Như vậy anh @
chanhquocnghiem đã trình bày cách 1: dùng nguyên lý qui nạp, tiếp theo mình xin trình bày cách 2: lập hệ thức truy hồi.
Cách 2: Dùng hàm sinh tính nghiệm của hệ thức truy hồi :
Gọi số phần mặt phẳng được chia bởi n đường thẳng là $a_n$. Giả sử đã vẽ n-1 đường thẳng, giờ vẽ thêm đường thẳng thứ n thì số phần được thêm bằng số giao điểm được thêm cộng 1; mà số giao điểm được thêm là số giao điểm giữa đường thẳng thứ n và n-1 đường thẳng trước tức là n-1 giao điểm, do đó ta có hệ thức truy hồi :
$\begin {cases}
a_0=1\\
a_n=a_{n-1}+n, \; n\geq 1&& (*)
\end{cases}$
Đặt $A(x)=\sum_{n=0}^{\infty }a_nx^n$ . Để tính nghiệm tổng quát, ta nhân 2 vế của $(*)$ với $x^n$ rồi cho n chạy từ $1$ đến $\infty $ sau đó cộng vế với vế như sau :
$$\begin {align*}
\sum_{n=1}^{\infty }a_nx^n-\sum_{n=1}^{\infty }a_{n-1}x^n&=\sum_{n=1}^{\infty }nx^n\\
\sum_{n=1}^{\infty }(a_n-a_{n-1})x^n&=\sum_{n=1}^{\infty }nx^n\\
\sum_{n=1}^{\infty }a_nx^n-\sum_{n=0}^{\infty }a_nx^{n+1}&=\sum_{n=1}^{\infty }nx^n\\
\sum_{n=1}^{\infty }a_nx^n-x\sum_{n=0}^{\infty }a_nx^n&=\sum_{n=1}^{\infty }nx^n\\
A(x)-a_0-xA(x)&=\frac {x}{(1-x)^2}\\
A(x)(1-x)&=\frac {x}{(1-x)^2}+1\\
A(x)&=\frac {x}{(1-x)^3}+ \frac {1}{1-x} \\
A(x)&=\sum_{n=0}^{\infty }\binom {n+1}{2}x^n+\sum_{n=0}^{\infty }x^n
\end{align*}$$
Suy ra nghiệm tổng quát là :
$$a_n=\frac {n(n+1)}{2}+1=\boldsymbol {\frac {n^2+n+2}{2}}$$