Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh $\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}=2+\sqrt{3}$

siêu khó hay chỉ dành cho pro tuyệt

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 13 trả lời

#1
gogeta

gogeta

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 80 Bài viết

1. Tìm $n\in\mathbb{Z}, n>0$ sao cho $n+26$ và $n-11$ đều là lập phương của một số nguyên dương.

2. Chứng minh $\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}=2+\sqrt{3}$

3. Giải hệ phương trình: $x+2y=5; x^2+2y^2-2xy=5$.

4. Cho $a\in \mathbb{Z};a>0$. Tìm 2 phần tử của: $A=\left \{ x\in\mathbb{Z}|\frac{2^{a}}{2x+1}\in\mathbb{Z} \right \}$

5. Cho a, b, c thỏa mãn $a^{3}>36$ và $abc=1$. Chứng minh $a^2+3(b^2+c^2)< 3(ab+bc+ca)$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi gogeta: 02-07-2013 - 11:57


#2
bachhammer

bachhammer

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 659 Bài viết

1. Tìm $n\in\mathbb{Z}, n>0$ sao cho $n+2b$ và $n-1$ đều là lập phương của một số nguyên dương.

2. Chứng minh $\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}=2\sqrt{3}$

3. Giải hệ phương trình: $x+2y=5; x^2+2y^2-2xy=5$.

4. Cho $a\in \mathbb{Z};a>0$. Tìm 5 phần tử của: $A=\left \{ x\in\mathbb{Z}|\frac{2^{a}}{2x+1}\in\mathbb{Z} \right \}$

5. Cho a, b, c thỏa mãn $a^{3}>36$ và $abc=1$. Chứng minh $a^2+3(b^2+c^2)\geqslant 3(ab+bc+ca)$

Câu 1 sao có số b trong đề kì lạ nhỉ? Còn câu 2 thì đề sai thấy rõ (trục căn thức ở mẫu là thấy ngay). 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bachhammer: 28-06-2013 - 13:49

:ukliam2: TOPIC SỐ HỌC - Bachhammer :ukliam2: 

Topic số học, các bài toán về số học

:namtay  :namtay  :namtay  :lol:  :lol:  :lol:  :lol:  :excl:  :excl:  :excl:  :lol:  :lol:  :lol: :icon6:  :namtay  :namtay  :namtay  


#3
Ha Manh Huu

Ha Manh Huu

    Trung úy

  • Thành viên
  • 799 Bài viết

 

2. Chứng minh $\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}=2\sqrt{3}$

 

ta có $\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}=\frac{(\sqrt{3}+1)^{2}}{2}=\frac{4+2\sqrt{3}}{2}=2+\sqrt{3}$

?? bạn xem có nhầm đề ko bạn


tàn lụi


#4
Ha Manh Huu

Ha Manh Huu

    Trung úy

  • Thành viên
  • 799 Bài viết

 

3. Giải hệ phương trình: $x+2y=5; x^2+2y^2-2xy=5$.

 

 

thay 2y=5-x vào pt thứ 2 là ra


tàn lụi


#5
phatthemkem

phatthemkem

    Trung úy

  • Thành viên
  • 910 Bài viết

4. Cho $a\in \mathbb{Z};a>0$. Tìm 5 phần tử của: $A=\left \{ x\in\mathbb{Z}|\frac{2^{a}}{2x+1}\in\mathbb{Z} \right \}$

 

Với $x=0$ hoặc $x=-1$ thì ta tìm được vô số giá trị của $a$ sao cho $\frac{2^{a}}{2x+1}\in\mathbb{Z}$ chứ nói chi là $5$ phần tử.


  Hầu hết mọi người đều chấp nhận thua cuộc ngay khi họ sắp thành công. Họ dừng lại

 

ngay trước vạch đích, cách chiến thắng chỉ một bàn chân” -H. Ross Perot

 

  “Tránh xa những kẻ coi nhẹ tham vọng của bạn. Những kẻ nhỏ nhen luôn như thế, còn

 

những người thực sự vĩ đại sẽ khiến bạn cảm thấy rằng bạn cũng có thể trở nên vĩ đại”

 

-Mark Twain

:botay :like :icon10: Huỳnh Tiến Phát ETP :icon10: :like :botay

$WELCOME$ $TO$ $MY$ $FACEBOOK$: https://www.facebook.com/phat.huynhtien.39


#6
gogeta

gogeta

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 80 Bài viết

Ở câu 4 chỉ có 2 phần tử như bạn nói thôi. Mình xin lỗi vì đánh nhầm đề. Còn câu 5 thay thay dấu lớn hơn thành bé hơn nhé!


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi gogeta: 02-07-2013 - 11:58


#7
gogeta

gogeta

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 80 Bài viết

5 bài nữa đây:

1. Tìm số chính phương có 4 chữ số sao cho chữ số cuối là số nguyên tố, căn bậc hai của số đó có tổng các chữ số là một số chính phương.

2. Tìm một số nguyên tố, biết số đó khi thêm 64 hoặc bớt 25 thì đều là số chính phương.

3. Tìm số chính phương có 3 chữ số chia hết cho 56.

4. Cho số tự nhiên n sao cho $2n=a^2+b^2$. Chứng minh a, b có cùng tính chẵn lẻ và n là tổng của hai bình phương.

5. Cho $x^2+2y$ là một số chính phương (x và y là hai số tự nhiên). Chứng minh $x^2+y$ là tỗng cùa hai số chính phương.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi gogeta: 03-07-2013 - 11:42


#8
phatthemkem

phatthemkem

    Trung úy

  • Thành viên
  • 910 Bài viết
2. Tìm một số nguyên tố, biết số đó khi thêm 64 hoặc bớt 25 thì đều là số chính phương.

Gọi số nguyên tố đó là $x$, theo đề ta có

$\left\{\begin{matrix} x+64=a^2\\ x-25=b^2 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow 89=a^2-b^2$

Vì $89$ là số nguyên tố nên có thể dễ dàng giải bài này.


  Hầu hết mọi người đều chấp nhận thua cuộc ngay khi họ sắp thành công. Họ dừng lại

 

ngay trước vạch đích, cách chiến thắng chỉ một bàn chân” -H. Ross Perot

 

  “Tránh xa những kẻ coi nhẹ tham vọng của bạn. Những kẻ nhỏ nhen luôn như thế, còn

 

những người thực sự vĩ đại sẽ khiến bạn cảm thấy rằng bạn cũng có thể trở nên vĩ đại”

 

-Mark Twain

:botay :like :icon10: Huỳnh Tiến Phát ETP :icon10: :like :botay

$WELCOME$ $TO$ $MY$ $FACEBOOK$: https://www.facebook.com/phat.huynhtien.39


#9
phatthemkem

phatthemkem

    Trung úy

  • Thành viên
  • 910 Bài viết

3. Tìm số chính phương có 3 chữ số chia hết cho 56.

Gọi số cần tìm là $a^2$, ta có $a^2\vdots 56\Leftrightarrow a^2\vdots (2^2.14)\Rightarrow a^2\vdots (2^2.14^2)\Leftrightarrow a^2\vdots 784\Rightarrow a^2=784k$

Ta thấy $k=1$ thỏa mãn

Vậy số cần tìm là $784$


  Hầu hết mọi người đều chấp nhận thua cuộc ngay khi họ sắp thành công. Họ dừng lại

 

ngay trước vạch đích, cách chiến thắng chỉ một bàn chân” -H. Ross Perot

 

  “Tránh xa những kẻ coi nhẹ tham vọng của bạn. Những kẻ nhỏ nhen luôn như thế, còn

 

những người thực sự vĩ đại sẽ khiến bạn cảm thấy rằng bạn cũng có thể trở nên vĩ đại”

 

-Mark Twain

:botay :like :icon10: Huỳnh Tiến Phát ETP :icon10: :like :botay

$WELCOME$ $TO$ $MY$ $FACEBOOK$: https://www.facebook.com/phat.huynhtien.39


#10
phatthemkem

phatthemkem

    Trung úy

  • Thành viên
  • 910 Bài viết

4. Cho $a\in \mathbb{Z};a>0$. Tìm 2 phần tử của: $A=\left \{ x\in\mathbb{Z}|\frac{2^{a}}{2x+1}\in\mathbb{Z} \right \}$

 

Ta có

$\frac{2^{a}}{2x+1}=\frac{1}{2^{-a}(2x+1)}\Rightarrow 2^{-a}(2x+1)=\pm 1\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a=-1\\ -1\leq x\leq 0 \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} a=-1\\ x=-1;0 \end{matrix}\right. ....$


  Hầu hết mọi người đều chấp nhận thua cuộc ngay khi họ sắp thành công. Họ dừng lại

 

ngay trước vạch đích, cách chiến thắng chỉ một bàn chân” -H. Ross Perot

 

  “Tránh xa những kẻ coi nhẹ tham vọng của bạn. Những kẻ nhỏ nhen luôn như thế, còn

 

những người thực sự vĩ đại sẽ khiến bạn cảm thấy rằng bạn cũng có thể trở nên vĩ đại”

 

-Mark Twain

:botay :like :icon10: Huỳnh Tiến Phát ETP :icon10: :like :botay

$WELCOME$ $TO$ $MY$ $FACEBOOK$: https://www.facebook.com/phat.huynhtien.39


#11
PT42

PT42

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 170 Bài viết

4. Cho $a\in \mathbb{Z};a>0$. Tìm 2 phần tử của: $A=\left \{ x\in\mathbb{Z}|\frac{2^{a}}{2x+1}\in\mathbb{Z} \right \}$

Vì a nguyên dương, x$\epsilon \mathbb{Z}$ và $\frac{2^{a}}{2x+1}\epsilon \mathbb{Z}$ nên $2^{a} \vdots (2x+1)$

Mà $2^{a}$ chỉ có các ước có dạng $\pm$$2^{b}$ với $b\epsilon \mathbb{N}$ và b $\leq$ a

mà 2x+ 1 là số lẻ nên 2x +1 = $\pm$1(b = 0) $\Rightarrow$ x = 0 hoặc -1

Vậy 2 phần tử của A là 0 và -1


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PT42: 02-07-2013 - 17:01

Giang sơn tử hĩ sinh đồ nhuế, hiền thành liêu nhiên tụng diệc si.(Xuất dương lưu biệt - Phan Bội Châu)

 

Thời lai đồ điếu thành công dị, vận khứ anh hùng ẩm hận đa.(Thuật Hoài - Đặng Dung)


#12
PT42

PT42

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 170 Bài viết

4. Cho số tự nhiên n sao cho $2n=a^2+b^2$. Chứng minh a, b có cùng tính chẵn lẻ và n là tổng của hai bình phương.

Bài 4

$2n = a^{2} + b^{2}$ $\Rightarrow$ $a^{2}$ và $b^{2}$ cùng tính chẵn lẻ$\Rightarrow$ a và b cùng tính chẵn lẻ 

Có 4n = $2(a^{2} + b^{2})$ = $(a+b)^{2} + (a-b)^{2}$ $\Rightarrow$ n = $(\frac{a+b}{2})^{2}$ + $(\frac{a-b}{2})^{2}$

Vì a và b cùng tính chẵn lẻ nên a + b và a - b là các số chẵn $\Rightarrow$ $\frac{a+b}{2}$ và $\frac{a-b}{2}$ là các số nguyên

$\Rightarrow$ n là tổng của 2 số chính phương.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PT42: 02-07-2013 - 17:17

Giang sơn tử hĩ sinh đồ nhuế, hiền thành liêu nhiên tụng diệc si.(Xuất dương lưu biệt - Phan Bội Châu)

 

Thời lai đồ điếu thành công dị, vận khứ anh hùng ẩm hận đa.(Thuật Hoài - Đặng Dung)


#13
PT42

PT42

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 170 Bài viết

1. Tìm số chính phương có 4 chữ số sao cho chữ số cuối là số nguyên tố, căn bậc hai của số đó có tổng các chữ số là một số chính phương.

5. Cho $x^2+2y$ là một số chính phương (x và y là hai số tự nhiên). Chứng minh $x^2+2y$ là tỗng cùa hai số chính phương.

Bài 1

Một số chính phương chỉ có tận cùng là 0, 1, 4, 5, 6 hoặc 9 , trong đó chỉ có 5 là số nguyên tố , nên số đó có tận cùng là 5

$\Rightarrow$ căn bậc hai của số đó cũng có tận cùng là 5

Gọi số đó là $A^{2}$, có $1000\leq A^{2} \leq 9999$ $\Rightarrow$ $32\leq A \leq 99$ $\Rightarrow$ A có 2 chữ số.

Đặt A = $\overline{a5}$ (0< a < 10) . Ta có a + 5 là số chính phương, mà 5 < a+ 5 < 15 nên a + 5 = 9 hay a = 4. 

$\Rightarrow$ $A^{2}$ = $45^{2}$ = 2025

 

Bài 5 $x^{2} + 2y$ = $a^{2}$ = $a^{2} + 0^{2}$ ???


Giang sơn tử hĩ sinh đồ nhuế, hiền thành liêu nhiên tụng diệc si.(Xuất dương lưu biệt - Phan Bội Châu)

 

Thời lai đồ điếu thành công dị, vận khứ anh hùng ẩm hận đa.(Thuật Hoài - Đặng Dung)


#14
PT42

PT42

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 170 Bài viết

5. Cho $x^2+2y$ là một số chính phương (x và y là hai số tự nhiên). Chứng minh $x^2+y$ là tỗng cùa hai số chính phương.

Đặt $x^{2} + 2y = a^{2}$ với a nguyên $\Rightarrow$ $x^{2}$ và $a^{2}$ cùng tính chẵn lẻ $\Rightarrow$ x và a cùng tính chẵn lẻ $\Rightarrow$ a = x + 2k với k nguyên

$\Rightarrow$ $x^{2} + 2y$ = $(x + 2k)^{2}$ = $x^{2}$ + 4kx + $4k^{2}$

$\Rightarrow$ y = 2xk + $2k^{2}$

 

$\Rightarrow$ $x^{2} + y$ = $x^{2} + 2xk + 2k^{2}$ = $(x+k)^{2} + k^{2}$


Giang sơn tử hĩ sinh đồ nhuế, hiền thành liêu nhiên tụng diệc si.(Xuất dương lưu biệt - Phan Bội Châu)

 

Thời lai đồ điếu thành công dị, vận khứ anh hùng ẩm hận đa.(Thuật Hoài - Đặng Dung)






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: siêu khó, hay, chỉ dành cho pro, tuyệt

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh