Đến nội dung

Hình ảnh

$2^{n}a+b|c^{n}+1$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
Secrets In Inequalities VP

Secrets In Inequalities VP

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 309 Bài viết

Tìm tất cả các bộ số nguyên $(a,b,c)$ sao cho : $2^{n}a+b|c^{n}+1$ $\forall n\in\mathbb{N}^{*}$



#2
nguyenta98

nguyenta98

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1259 Bài viết

Tìm tất cả các bộ số nguyên $(a,b,c)$ sao cho : $2^{n}a+b|c^{n}+1$ $\forall n\in\mathbb{N}^{*}$

Bài này công nhận khó, mình cũng chưa hoàn thành hẳn, đến đoạn đưa về bài toán khá quen (nhưng khó) nhưng đang còn phải tìm dãy để xét

Giải như sau:

Ta xét bài toán với $a\geq 0$ trước tiên cho thuận tiện

Bổ đề: $p|a^{2^x}+b^{2^x},gcd(a,b)=1$ thì $p \equiv 1 \pmod{2^{x+1}}$

Trước tiên ta cm $b=1,2$ thật vậy nếu $b\neq 0,1$ khi đó

TH1: $b$ lẻ thì $2^n.a+b$ lẻ với mọi $n \in N^*$ ta xét $n=2^x$ theo đó ta có $p|c^n+1=c^{2^x}+1$ theo bổ đề có được $p \equiv 1 \pmod{2^{x+1}}$ như vậy xét số $2^{2^x}a+b|c^n+1=c^{2^x}+1$ khi đó $2^{2^x}.a+b=p_1^{a_1}...p_k^{a_k}$ áp dụng nx trên có $p_i \equiv 1 \pmod{2^{x+1}}$ do đó $2^{2^x}a+b \equiv 1 \pmod{2^{x+1}}$ khi đó chọn $x$ đủ lớn thì $2^{2^x} \vdots 2^{x+1}$ như vậy $b \equiv 1 \pmod{2^{x+1}}$ hay $b-1 \vdots 2^{x+1}$ chọn $x$ đủ lớn để $x+1>v_2(b-1)$ thì suy ra mâu thuẫn, do đó bắt buộc $b=1$
TH2: $b$ chẵn khi đó $b \not \vdots 4$ thật vậy nếu $b \vdots 4$ suy ra do $c$ lẻ (vì $2^n.a+b$ chẵn) do đó chọn $n=2^k$ thì $c^n+1 \equiv 2 \pmod{4}$ trong khi $2^n.a+b \vdots 4$ từ đó mâu thuẫn, do đó $b=2t$ với $t$ lẻ

Lúc này $2^{n-1}.a+t|c^n+1$ với $t$ lẻ, lập luận tương tự TH1 ta có $t=1$ do đó $b=2$

Tóm lại ta thu được $b=1,2$

$i)$ $b=2$ ta có $2^{n-1}a+1|c^n+1$
Ta thấy $a=0$ thì bài toán thỏa mãn $(a,b,c)=(0,2,c)$ với $c$ lẻ (do $c^n+1 \vdots 2$)

Với $a\geq 1$ thì ta có $2^n.a+2|c^n+1$ nếu $a+2 \neq 2^l$ với $l$ là một số nào đó, thì $a+2 \vdots p$ ng tố lẻ khi đó chọn $n=p-1$

Suy ra $2^n.a+2 \equiv a+2 \pmod{p}$ hay $2^n.a+2 \vdots p$ do đó $c^n+1 \vdots p \Rightarrow c^{p-1}+1 \vdots p$ mà do $c^{p-1}+1 \vdots p$ nên $gcd(c,p)=1$ nên $c^{p-1}+1 \equiv 2 \pmod{p}$ nên $p=2$ mâu thuẫn vì $p$ lẻ do đó $a+2=2^l$
Hay $a=2^l-2$ khi đó $2^n.a+2|c^n+1 \Rightarrow 2^n.(2^{l-1}-1)+1|c^n+1$ đến đây chưa giải quyết xong, chắc là cm $2^{l-1}-1=1$ sau đó chuyển về bài toán $2^n+1|c^n+1$ bài này chắc chắn giải được bằng đa thức hay lập dãy để mình nghiên cứu thêm

$ii)$ $b=1$ ta có $2^n.a+1|c^n+1$ lập luận tương tự trên có $a+1=2^l$ với $l$ nào đó khi ấy $2^n.(2^l-1)+1|c^n+1$ lại giống như $i)$
Tóm lại việc còn lại là $2^n(2^x-1)+1|c^n+1$ với $x=const$ và $c=const$



#3
Secrets In Inequalities VP

Secrets In Inequalities VP

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 309 Bài viết

Anh cũng đến đoạn này rồi nhưng chả thấy qen gì cả.Em thử nói tiếp xem nào ? :3


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Secrets In Inequalities VP: 27-06-2013 - 19:56





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh