Đến nội dung


Hình ảnh

Topic về số học, các bài toán về số học.

topic số học hay tuyệt

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 171 trả lời

#21 Juliel

Juliel

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1240 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đại học Ngoại thương TP.HCM
  • Sở thích:Đam mỹ

Đã gửi 29-06-2013 - 12:15

Bài 13 : Cho các số nguyên dương $m,n,k$ thỏa mãn ước chung lớn nhất của $m,n,k$ bằng $1$ và $m.n=k^{2}$. Chứng minh rằng $m$ là số chính phương và $n$ là số chính phương


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 29-06-2013 - 12:18

Đừng rời xa tôi vì tôi lỡ yêu người mất rồi !
 

Welcome to My Facebook !


#22 DarkBlood

DarkBlood

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 619 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 29-06-2013 - 13:57

Bài 13 : Cho các số nguyên dương $m,n,k$ thỏa mãn ước chung lớn nhất của $m,n,k$ bằng $1$ và $m.n=k^{2}$. Chứng minh rằng $m$ là số chính phương và $n$ là số chính phương

Bài này em nghĩ chỉ cần $(m\ ;\ n)=1$ là đủ rồi :))

Đặt $(m\ ;\ k)=d,$ suy ra $m=d.a\ ;\ k=d.b$ vời $(a\ ;\ b)=1.$

Từ $k^2=m.n$ suy ra $d.b^2=n.a$

Vì $(m\ ;\ n)=1\Rightarrow (d\ ;\ n)=1,$ đồng thời $d.b^2=n.a$ nên $b^2\ \vdots\ n$

Mặt khác $(a\ ;\ b)=1$ nên $n\ \vdots\ b^2$ 

Do đó $n=b^2.$ Khi đó $a=d$ hay $m=a^2.$

Vậy $m=a^2\ ;\ n=b^2,$ là số chính phương.

 

Một bài tương tự: Cho các số nguyên dương $m,n,k$ thỏa mãn ước chung lớn nhất của $m,n$ bằng $1$ và $m.n=k^{3}$. Chứng minh rằng $m, n$ đều là lập phương của một số. 

Cách chứng minh bài này hoàn toàn tương tự như trên.



#23 Ha Manh Huu

Ha Manh Huu

    Trung úy

  • Thành viên
  • 799 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:bốn bể là nhà
  • Sở thích:thích mọi thứ

Đã gửi 29-06-2013 - 14:42

Bài 13 : Cho các số nguyên dương $m,n,k$ thỏa mãn ước chung lớn nhất của $m,n,k$ bằng $1$ và $m.n=k^{2}$. Chứng minh rằng $m$ là số chính phương và $n$ là số chính phương

ước chung lớn nhất của m và n là 1 và $m.n=k^{2}$ là 1 số chíng phương

thì nghiễm nhiên m và n là các số cp vì nếu ko thế thì UCLN của chúng >1 (vô lí)


tàn lụi


#24 DarkBlood

DarkBlood

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 619 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 29-06-2013 - 14:43

Bài 14: Cho số nguyên tố $p.$ Giả sử $x,\ y$ là các số tự nhiên khác $0$ thỏa mãn điều kiện $\dfrac{x^2+py^2}{xy}$ là số tự nhiên. Chứng minh rằng

$$\dfrac{x^2+py^2}{xy}=p+1$$



#25 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4261 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Mathematics, Manga

Đã gửi 29-06-2013 - 15:10

Bài 14: Cho số nguyên tố $p.$ Giả sử $x,\ y$ là các số tự nhiên khác $0$ thỏa mãn điều kiện $\dfrac{x^2+py^2}{xy}$ là số tự nhiên. Chứng minh rằng

$$\dfrac{x^2+py^2}{xy}=p+1$$

Lời giải. Đặt $(x,y)=d$ với $d \in \mathbb{N}^*$. Khi đó thì $x=ad,y=bd$ với $a,b \in \mathbb{N}, \; (a,b)=1$. Ta có $$A= \dfrac{x^2+py^2}{xy}= \dfrac{a^2+pb^2}{ab}$$

Nhận thấy $b \mid pb^2$ mà $A$ tự nhiên nên $b \mid a^2$. Lại có $(a,b)=1$ nên $b=1$. Tương tự thì $a=1$. Do đó $x=y=d$.

Vậy $\dfrac{x^2+py^2}{xy}=p+1$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Jinbe: 29-06-2013 - 15:10

“A man's dream will never end!” - Marshall D. Teach.

#26 LNH

LNH

    Bất Thế Tà Vương

  • Hiệp sỹ
  • 581 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũ Trụ
  • Sở thích:Mathematics

Đã gửi 29-06-2013 - 15:28

Bài 15:Chứng minh rằng nếu p nguyên tố thì (p – 2)!  – 1 chia hết cho p nhưng nếu p > 5 thì (p –2)! – 1 không phải là một lũy thừa của p


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lenhathoang1998: 29-06-2013 - 15:28


#27 Juliel

Juliel

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1240 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đại học Ngoại thương TP.HCM
  • Sở thích:Đam mỹ

Đã gửi 29-06-2013 - 16:21

Bài này em nghĩ chỉ cần $(m\ ;\ n)=1$ là đủ rồi :))

Đặt $(m\ ;\ k)=d,$ suy ra $m=d.a\ ;\ k=d.b$ vời $(a\ ;\ b)=1.$

Từ $k^2=m.n$ suy ra $d.b^2=n.a$

Vì $(m\ ;\ n)=1\Rightarrow (d\ ;\ n)=1,$ đồng thời $d.b^2=n.a$ nên $b^2\ \vdots\ n$

Mặt khác $(a\ ;\ b)=1$ nên $n\ \vdots\ b^2$ 

Do đó $n=b^2.$ Khi đó $a=d$ hay $m=a^2.$

Vậy $m=a^2\ ;\ n=b^2,$ là số chính phương.

 

Một bài tương tự: Cho các số nguyên dương $m,n,k$ thỏa mãn ước chung lớn nhất của $m,n$ bằng $1$ và $m.n=k^{3}$. Chứng minh rằng $m, n$ đều là lập phương của một số. 

Cách chứng minh bài này hoàn toàn tương tự như trên.

 

ước chung lớn nhất của m và n là 1 và $m.n=k^{2}$ là 1 số chíng phương

thì nghiễm nhiên m và n là các số cp vì nếu ko thế thì UCLN của chúng >1 (vô lí)

Sao lại sửa đề vậy mấy bạn ! Đề đúng là (m,n,k) = 1.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 29-06-2013 - 16:25

Đừng rời xa tôi vì tôi lỡ yêu người mất rồi !
 

Welcome to My Facebook !


#28 Ha Manh Huu

Ha Manh Huu

    Trung úy

  • Thành viên
  • 799 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:bốn bể là nhà
  • Sở thích:thích mọi thứ

Đã gửi 29-06-2013 - 16:37

Sao lại sửa đề vậy mấy bạn ! Đề đúng là (m,n,k) = 1

nhưng mà thế tôi thấy nó hiển nhiên quá :D


tàn lụi


#29 Juliel

Juliel

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1240 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đại học Ngoại thương TP.HCM
  • Sở thích:Đam mỹ

Đã gửi 29-06-2013 - 17:17

Bài 15:Chứng minh rằng nếu p nguyên tố thì (p – 2)!  – 1 chia hết cho p nhưng nếu p > 5 thì (p –2)! – 1 không phải là một lũy thừa của p

Em làm được có một ý à ! Anh chị nào làm được ý còn lại thì bổ sung tiếp cho em nhé !

Xét đa thức : 

$A=(p-1)[(p-2)!-1]=(p-1)!+1-p$

Theo định lí Wilson : $(p-1)!+1\vdots p\Rightarrow A\vdots p$

Lại có $(p - 1 ; p) = 1$ $\Rightarrow (p-2)!-1\vdots p$   (đ.p.c.m)


Đừng rời xa tôi vì tôi lỡ yêu người mất rồi !
 

Welcome to My Facebook !


#30 nhatquangsin

nhatquangsin

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 238 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Lê Quý Đôn-Bình Định
  • Sở thích:mathematics

Đã gửi 29-06-2013 - 18:43

Bài 12:Tìm tất cả các số nguyên $n$ sao cho $C_n^k$ là số lẻ với mọi $k=0,..,n $

 

Giải bài 12

Ta có $C_{n}^{k}=\frac{n!}{(n-k)!k!}=\frac{(n-k)!(n-k+1)(n-k+2)...(n-k+k)}{(n-k)!k!}=\frac{(n-k+1)(n-k+2)...(n-k+k)}{1.2...k}$

Trong tích $1.2...k$ sẽ có $\left [ \frac{k}{2} \right ]$ số chẵn (kí hiệu $[a]$ là phần nguyên của a)

 

     Xét tích $(n-k+1)(n-k+2)...(n-k+k)$ có $k$ phần tử.

Nếu $n-k+1$ chẵn thì tích có

$\left [ \frac{k}{2} \right ]+1$ số chẵn

Như vậy $C_{n}^{k}$ chẵn do $k<n$. Ta loại trường hợp này

 

Nếu $n-k+1$ lẻ thì $n-k$ chẵn. Mà $k=0,1,...,n$ nên có thể suy ra $n$ chỉ có thể thuộc $\left \{ 0;1;2 \right \}$

Tuy nhiên ta xét một trường hợp đặc biệt nữa là $n=k+1$. Khi đó

$C_{n}^{k}=\frac{n!}{(n-k)!k!}=\frac{n!}{k!}=\frac{(k+1)!}{k!}=k+1=n$

Như vậy $C_{n}^{k}$ lẻ khi $n$ lẻ. Từ đó ta có thể thu nhận một trường hợp đặc biệt nữa là $n=3$

 

Vậy $n\in \left \{ 0;1;2;3 \right \}$



#31 nhatquangsin

nhatquangsin

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 238 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Lê Quý Đôn-Bình Định
  • Sở thích:mathematics

Đã gửi 29-06-2013 - 20:06

Bài 16 Cho $n$ là số nguyên dương. Kí hiệu $\pi (n)$ là số các số nguyên tố không vượt quá $n$. Chứng minh rằng:

$\pi (n)\leq \frac{n}{2}-1$ với mọi $n\geq 14$



#32 whatever2507

whatever2507

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 34 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Combinatorics :D

Đã gửi 30-06-2013 - 00:42

Sao lại sửa đề vậy mấy bạn ! Đề đúng là (m,n,k) = 1.

Đúng là nếu (m, n, k)=1 thì sẽ cần thêm bước sau để bài toán chặt chẽ hơn: Giả sử tồn tại $p$ nguyên tố và $p|m, p|n$, khi đó do $p|k^2$ và $p$ nguyên tố nên $p|k$ suy ra $(m,n,k) \ge p >1$(mâu thuẫn) nên $(m,n)=1$ :).

 

Bài 16 Cho $n$ là số nguyên dương. Kí hiệu $\pi (n)$ là số các số nguyên tố không vượt quá $n$. Chứng minh rằng:

$\pi (n)\leq \frac{n}{2}-1$ với mọi $n\geq 14$

Giải bài 16. Ta CM quy nạp theo $n$: $\pi (n)\leq \frac{n}{2}-1$ với mọi $n\geq 14 (*)$

  • $(*)$ đúng với $n=14, 15$.
  • Giả sử (*) đúng với $n \ge 15$, ta Cm nó đúng với $n+2$.

Thật vậy, trong 2 số $n+1$ và $n+2$ luôn có $1$ số chẵn, số này $\ge 15$ nên không thể là số nguyên tố.

$\Rightarrow \pi (n+2)\leq \pi(n)+1 \le \frac{n}{2}-1+1 = \frac{n+2}{2}-1$

Vậy ta có $(*)$ đúng với $n+2$ và ta có đpcm.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi whatever2507: 30-06-2013 - 00:47


#33 bachhammer

bachhammer

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 659 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:ĐHKHTN TPHCM
  • Sở thích:Bay...trên trời (SKY!!!)

Đã gửi 30-06-2013 - 09:26

Bài 17: Cho n là một số nguyên dương thỏa mãn 2n + 1; 3n + 1 đều là số chính phương. Hỏi  5n + 3 là số nguyên tố hay hợp số? Tìm số n nhỏ nhất thỏa tất cả điều kiện đó.

(Cải biên lại từ đề đề nghị thi Olimpic 30/4 lớp 10 năm 2009 của Trường THPT chuyên KonTum - Sở GD - ĐT KonTum)

Bài 18: Xác định tất cả số nguyên n để $n^{4}+4^{n}$ không những là số nguyên mà còn là số nguyên tố.

Bài 19: Tìm tất cả các số nguyên dương x sao cho tích các chữ số của nó (viết dưới dạng thập phân) bằng $x^{2}-10x-22$.


:ukliam2: TOPIC SỐ HỌC - Bachhammer :ukliam2: 

Topic số học, các bài toán về số học

:namtay  :namtay  :namtay  :lol:  :lol:  :lol:  :lol:  :excl:  :excl:  :excl:  :lol:  :lol:  :lol: :icon6:  :namtay  :namtay  :namtay  


#34 Best Friend

Best Friend

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 99 Bài viết

Đã gửi 30-06-2013 - 10:04

Bài 20: Tìm $x,y$ nguyên sao cho $54x^{3}+1=y^{3}$


Best Friend   :wub:  :wub:  :wub:  :wub:


#35 Best Friend

Best Friend

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 99 Bài viết

Đã gửi 30-06-2013 - 10:14

Bài 21: Giải phương trình nghiệm nguyên : $xyz=x^{2}-2z+2$


Best Friend   :wub:  :wub:  :wub:  :wub:


#36 Juliel

Juliel

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1240 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đại học Ngoại thương TP.HCM
  • Sở thích:Đam mỹ

Đã gửi 30-06-2013 - 10:14

 

Bài 19: Tìm tất cả các số nguyên dương x sao cho tích các chữ số của nó (viết dưới dạng thập phân) bằng $x^{2}-10x-22$.

 

Đặt $x=\overline{a_{0}a_{2}...a_{n}}$

Ta có $x^{2}-10x-22\geq 0\Rightarrow x>11$

Mặt khác : $x^{2}-10x-22=a_{0}a_{1}...a_{n}\leq 9^{n}.a_{0}<10^{n}.a_{0}\leq x\Rightarrow x<13$

Từ đó suy ra $x = 12$ (thử lại thỏa mãn)

Vậy : $x = 12$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 30-06-2013 - 10:15

Đừng rời xa tôi vì tôi lỡ yêu người mất rồi !
 

Welcome to My Facebook !


#37 DarkBlood

DarkBlood

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 619 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 30-06-2013 - 13:17

Bài 18: Xác định tất cả số nguyên n để $n^{4}+4^{n}$ không những là số nguyên mà còn là số nguyên tố.

Trường hợp 1: $n\leq 1,$ ta có $n^4\in \mathbb{Z}\ ;\ 4^n \notin \mathbb{Z}\Rightarrow n^4+4^n \notin \mathbb{Z},$ loại.

 

Trường hợp 2: $n=0,$ ta có $n^4+4^n=0^4+4^0=1,$ không là số nguyên tố.

 

Trường hợp 3: $n=1,$ ta có $n^4+4^n=1^4+4^1=5,$ là số nguyên tố.

 

Trường hợp 4: $n\geq 2,$ xét 2 trường hợp:

 

      $\bullet$ Trường hợp 4a: $n$ chăn.

 

Khi đó $n^4+4^n\ \vdots\ 2,$ mặt khác $n^4+4^n>2$ $(n\geq 2)$ nên $n^4+4^n$ không là số nguyên tố.

 

      $\bullet$ Trường hợp 4b: $n$ lẻ. Đặt $n=2k+1\ (k\in \mathbb{Z}^+).$

 

Ta có $n^4+4^n=n^4+2.n^2.2^{2k+1}+4^{2k+1}-n^2.2^{2k+2}=(n^2+2^{2k+1})^2-n^2.2^{2k+2}=(n^2+2^{2k+1}+2.n.2^{k})(n^2+2^{2k+1}-2.n.2^{k})$

 

Vì $n\geq 2$ nên $n^2+2^{2k+1}+2.n.2^k$

 

Mặt khác theo bất đẳng thức AM-GM, ta có: $n^2+2^{2k+1}>n^2+2^{2k}+1\geq 2.n.2^k+1$ hay $n^2+2^{2k+1}-2.n.2^k>1$

 

Do đó $n^4+4^n$ không là số nguyên tố.

 

Kết luận: Vậy với $n=1$ thì $n^4+4^n$ là số nguyên tố.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DarkBlood: 30-06-2013 - 13:34


#38 LNH

LNH

    Bất Thế Tà Vương

  • Hiệp sỹ
  • 581 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũ Trụ
  • Sở thích:Mathematics

Đã gửi 01-07-2013 - 11:08

Bài 22: Với mỗi số nguyên dương n, gọi $S(n)$ là tổng các chữ số của n.

a)      Chứng minh rằng các số $n = 999$ và $n = 2999$ không thể biểu diễn được dưới dạng $a + b$ với $S(a) = S(b)$.

b)      Chứng minh rằng mọi số $999<n<2999$ đều biểu diễn được dưới dạng $a + b$ với $S(a) = S(b)$.



#39 nguyenta98

nguyenta98

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1259 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Number theory, Combinatorics-number theory problems

Đã gửi 01-07-2013 - 12:11

Bài 20: Tìm $x,y$ nguyên sao cho $54x^{3}+1=y^{3}$

 

Thực ra bài này nó giấu ẩn phụ đi thôi
Giải như sau:
Đặt $a=2x^3$ khi ấy $27a+1=y^3,a=2x^3 \Rightarrow a(27a+1)=2(xy)^3=2t^3$
Suy ra $2a(54a+2)=(2t)^3=k^3$ suy ra $u(27u+2)=k^3 \Rightarrow 9u(3.(9u)+2)=9k^3$
Do đó đặt $v=9v$ khi ấy $v(3v+2)=9k^3 \Rightarrow 3v(3v+2)=(3k)^3=m^3$
Lúc này phương trình là $9v^2+6v=m^3 \Rightarrow (3v+1)^2=m^3+1=(m+1)(m^2-m+1)$
Vì $gcd(m+1,m^2-m+1)=1,3$ mà $3v+1 \not \vdots 3$ nên $gcd(m+1,m^2-m+1)=1$ do đó $m^2-m+1=l^2$ giải phương trình nghiệm nguyên này thu được $m=0$ do đó $v=0$, lộn về quá trình đặt ẩn ban đầu thu được $x=0,y=1$



#40 nhatquangsin

nhatquangsin

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 238 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Lê Quý Đôn-Bình Định
  • Sở thích:mathematics

Đã gửi 01-07-2013 - 16:14

Bài 22: Với mỗi số nguyên dương n, gọi $S(n)$ là tổng các chữ số của n.

a)      Chứng minh rằng các số $n = 999$ và $n = 2999$ không thể biểu diễn được dưới dạng $a + b$ với $S(a) = S(b)$.

b)      Chứng minh rằng mọi số $999<n<2999$ đều biểu diễn được dưới dạng $a + b$ với $S(a) = S(b)$.

 

Giải như sau:
Ta sẽ cm tổng quát bài toán
Với $S(n)=1$ thì $n=10^k$ khi ấy $n=5.10^{k-1}+5.10^{k-1}$ và $S(5.10^{k-1})=S(5.10^{k-1})$ nên có $đpcm$
Với $S(n)>1$
TH1: $S(n)$ chẵn hay số hàng lẻ của $S(n)$ là số chẵn
Khi ấy với mỗi hàng chẵn $a_i$ của $n$ ta tách ra $a_i=\frac{a_i}{2}+\frac{a_i}{2}$ $(1)$
Với mỗi hàng lẻ $a_j$ của $n$ ta tách $a_j=\frac{a_j-1}{2}+\frac{a_j+1}{2}$ khi ấy $\frac{a_j+1}{2}-\frac{a_j-1}{2}=1$
Vì số hàng lẻ của $S(n)$ là số chẵn nên ta tách ra được chẵn cặp kiểu $\frac{a_j-1}{2},\frac{a_j+1}{2}$ như trên, ta thay phiên cho $\frac{a_j-1}{2}$ vào $X$ và $\frac{a_j+1}{2}$ vào $Y$ và làm ngược lại với $a_k$, $k$ lẻ thì $\frac{a_k+1}{2}$ vào $X$ còn $\frac{a_k-1}{2}$ vào $Y$ do đó hàng lẻ là số chẵn nên ta làm được như vậy đến hết các hàng lẻ của $n$ và do $\frac{a_j-1}+\frac{a_k+1}{2}=\frac{a_j+1}{2}+\frac{a_k-1}{2}$ và $\frac{a_i}{2}=\frac{a_i}{2}$ (theo $(1)$) do đó $S(X)=S(Y)$ mà $X+Y=n$
TH2: $S(n)$ là số lẻ hay số hàng lẻ của $S(n)$ là số lẻ
Đặt $n=\overline{a_1a_2...a_k}$ và $S(n)$ lẻ
Giả sử $n$ khác dạng $\overline{x99...9}$ khi ấy trong $a_1,a_2,...,a_k$ tồn tại một số $a_i\neq 0$ và $a_{i+1}\neq 9$ $(2)$ vì ngược lại suy ra $n=\overline{a_1a_2...a_k}$ khi ấy $a_1=0,a_2=9$ vô lí với $a_1\neq 0$ còn nếu $a_1\neq 0$ và $a_2=9$ thì ta xét $\overline{a_2a_3...a_k}$ do $a_2=9$ nên $a_3=9$ vì ngược lại $a_3 \neq 9$ thì ta đã chọn được $a_i,a_{i+1}$ thỏa $(2)$ làm tương tự đến lúc cuối suy ra $a_2=a_3=...=a_k=9$ nên $n=\overline{a_1999...9}$ vô lí vì ta đang xét $n\neq \overline{x99..9}$ như vậy chắc chắn tồn tại $a_i,a_{i+1}$ sao cho $a_i\neq 0, a_{i+1}\neq 9$
Khi ấy $n=\overline{a_1a_2...a_ia_{i+1}...a_k}=\overline{a_1...(a_i-1)9a_{i+2}...a_k}+(a_{i+1}+1).10^{k-i}$ lúc này do $a_i\neq 0,a_{i+1}\neq 9$ nên $a_i-1,a_{i+1}+1$ là chữ số hết và $S(\overline{a_1...(a_i-1)9a_{i+2}...a_k}),S((a_{i+1}+1).10^{k-i})$ có cùng tính chẵn lẻ nên đặt $\overline{a_1...(a_i-1)9a_{i+2}...a_k}=x,(a_{i+1}+1).10^{k-i}=y$ khi ấy $S(x),S(y)$ cùng tính chẵn lẻ mà $x+y=n$
Lúc này ta thực hiện $\overline{a_1...(a_i-1)9a_{i+2}...(a_t-1)...a_k}$ và $(a_{i+1}+1).10^{k-i}+10^{k-t}$ với $t\neq i$ thì $S(x')=S(x)-1,S(y')=S(y)+1$ nên $S(x')-S(y')=S(x)-S(y)-2$ mà $S(x),S(y)$ cùng tính chẵn lẻ nên $S(x)-S(y)-2$ chẵn, quá trình tiếp tục đến lúc nào đó $S(x)-S(y)-2-2-2...-2=S(x)-S(y)-2k=0$ chẵn thì khi ấy do ta bớt ở $x$ $10^{k-t}$ và thêm vào $y$ số $10^{k-t}$ thì $x'+y'=n$ nên $n=x'+y'$ và $S(x')=S(y')$ nên bài toán được cm
Giờ ta xem nốt $n=\overline{a999...9}$ với $S(n)$ lẻ, khi ấy do ở mỗi hàng $a_i+b_i=\overline{..9}$ phép tính này không thể có nhớ từ hàng thấp đến cao được (do $9+9=18$ tận cùng là $8$ là tối đa nhưng khi ấy ở hàng đơn vị không xảy ra) nên $a_i+b_i=9$ là không nhớ do đó $x+y=n=\overline{a999...9}$ thì $S(x)+S(y)=S(n)$ mà $S(x)=S(y)$ nên $S(n)$ chẵn vô lí vì $S(n)$ lẻ
Vậy $n$ là số thỏa mãn tồn tại $x,y$ sao cho $n=x+y$ và $S(x)=S(y)$ thì $n\neq \overline{a999...99}$ với $S(n)$ lẻ

** Áp dụng vào bài có ngay $đpcm$

http://diendantoanho...-a-b-với-sa-sb/


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhatquangsin: 01-07-2013 - 16:16






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: topic số học, hay, tuyệt

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh