Đến nội dung

Hình ảnh

$\sum \frac{1}{1-a^{2}}+\sum \frac{1}{1-ab}\geq 9$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
Ha Manh Huu

Ha Manh Huu

    Trung úy

  • Thành viên
  • 799 Bài viết

cho a,b,c là các số ko âm thỏa mãn $a^{2} +b^{2} +c^{2}=1$

CMR $\sum \frac{1}{1-a^{2}}+\sum \frac{1}{1-ab}\geq 9$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ha Manh Huu: 08-07-2013 - 10:06

tàn lụi


#2
trauvang97

trauvang97

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 402 Bài viết

cho a,b,c là các số ko âm thỏa mãn $a^{2} +b^{2} +c^{2}=1$

CMR $\sum \frac{1}{1-ab}\geq \frac{9}{2}$

 

Em xem tại đây nhé, bài của em bị ngược dấu rồi

http://diendantoanho...1-caleq-frac92/



#3
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

cho a,b,c là các số ko âm thỏa mãn $a^{2} +b^{2} +c^{2}=1$

CMR $\sum \frac{1}{1-a^{2}}+\sum \frac{1}{1-ab}\geq 9$

 

 

Em xem tại đây nhé, bài của em bị ngược dấu rồi

http://diendantoanho...1-caleq-frac92/

Bài này hoàn toàn đúng và không bị ngược dấu

Lời giải. 

Ta đưa bất đẳng thức cần chứng minh về dạng: 

$\frac{a^2}{1-a^2}+\frac{b^2}{1-b^2}+\frac{c^2}{1-c^2}+\frac{bc}{1-bc}+\frac{ca}{1-ca}+\frac{ab}{1-ab}\geqslant 3$

Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky dạng phân thức, ta được:

$\frac{a^2}{1-a^2}+\frac{b^2}{1-b^2}+\frac{c^2}{1-c^2}+\frac{bc}{1-bc}+\frac{ca}{1-ca}+\frac{ab}{1-ab}\geqslant \frac{(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca)^2}{a^2(1-a^2)+b^2(1-b^2)+c^2(1-c^2)+bc(1-bc)+ca(1-ca)+ab(1-ab)}=\frac{(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca)^2}{a^2(b^2+c^2)+b^2(c^2+a^2)+c^2(a^2+b^2)+bc(a^2+b^2+c^2-bc)+ca(a^2+b^2+c^2-ca)+ab(a^2+b^2+c^2-ab)}$

Ta cần chứng minh: $(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca)^2\geqslant 3a^2(b^2+c^2)+3b^2(c^2+a^2)+3c^2(a^2+b^2)+3bc(a^2+b^2+c^2-bc)+3ca(a^2+b^2+c^2-ca)+3ab(a^2+b^2+c^2-ab)$

$\Leftrightarrow a^2(a-b)(a-c)+b^2(b-a)(b-c)+c^2(c-a)(c-b)\geqslant 0$

Bất đẳng thức cuối là Schur bậc 4 nên ta có điều phải chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh