Gọi $S_n$ là số cách chọn ra một số người từ $2n$ người xếp thành 2 hàng dọc và Tn là số cách chọn ra một số người từ $2n-1$ người xếp thành 2 hàng dọc, trong đó khuyết một chỗ ở đầu của một hàng. Ta có S1 = 2, T1 = 1.
Xét 2n người xếp thành 2 hàng dọc. Ta xét các cách chọn thoả mãn điều kiện đầu bài. Xảy ra các khả năng sau :
1) Người ở vị trí số 1 được chọn : Khi đó người ở vị trí số 2 và số 3 không được chọn à Có $T_{n-1}+1$
cách chọn (+1 là do bổ sung cách chọn " không chọn gì cả" )
2) Người ở vị trí số 2 được chọn : Tương tự, có $T_{n-1}+1$ cách chọn.
3) Cả hai người ở vị trí số 1 và số 2 đều không được chọn: Có $S_{n-1}$ cách chọn.
Vậy ta có $S_n=S_{n-1}+2T_{n-1}+2$ (1).
Xét $2n-1$ người xếp thành 2 hàng dọc. Ta xét các cách chọn thoả mãn điều kiện đầu bài. Xảy ra các khả năng sau :
1) Người ở vị trí số 1 được chọn : Khi đó người ở vị trí số 2 không được chọn à có $T_{n-1}+1$ cách chọn
2) Người ở vị trí số 1 không được chọn : có $S_{n-1}$cách chọn.
Vậy ta có $T_n=S_{n-1}+T_{n-1}+1$ (2)
Từ (1) ta suy ra $2T_{n-1} = S_n – S_{n-1} – 2, 2T_n = S_{n+1} – S_n – 2$. Thay vào (2), ta được
$S_{n+1} – S_n – 2 = 2S_{n-1}+ S_n – S_{n-1} – 2 + 2$
$S_{n+1} = 2S_n + S_{n-1} +2$
Từ đây dễ dàng tìm được
\[{S_n} = \frac{{{{(1 + \sqrt 2 )}^{n + 1}} + {{(1 - \sqrt 2 )}^{n + 1}} - 2}}{2}\]
===
MOD: Bạn học gõ Latex lại đi nhé ! Đừng dùng kí hiệu chỉ số. Nên gõ là
công thức_{gõ chỉ số}giải dùm cho số tự nhiên n thỏa:2^n-1 là số nguyên tố,chứng minh n lá số nguyên tố