Chủ đề này có 2 trả lời

[ntnt]

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của: $$A=\cos^4x+\sin^4x+\sin x\cos x+1$$

 

Mọi người giúp em bằng hai cách với ạ: một cách là dùng BĐT bình thường, một cách là dùng hàm số với ạ, em cảm ơn. 

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ntnt: 09-07-2013 - 09:33

[bossulan239]

Đặt 

$sinx=a$

$cosx=b$

$\Rightarrow a^{2}+b^{2}=1$

$A=a^{4}+b^{4}+ab+1=(a^{2}+b^{2})^{2}+ab-2a^{2}b^{2}+1 =-2a^{2}b^{2}+ab+2$

Ta có 

$2ab\leq a^{2}+b^{2}=1 \Rightarrow ab-2a^{2}b^{2}\geq 0 \Rightarrow A\geq 2$

Dấu = xảy ra khia=b=$\frac{1}{\sqrt{2}}$

$ab-2a^{2}b^{2}= \frac{1}{2}.2ab.(1-2ab)\leq \frac{1}{2}.\frac{1}{4}.(2ab+1-2ab)^{2}=\frac{1}{8} \Rightarrow A\leq 2+\frac{1}{8}$

Dấu = xảy ra khi $\left\{\begin{matrix} a^{2}+b^{2}=1\\ ab= \frac{1}{4} \end{matrix}\right.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bossulan239: 09-07-2013 - 10:00

[BoFaKe]

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của: $$A=\cos^4x+\sin^4x+\sin x\cos x+1$$

 

Mọi người giúp em bằng hai cách với ạ: một cách là dùng BĐT bình thường, một cách là dùng hàm số với ạ, em cảm ơn. 

Đặt $\sin 2x=t;t\in [-1;1]$

$$A=\cos^4x+\sin^4x+\sin x\cos x+1= 1-2\sin ^{2}x\cos ^{2}x+1+\sin x\cos x= \frac{-t^{2}}{2}+\frac{t}{2}+2$$

Có $$f'(t)=-t+\frac{1}{2}=0\Leftrightarrow t= \frac{1}{2}$$

Lập bảng biến thiên ta có giá trị lớn nhất là $\frac{17}{8}$ còn giá trị nhỏ nhất là $2$