Đến nội dung

Hình ảnh

$\sqrt{\frac{a}{b+1}}+\sqrt{\frac{b}{c+1}}+\sqrt{\frac{c}{a+1}}\geqslant \frac{3}{\sqrt{2}}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
25 minutes

25 minutes

    Thành viên nổi bật 2015

  • Hiệp sỹ
  • 2795 Bài viết

Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c=3$.

Chứng minh rằng $\sqrt{\frac{a}{b+1}}+\sqrt{\frac{b}{c+1}}+\sqrt{\frac{c}{a+1}}\geqslant \frac{3}{\sqrt{2}}$


Hãy theo đuổi đam mê, thành công sẽ theo đuổi bạn.



Thảo luận BĐT ôn thi Đại học tại đây


#2
ongngua97

ongngua97

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 311 Bài viết

Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c=3$.

Chứng minh rằng $\sqrt{\frac{a}{b+1}}+\sqrt{\frac{b}{c+1}}+\sqrt{\frac{c}{a+1}}\geqslant \frac{3}{\sqrt{2}}$

BĐT sai khi cho a=0.1, b=0.05, c=2.85


ONG NGỰA 97. :wub: 


#3
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

Bất đẳng thức này sai thì khỏi bàn cãi gì nữa rồi, nhưng nếu điều kiện thay bằng $abc=1$ thì nó lại đúng. Hướng dẫn luôn:

Đặt $(a,b,c)\rightarrow (\frac{x^2}{yz},\frac{y^2}{zx},\frac{z^2}{xy})$ thì ta cần chứng minh: $\sum_{cyc}\sqrt{\frac{x^3}{y(y^2+zx)}}\geqslant \frac{3}{\sqrt{2}}$ 

Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky và Bunyakovsky dạng phân thức, ta được: $\sum_{cyc}\sqrt{\frac{x^3}{y(y^2+zx)}}=\sum_{cyc}\frac{x^2}{\sqrt{xy(y^2+zx)}}\geqslant \frac{(x+y+z)^2}{\sqrt{(xy+yz+zx)(x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx)}}$ 

Mà dễ có: $2(xy+yz+zx)(x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx)\leqslant (\frac{((x+y+z)^2+xy+yz+zx)}{2})^2\leqslant \frac{4}{9}(x+y+z)^4\Rightarrow \sqrt{(xy+yz+zx)(x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx)}\leqslant \frac{\sqrt{2}}{3}(x+y+z)^2$   

Vậy $\frac{(x+y+z)^2}{\sqrt{(xy+yz+zx)(x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx)}}\geqslant \frac{3}{\sqrt{2}}$ (Q.E.D)

Đẳng thức xảy ra khi x = y = z hay a = b = c = 1


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh