Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c=3$.
Chứng minh rằng $\sqrt{\frac{a}{b+1}}+\sqrt{\frac{b}{c+1}}+\sqrt{\frac{c}{a+1}}\geqslant \frac{3}{\sqrt{2}}$
Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c=3$.
Chứng minh rằng $\sqrt{\frac{a}{b+1}}+\sqrt{\frac{b}{c+1}}+\sqrt{\frac{c}{a+1}}\geqslant \frac{3}{\sqrt{2}}$
Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c=3$.
Chứng minh rằng $\sqrt{\frac{a}{b+1}}+\sqrt{\frac{b}{c+1}}+\sqrt{\frac{c}{a+1}}\geqslant \frac{3}{\sqrt{2}}$
BĐT sai khi cho a=0.1, b=0.05, c=2.85
ONG NGỰA 97.
Bất đẳng thức này sai thì khỏi bàn cãi gì nữa rồi, nhưng nếu điều kiện thay bằng $abc=1$ thì nó lại đúng. Hướng dẫn luôn:
Đặt $(a,b,c)\rightarrow (\frac{x^2}{yz},\frac{y^2}{zx},\frac{z^2}{xy})$ thì ta cần chứng minh: $\sum_{cyc}\sqrt{\frac{x^3}{y(y^2+zx)}}\geqslant \frac{3}{\sqrt{2}}$
Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky và Bunyakovsky dạng phân thức, ta được: $\sum_{cyc}\sqrt{\frac{x^3}{y(y^2+zx)}}=\sum_{cyc}\frac{x^2}{\sqrt{xy(y^2+zx)}}\geqslant \frac{(x+y+z)^2}{\sqrt{(xy+yz+zx)(x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx)}}$
Mà dễ có: $2(xy+yz+zx)(x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx)\leqslant (\frac{((x+y+z)^2+xy+yz+zx)}{2})^2\leqslant \frac{4}{9}(x+y+z)^4\Rightarrow \sqrt{(xy+yz+zx)(x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx)}\leqslant \frac{\sqrt{2}}{3}(x+y+z)^2$
Vậy $\frac{(x+y+z)^2}{\sqrt{(xy+yz+zx)(x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx)}}\geqslant \frac{3}{\sqrt{2}}$ (Q.E.D)
Đẳng thức xảy ra khi x = y = z hay a = b = c = 1
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh