CMR : $\frac{1}{(x+y)^{2}}+\frac{1}{(y+z)^{2}}+\frac{1}{(z+x)^{2}}\geq \frac{9}{4(xy+yz+zx)}$ với $x,y,z>0$
Mọi người làm theo cách sử dụng phương pháp phân tích bình phương S.O.S hoặc khai triển - áp dụng Schur giùm em nhé, cách nào càng cổ điển thì càng tốt ! Em cảm ơn !
Schur:Nhân cả 2 vế của BĐT với $(x+y)(y+z)(z+x)$ thì BĐT trở thành:
$$\frac{(x+y)(x+z)}{y+z}+\frac{(y+z)(y+x)}{z+x}+\frac{(z+x)(z+y)}{x+y}\geq \frac{9(x+y)(y+z)(z+x)}{4(xy+yz+zx)}$$
Ta có $\frac{(x+y)(x+z)}{y+z}=\frac{x^2+yz}{y+z}+x, \frac{9(x+y)(y+z)(z+x)}{4(xy+yz+zx)}=\frac{9(x+y+z)}{4}-\frac{9xyz}{x+y+z}$
nên BĐT cần chứng minh có thể viết lại thành
$\sum \frac{x^2+yz}{y+z}+\frac{9xyz}{xy+yz+zx}\geq \frac{5(x+y+z)}{4}\Leftrightarrow (x+y+z)\sum \frac{x^2+yz}{y+z}+\frac{9xyz(x+y+z)}{4(xy+yz+zx)}\geq \frac{5}{4}(x+y+z)^2$
Do $\frac{(x^2+yz)(x+y+z)}{y+z}=x^2+yz+\frac{x^3+xyz}{y+z}, \sum \frac{x^3+xyz}{y+z}\geq x^2+y^2+z^2,\frac{9xyz(x+y+z)}{xy+yz+zx}\geq \frac{27xyz}{4(x+y+z)}$
nên BĐT có thể viết lại thành
$\sum (x^2+yz)+\sum x^2+\frac{27xyz}{4(x+y+z)}\geq \frac{5}{4}(x+y+z)^2\Leftrightarrow \sum x^2+\frac{9xyz}{x+y+z}\geq 2(xy+yz+zx)$
Đây chính là BĐT Schur
Kết thúc chứng minh
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vutuanhien: 12-07-2013 - 20:35
"The first analogy that came to my mind is of immersing the nut in some softening liquid, and why not simply water? From time to time you rub so the liquid penetrates better, and otherwise you let time pass. The shell becomes more flexible through weeks and months—when the time is ripe, hand pressure is enough, the shell opens like a perfectly ripened avocado!" - Grothendieck