Chủ đề này có 6 trả lời

[LittleAquarius]

Câu 1: Cho x, y, z là ba số thực tùy ý thỏa mãn: $\left\{\begin{matrix} x+y+z=0 & \\ -1 \leqslant x ; y ; z \leqslant 2 & \end{matrix}\right.$
Chứng minh rằng: $x^{2}+y^{4}+z^{6}\leqslant 2$. Đẳng thức có thể xảy ra được không?

Câu 2: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số: $f(x)=\frac{x^{2}}{x^{2}-2x+2002}$

Câu 3: Với x, y, z là những số thực dương, hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
$M = \frac{xyz}{(x+y)(y+z)(z+x)}$

Câu 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$P=\frac{1}{1+xy}+\frac{1}{1+yz}+\frac{1}{1+zx}$ trong đó x, y, z là các số thực dương thay đổi thỏa mãn điều kiện $x^{2}+y^{2}+z^{2}\leqslant 3$

Câu 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$P = \frac{4a}{b+c-a}+\frac{9b}{a+c-b}+\frac{16c}{a+b-c}$ trong đó a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi LittleAquarius: 27-06-2013 - 21:14

[25 minutes]

Câu 3: Với x, y, z là những số thực dương, hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
$M = \frac{xyz}{(x+y)(y+z)(z+x)}$

Câu 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$P=\frac{1}{1+xy}+\frac{1}{1+yz}+\frac{1}{1+zx}$ trong đó x, y, z là các số thực dương thay đổi thỏa mãn điều kiện $x^{2}+y^{2}+z^{2}\leqslant 3$

Câu 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$P = \frac{4a}{b+c-a}+\frac{9b}{a+c-b}+\frac{16c}{a+b-c}$ trong đó a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác

Câu 3: Áp dụng AM-GM ta có

          $(x+y)(y+z)(z+x)\geqslant 2\sqrt{xy}.2\sqrt{yz}.2\sqrt{xz}=8xyz$

 $\Rightarrow \frac{xyz}{(x+y)(y+z)(z+x)}\leqslant \frac{1}{8}$

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z>0$

Câu 4: Áp dụng B.C.S ta có 

 $\frac{1}{1+xy}+\frac{1}{1+yz}+\frac{1}{1+xz}\geqslant \frac{9}{3+xy+yz+xz}\geqslant \frac{9}{3+x^2+y^2+z^2}\geqslant \frac{9}{6}=\frac{3}{2}$

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=1$

Câu 5 : Đặt $\left\{\begin{matrix} b+c-a=x\\a+c-b=y \\ a+b-c=z \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a=\frac{y+z}{2}\\ b=\frac{x+z}{2} \\c=\frac{x+y}{2} \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow P=\frac{1}{2}\left [ \frac{4(y+z)}{x}+\frac{9(x+z)}{y}+\frac{16(x+y)}z{} \right ]$

Đến đây ta chỉ cần áp dụng AM-GM

       $\frac{4y}{x}+\frac{9x}{y}\geqslant 12$

      $\frac{4z}{x}+\frac{16x}{z}\geqslant 16$

      $\frac{9z}{y}+\frac{16y}{z}\geqslant 24$

Cộng 3 bất đẳng thức trên lại ta có $P> \frac{1}{2}(12+16+24)=26$

Đẳng thức không xảy ra 

[Ha Manh Huu]

Câu 1: Cho x, y, z là ba số thực tùy ý thỏa mãn: $\left\{\begin{matrix} x+y+z=0 & \\ -1 \leqslant x ; y ; z \leqslant 2 & \end{matrix}\right.$
Chứng minh rằng: $x^{2}+y^{4}+z^{6}\leqslant 2$. Đẳng thức có thể xảy ra được không?

Câu 2: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số: $f(x)=\frac{x^{2}}{x^{2}-2x+2002}$

 

câu 1 chắc đề bài sai ví dụ vói x=2 ;y=z=-1 thì ko thỏa mãn
câu 2 đặt f(x)=a xong nhân chéo lên đưa về pt bận 2 ẩn x tham số a
xét đk để pt có nghiệm khi delta $\geq0$ đến đây dễ dang tìm đc miền xác định của a

[andymurray44]

Câu I:

Đầu bài sai bạn nhá,cho x=-1,y=-1,z=2 thì vế trái bằng 6 rồi

 

Câu II:Dùng phương pháp miền giá trị nhé,cách này nhiều sách có lắm

 

Câu III:

$x+y\geq 2\sqrt{xy}$

$y+z\geq 2\sqrt{yz}$

$z+x\geq 2\sqrt{xz}$

Nhân vế với vế của 3 BDT trên ta được đpcm

 

Câu IV:

$P\geq \frac{9}{xy+yz+xz+3}$$P\geq \frac{9}{xy+yz+xz+3}\geq \frac{9}{x^{2}+y^{2}+z^{2}+3}\geq \frac{9}{6}=\frac{3}{2}$

 

Câu V:

 

Đặt

a+b-c=x

a+c-b=y

b+c-a=z suy ra $a=\frac{x+y}{2},b=\frac{x+z}{2},c=\frac{y+z}{2}$

 

Từ đó bạn biểu diễn P theo x,y,z rồi dùng Cauchy lệch là xong.

 

 

[LittleAquarius]

Uh. Mình chép sai đề bài câu 1. Đề bài đúng đây nhé:
Cho x, y, z là 3 số thực tùy ý thỏa mãn: $\left\{\begin{matrix} x+y+z=0 & \\ -1\leqslant x;y;z\leqslant 1 & \end{matrix}\right.$
Chứng minh rằng: $x^{2}+y^{4}+z^{6}\leqslant 2$. Đẳng thức có thể xảy ra được không?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi LittleAquarius: 27-06-2013 - 21:14

[25 minutes]

Uh. Mình chép sai đề bài câu 1. Đề bài đúng đây nhé:
Cho x, y, z là 3 số thực tùy ý thỏa mãn: $\left\{\begin{matrix} x+y+z=0 & \\ -1\leqslant x;y;z\leqslant 1 & \end{matrix}\right.$
Chứng minh rằng: $x^{2}+y^{4}+z^{6}\leqslant 2$. Đẳng thức có thể xảy ra được không?

Do $x,y,z \in \left [ -1;1 \right ]$ nên $x^2+y^4+z^6\leqslant x^2+y^2+z^2$

Do vậy ta chỉ cần chứng minh $x^2+y^2+z^2\leqslant 2$

Theo nguyên lí Dirichle ta có trong $3$ số $x,y,z$ có ít nhất $2$ số cùng dấu

Giả sử $y,z$ cùng dấu $\Rightarrow yz\geqslant 0$

Sử dụng $x+y+z=0$ ta có

BDT $\Leftrightarrow (x+y+z)^2-2(xy+yz+xz)\leqslant 2$

        $\Leftrightarrow 1+x(y+z)+yz\geqslant 0$

        $\Leftrightarrow 1-x^2+yz\geqslant 0$

        $\Leftrightarrow (1-x)(1+x)+yz\geqslant 0$

Nhưng rõ ràng bất đẳng thức trên luôn đúng do $-1\leqslant x\leqslant 1.,yz\geqslant 0$

Vậy ta có đpcm

Đẳng hức xảy ra khi $(x,y,z)=(-1;0;1)$ và các hoán vị

[Tienanh tx]

Câu 2: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số: $f(x)=\dfrac{x^{2}}{x^{2}-2x+2002}$

Cách $2$ cho câu $2$ nhé ^^

 

$\oplus$ Ta có: $A = \dfrac{{{x^2} - 2x + 2002}}{{{x^2}}} = \dfrac{{2002{x^2} - 2.2002.x + {{2002}^2}}}{{2002{x^2}}} = \dfrac{{\left( {{x^2} - 2.2002.x + {{2002}^2}} \right) + 2001{x^2}}}{{2002{x^2}}} = \dfrac{{{{(x - 2002)}^2} + 2001{x^2}}}{{2002{x^2}}} = \dfrac{{{{(x - 2002)}^2}}}{{2002{x^2}}} + \dfrac{{2001{x^2}}}{{2002{x^2}}} = \dfrac{{{{(x - 2002)}^2}}}{{2002{x^2}}} + \dfrac{{2001}}{{2002}} \geqslant \dfrac{{2001}}{{2002}}$

$\Longrightarrow$ $\dfrac{1}{A} = \dfrac{1}{{\dfrac{{{x^2} - 2x + 2002}}{{{x^2}}}}} = \dfrac{{{x^2}}}{{{x^2} - 2x + 2002}} \leqslant \dfrac{{2002}}{{2001}}$