Bài 23
Cho $n,p$ là các số nguyên dương và $n\geq 3$. Tìm nghiệm dương của hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix} x_{1}+x_{2}=x_{3}^{p}\\ x_{2}+x_{3}=x_{4}^{p}\\ ...\\ x_{n-1}+x_{n}=x_{1}^{p}\\ x_{n}+x_{1}=x_{2}^{p} \end{matrix}\right.$
Bài 23
Cho $n,p$ là các số nguyên dương và $n\geq 3$. Tìm nghiệm dương của hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix} x_{1}+x_{2}=x_{3}^{p}\\ x_{2}+x_{3}=x_{4}^{p}\\ ...\\ x_{n-1}+x_{n}=x_{1}^{p}\\ x_{n}+x_{1}=x_{2}^{p} \end{matrix}\right.$
Giải bài 23: Giả sử \[{x_1} \le {x_2} \le ... \le {x_n}\]
Theo giả thiết ta có \[{x_{n-2}} + {x_{n-1}} \le {x_{n - 1}} + {x_n}\]
\[ \Leftrightarrow x_n^p \le x_1^p\]
\[ \Leftrightarrow {x_n} \le {x_1}\]
\[ \Rightarrow {x_1} = {x_n}\] hay \[ \Rightarrow {x_1} = {x_2} = ... = {x_n}\]
Thay vào HPT ta được \[ \Rightarrow {x_1} = {x_2} = ... = {x_n} = \sqrt[{p - 1}]{2}\] hoặc \[ \Rightarrow {x_1} = {x_2} = ... = {x_n} =0\]
Bài 24 : Cho các số tự nhiên $a,b$ thỏa mãn $a + 20$ và $b + 13$ đều chia hết cho $21$. Tìm số dư của $A=4^{a}+9^{b}+a+b$ cho $21$.
(Đề thi vào lớp 10 chuyên toán Năng Khiếu Trần Phú, Hải Phòng 2013-2014)
Đừng rời xa tôi vì tôi lỡ yêu người mất rồi !
Welcome to My Facebook !
[topic2=''][/topic2]Music makes life more meaningful
Bài 24 : Cho các số tự nhiên $a,b$ thỏa mãn $a + 20$ và $b + 13$ đều chia hết cho $21$. Tìm số dư của $A=4^{a}+9^{b}+a+b$ cho $21$.
(Đề thi vào lớp 10 chuyên toán Năng Khiếu Trần Phú, Hải Phòng 2013-2014)
từ đề bài ta có a+20 chia hết cho 3 nên a=3k+1 nên $4^{3k+1}=4(4^{3})^{k}$ chia 21 dư 4
tương tự b=3x+2
đặt $9^{3x+2}=21p+r\Rightarrow r\vdots 3$
ta lại có $9^{3x+2}-2^{3k+2}=21p+r-2^{3k+2}\Rightarrow r-2^{3k+2}\vdots 7$
mà $2^{3k+2}=4.(2^{3})^{k}$ chia 7 dư 4 nên r chia 7 dư 4
do r chia hết cho 3; r chia 7 dư 4 và r$\leq 21$ nên r=18
từ đề bài suy ra a+b+33 chia hết cho 21 suy ra a+b chia 21 dư 9
vậy A chia 21 dư 10
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ha Manh Huu: 01-07-2013 - 23:05
tàn lụi
Còn nhiều bài toán chưa có lời giải. Các bạn cố gắng giải nhé (cho mọi người cùng coi và học hỏi)...
Bài 26: Tìm tất cả các bộ ba số nguyên \[\left( {a,b,c} \right)\] sao cho: \[1 < a < b < c\] và số \[\left( {a - 1} \right)\left( {b - 1} \right)\left( {c - 1} \right)\] là ước của \[abc - 1\].
Bài 26: Tìm tất cả các bộ ba số nguyên \[\left( {a,b,c} \right)\] sao cho: \[1 < a < b < c\] và số \[\left( {a - 1} \right)\left( {b - 1} \right)\left( {c - 1} \right)\] là ước của \[abc - 1\].
theo đề bài ta có $abc-1\vdots (a-1)(b-1)(c-1)\Leftrightarrow ((a-1)(b-1)(c-1)+ab+bc+ca-a-b-c)\vdots (a-1)(b-1)(c-1)\Leftrightarrow ab+bc+ca-a-b-c\geq (a-1)(b-1)(c-1)\Leftrightarrow ab+bc+ca-a-b-c\geq abc-1-ab-bc-ca+a+b+c\Leftrightarrow 2(ab+bc+ca)+1\geq abc+2(a+b+c)$
đến đây ta có$2(ab+bc+ca)>abc\Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}>\frac{1}{2}$
dó 1<a<b<c nên $\frac{1}{2}\geq \frac{1}{a}\geq \frac{1}{b}\geq \frac{1}{c}$
nếu $a \geq 6$ thì $b \geq7 ; c\geq8$ nên $\frac{1}{a}+ \frac{1}{b}+\frac{1}{c}< \frac{1}{2}$
từ đó ta có a = 2,3,4,5
xét a=2 thạy vào đề bài ta có 2bc-1 chia hết (b-1)(c-1) suy ra (2bc-2b-2c+2)+2b+2c-3 chia hết (b-1)(c-1)
suy ra $2b+2c-3\vdots bc-b-c+1\Rightarrow 2b+2c-3\geq bc-b-c+1\Rightarrow (b-3)(c-3)\leq 5$ từ đó ta có nếu b>4 thì ko thỏa mãn nên b=3 hoặc 4
xét b =3 a=2 thì thay vào đề bài ta tìm ra c
xét b=4 a=2 cũng tương tự
giải tương tự các trường hợp a=3,4,5
cách này hơi dài nhỉ
tàn lụi
Bài 21: Giải phương trình nghiệm nguyên : $xyz=x^{2}-2z+2$
Bài này mình chỉ giải được trên tập nghiệm tự nhiên nên trình bày cách giải ra để mọi người cùng góp ý, nếu ai giải được trên tập nghiệm nguyên thì bổ sung cho bài của mình nhé !
$PT\Leftrightarrow z(xy+2)=x^{2}+2\Rightarrow z=\frac{x^{2}+2}{xy+2}\in N$
$\Rightarrow x+\frac{2(y-x)}{xy+2}\in Z\Rightarrow 2(y-x)=k(xy+2)$ với $k$ tự nhiên
Nếu $k = 0$ thì $x^{2}+2=0$ (loại)
Nếu $k\geq 1$ thì $2(y-x)\geq xy+2\Leftrightarrow (x-2)(y+2)+6\leq 0$
Nhưng $x\geq 2,y\geq 0\Rightarrow (x-2)(y+2)+6>0$
Phương trình vô nghiệm
Vậy : Phương trình có nghiệm tự nhiên duy nhất $(1 ; 1; 1)$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 02-07-2013 - 12:13
Đừng rời xa tôi vì tôi lỡ yêu người mất rồi !
Welcome to My Facebook !
Bài 27: Cho 2 bộ ba số nguyên dương a, b, c và d, e, f sao cho $(a,b,c)=1;(d,e,f)=1$ và thoả mãn đẳng thức $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{c}$; $\frac{1}{d}+\frac{1}{e}=\frac{1}{f}$. Chứng minh rằng 2(a + b + d + e) là tổng bình phương của hai số tự nhiên.
Bài 28: Chứng minh rằng mọi số nguyên bất kì đều viết được dưới dạng tổng lập phương của 6 số nguyên.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bachhammer: 08-07-2013 - 17:18
Bài 29
Cho $p_{n}$ là số nguyên tố thứ $n$. Chứng minh rằng:
a.$p_{n}>2n$ với mọi $n>4$
b.$p_{n}>3n$ với mọi $n>11$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhatquangsin: 12-07-2013 - 17:07
Bài 30: Chứng minh rằng phương trình $5n^{2}=36a^{2}+18b^{2}+6c^{2}$ (4 ẩn) không có nghiệm nguyên nào khác ngoại trừ nghiệm n = a = b = c = 0.
(APMO 1989)
Bài 31:
Cho số tự nhiên y .Chứng minh tồn tại vô số nguyên tố p sao cho và .
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xuananh10: 12-07-2013 - 22:12
Bài 27: Cho 2 bộ ba số nguyên dương a, b, c và d, e, f sao cho $(a,b,c)=1;(d,e,f)=1$ và thoả mãn đẳng thức $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{c}$; $\frac{1}{d}+\frac{1}{e}=\frac{1}{f}$. Chứng minh rằng 2(a + b + d + e) là tổng bình phương của hai số tự nhiên.
(sao em thấy bài này kì cục quá)
Đầu tiên ta thấy $(a,b,c)=1\Rightarrow(ab,c)=1$. Ta có$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{c}\Leftrightarrow \frac{a+b}{ab}=\frac{1}{c}\Leftrightarrow a+b=\frac{ab}{c}$
Do $a+b$ nguyên dương nên $\frac{ab}{c}$ nguyên dương. Mà $(ab,c)=1$$\Rightarrow c=1$\
Như vậy $ab=a+b$$\Leftrightarrow ab-a-b+1=1\Leftrightarrow (a-1)(b-1)=1$
Do $a,b$ nguyên dương nên $a-1\geq 0,b-1\geq 0$. Nếu $a-1>1$ hoặc $b-1>1$ thì $(a-1)(b-1)>1$
$\Rightarrow a-1=1, b-1=1$$\Rightarrow a=b=2$
Tương tự như vậy thì $d=e=2$. Vậy thì $2(a+b+d+e)=16$
(sao em thấy bài này kì cục quá)
Đầu tiên ta thấy $(a,b,c)=1\Rightarrow(ab,c)=1$. Ta có$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{c}\Leftrightarrow \frac{a+b}{ab}=\frac{1}{c}\Leftrightarrow a+b=\frac{ab}{c}$
Do $a+b$ nguyên dương nên $\frac{ab}{c}$ nguyên dương. Mà $(ab,c)=1$$\Rightarrow c=1$\
Như vậy $ab=a+b$$\Leftrightarrow ab-a-b+1=1\Leftrightarrow (a-1)(b-1)=1$
Do $a,b$ nguyên dương nên $a-1\geq 0,b-1\geq 0$. Nếu $a-1>1$ hoặc $b-1>1$ thì $(a-1)(b-1)>1$
$\Rightarrow a-1=1, b-1=1$$\Rightarrow a=b=2$
Tương tự như vậy thì $d=e=2$. Vậy thì $2(a+b+d+e)=16$
(a,b,c)=1: Ở đây được hiểu theo nghĩa là UCLN của 3 số a,b,c hay nói cách khác là a,b,c không có nhân tử chung(có thể hai trong ba số có ước chung lớn nhất lớn hơn 1 nhưng ba số không có nhân tử chung). Mà a=3;b=6 cũng đâu có sai.
Bài 32 : Cho $x,y,A$ là các số nguyên dương thoả mãn $A=\frac{x^{2}+y^{2}+30}{xy}$. Chứng minh rằng $A$ là một luỹ thừa bậc $5$ của một số nguyên.
P.S : Những ai ra đề nào mà thấy lâu quá chưa người giải thì giải luôn giùm để mọi người tham khảo với.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 13-07-2013 - 12:03
Đừng rời xa tôi vì tôi lỡ yêu người mất rồi !
Welcome to My Facebook !
Bài 17: Cho n là một số nguyên dương thỏa mãn 2n + 1; 3n + 1 đều là số chính phương. Hỏi 5n + 3 là số nguyên tố hay hợp số? Tìm số n nhỏ nhất thỏa tất cả điều kiện đó.
(Cải biên lại từ đề đề nghị thi Olimpic 30/4 lớp 10 năm 2009 của Trường THPT chuyên KonTum - Sở GD - ĐT KonTum)
Nếu $n\equiv 2;4(mod5)\Rightarrow 3n+1\equiv 2;3(mod5)$. Vô lí vì $3n + 1$ là số chính phương
Suy ra $n$ chia hết cho $5$ $(1)$
Nếu $n\equiv 4(mod8)\Rightarrow 3n+1\equiv 5(mod8)$. Vô lí vì $3n + 1$ là số chính phương
Suy ra $n$ chia hết cho $8$ $(2)$
Từ $(1),(2)$ suy ra $n$ chia hết cho $40$
Mặt khác $n$ nguyên dương nên $n\geq 40$. Suy ra $Min n = 40$
Thử lại với $n = 40$ thì $2n+1,3n+1$ là các số chính phương, $5n+3$ là hợp số.
Kết luận : $\boxed{n=40}$
$@Juliel\rightarrow @bachhamer$ : Em biết chứ ! Phải chứng minh tổng quát $5n + 3$ là hợp số, nhưng em không làm được ý đó nên bỏ qua...
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 13-07-2013 - 20:56
Đừng rời xa tôi vì tôi lỡ yêu người mất rồi !
Welcome to My Facebook !
có 1 bài mình đăng lâu lâu mà ko ai làm cả
Bài 7 tìm x,y biết $109^{10}=23673xy67459221723401$
(ko chơi sài máy tính nhé)
tàn lụi
- Vì $2n + 1$ là số chính phương nên : $2n+1\equiv 0;1;4(mod5)\Rightarrow n\equiv 0;2;4(mod5)$
Nếu $n\equiv 2;4(mod5)\Rightarrow 3n+1\equiv 2;3(mod5)$. Vô lí vì $3n + 1$ là số chính phương
Suy ra $n$ chia hết cho $5$ $(1)$
- Vì $2n + 1$ là số chính phương lẻ nên $2n+1\equiv 1(mod8)\Rightarrow n\equiv 0;4(mod8)$
Nếu $n\equiv 4(mod8)\Rightarrow 3n+1\equiv 5(mod8)$. Vô lí vì $3n + 1$ là số chính phương
Suy ra $n$ chia hết cho $8$ $(2)$
Từ $(1),(2)$ suy ra $n$ chia hết cho $40$
Mặt khác $n$ nguyên dương nên $n\geq 40$. Suy ra $Min n = 40$
Thử lại với $n = 40$ thì $2n+1,3n+1$ là các số chính phương, $5n+3$ là hợp số.
Kết luận : $\boxed{n=40}$
Thế thì chưa đủ để kết thúc chứng minh đâu, vì e chỉ mới xét trường hợp nhỏ nhất của bài toán thôi, còn trường hợp tổng quát các số khác thì e chưa xét. Tóm lại lời giải trên chỉ đúng ý sau, còn ý đầu thì chưa... Suy nghĩ lại đi
Toán Trung học Cơ sở →
Tài liệu - Đề thi →
vmo vĩnh phúc 2022Bắt đầu bởi nhatvinh2018, 27-12-2021 hay |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Tài liệu - Đề thi →
vmo ninh thuận 2022Bắt đầu bởi nhatvinh2018, 10-12-2021 hay |
|
|||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Lượng giác →
Phương trình, Hệ phương trình Lượng giác →
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CỰC HAY VÀ KHÓBắt đầu bởi baonghi, 18-07-2019 ptlg, hay, khó, lượng giác và . |
|
|||
|
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Giúp BĐT nhéBắt đầu bởi VuTroc, 28-05-2018 bđt hay, hay, bđt |
|
||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Bất đẳng thức và cực trị →
$A=x^2y^3+y^2z^3+z^2x^3+(x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2$Bắt đầu bởi meoluoi123, 13-10-2017 cực trị, bất đẳng thức và . |
|
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh