1AP)n=P−1AnP=[2n 003n]

 

=>An=P[2n 003n]P−1=[2n+1−3n −2(2n−3n)2n−3n−2n+2.3n]

(P−1AP)n=P−1AnP=[2n 003n]

 

=>An=P[2n 003n]P−1=[2n+1−3n −2(2n−3n)2n−3n−2n+2.3n]

[YeuEm Zayta]

1.Đơn giản là phép biến đổi ma trận không cho ta kết quả mt sau bằng mt trước nên hiển nhiên kết quả của b sẽ sai .
2.Còn đẳng thức kia bạn có thể cho n=2,3 kiểm tra,dùng qui nạp cm nếu muốn .Hiển nhiên là nó đúng

[psiloveu]

Có bạn nào biết cách dùng đa thức tối thiểu ko

[Nhat Bui]

các bạn giúp dùm mình bài này nhé
Định m để hệ có nghiệm duy nhất

(m+1)x+(6m-4)y=2m+3
x+(m+1)y=m²+1

thank

[tramyvodoi]

Chéo hóa ma trận A đã cho rồi tìm $A^{n}$

 

Tìm trị riêng:  $\left | A-\lambda I \right |=\begin{vmatrix}
1-\lambda & -1 \\
 2& 4-\lambda
\end{vmatrix}=(\lambda-2)(\lambda-3)=0$

Suy ra: $\lambda=2 hoặc \lambda=3$

Các vector cơ sở: $\begin{bmatrix}
1 &-1
\end{bmatrix}$ và $\begin{bmatrix}
1 &-2
\end{bmatrix}$

 

Ma trận P làm chéo hóa: $P=\begin{bmatrix}
1 & 1 \\
-1 & -2
\end{bmatrix}$

 

$P^{-1}=\begin{bmatrix}
2 & 1 \\
-1 & -1
\end{bmatrix}$

 

Chéo hóa: $P^{-1}AP=\begin{bmatrix}
2 & 1 \\
-1 & -1
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
1 & -1 \\
2 & 4
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
1 & 1 \\
-1 & -2
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
2 & 0 \\
0 & 3
\end{bmatrix}$

 

$(P^{-1}AP)^{n}=P^{-1}A^{n}P=\begin{bmatrix}
2^{n} & 0 \\
 0 & 3^{n}
\end{bmatrix}$

 

$=> A^{n}=P\begin{bmatrix}
2^{n} & 0 \\
 0 & 3^{n}
\end{bmatrix}P^{-1}=\begin{bmatrix}
2^{n+1}-3^{n} & 2^{n}-3^{n} \\
 -2(2^{n}-3^{n}) & -2^{n}+2.3^{n}
\end{bmatrix}$

nếu như bài này lamda ra nghiệm kép thì sao nhỉ

[tienduydh]

Nếu là nghiệm phức thì sao nhi

[Nxb]

Nếu là nghiệm phức thì sao nhi

Nếu là phức thì dụng dạng chuẩn Jordan cũng được. Nhưng mà mặt khác mấy bài toán thế này người ta đặt ra để dùng mẹo chéo hóa ma trận chứ đâu phải vấn đề đặt ra tự nhiên đâu thành ra không phải cố bằng mọi giá giải được.

[koguter]

 

Cho mình hỏi tại sao $(P^{-1}.A.P)^{n} = P^{-1}.A^{n}.P$ chứ không phải là bằng $P^{-n}.A^{n}.P^{n}$ vậy ?

Edited by koguter, 28-04-2016 - 22:42.

[tranductucr1]

Ma trận A:

 

$\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$

tính A^n, với n=(1,2....)

p/s: mình học cùi bắp phần quy nạp lắm hix...

Dùng định lý Cayley-Hamilton ta có 
$|\lambda I_2-A|=|\begin{bmatrix} \lambda-1 & 1\\-2 & \lambda-4 \end{bmatrix}|=(\lambda-1)(\lambda-4)+2=\lambda^{2}-5\lambda+6$

=> $A^{n+2}-5A^{n+1}+6A^{n}=C$($C$ là ma trận không(1)
đặt $u_{(ij)(n)}$ là phần tử hàng  $i$ cột $j $ của ma trận $A^n$

Từ (1) ta có $u_{n+2}=5u_{n+1}-6u_{n}$ (Xét riêng cho trường hợp $i=j=1$, trường hợp còn lại tương tự)
Giải phương trình sai phân ta được $u_{n}=\alpha .2^{n}+\beta. 3^n$
từ đó tìm được $A^{n} $
Đáp số: $\begin{bmatrix} 2^{n+1}-3^{n} &2^{n}-3^{n} \\ -2^{n+1}+2.3^{n} & 5.2^{n}-2.3^{n} \end{bmatrix}$

Edited by tranductucr1, 17-09-2018 - 22:44.