Topic về toán cực trị hình học
I.TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC LÀ GÌ?
Đó là những bài toán có dạng sau:
Tìm giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất của một đại lượng hình học $y$ (độ dài của một đoạn thẳng, tổng của hai hay nhiều đoạn thẳng, độ lớn của một góc, chu vi của một hình, diện tích của một hình v.v...) sao cho:
$$y_{1}\leq y \leq y_{2}$$
Trong đó $y_{1},y_{2}$ là các giá trị cố định hoặc không thay đổi của $y$ đồng thời phải chỉ rõ vị trí hình học của $y$ (hoặc hình có chứa $y$ ) để tại đó $y$ đạt giá trị cực tiểu $y=y_{1}$ hoặc cực đại $y=y_{2}$.
II. ĐƯỜNG LỐI CHUNG ĐỂ GIẢI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC
Căn cứ vào đầu bài, người ta thường giải toán cực trị trong hình học theo ba cách sau đây:
· Cách 1:
Vẽ một hình có chứa đại lượng hình học mà ta phải tìm cực trị, thay các điều kiện của đại lượng đó bằng các điều kiện tương đương (có khi phải chọn một đại lượng nào đó trong hình làm ẩn số, dựa vào mối quan hệ giữa ẩn số đó với các đại lượng khác trong hình, những đại lượng này có thể do đầu bài cho sẵn, nhưng cũng có thể do ta làm xuất hiện trong quá trình đi tìm lời giải của bài toán. Biểu thị ẩn số theo các đại lượng đã biết, các đại lượng không đổi rồi biến đổi tương đương biểu thức vừa tìm được để cuối cùng xác định được giá trị của đại lượng cần tìm từ đó suy ra vị trí của hình để đạt cực trị).
Người ta thường dùng cách này khi đầu bài được cho dưới dạng: "Tìm một hình nào đó thỏa mãn các điều kiện cực trị của bài toán"
· Cách 2:
Đưa ra một hình (theo yêu cầu đầu bài) rồi chứng minh mọi hình khác có chứa yếu tố (mà ta phải tìm cực trị) lớn hơn hoặc bé hơn yếu tố tương ứng trong hình đã đưa ra.
Người ta thường dùng cách chứng minh này khi hình dạng của hình có cực trị đã được nói rõ trong đầu bài.
* Chú ý quan trọng:
1. Có trường hợp để tìm cực trị của một đại lượng A, ta chia A thành tổng của nhiều đại lượng khác: A = B + C + ... rồi đi tìm cực trị của B và C... từ đó suy ra cực trị của A, ta cần chứng minh: Khi B đạt cực trị thì C cũng đồng thời đạt cực trị và ngược lại.
III. CÁCH VẬN DỤNG CÁC KIẾN THỨC ĐỂ GIẢI TOÁN CỰC TRỊ
1. BẤT ĐẲNG THỨC TAM GIÁC
Với 3 điểm bất kỳ $A,B,C$ ta luôn có
$$\boxed{AB+AC\geq BC}$$.
Dấu bằng xảy ra khi $A$ thuộc $BC$
2. ĐƯỜNG VUÔNG GÓC VÀ ĐƯỜNG XIÊN
$\boxed{1}$. Trong các đoạn thẳng nối từ một điểm đến một đường thẳng, đoạn vuông góc với đường thẳng có độ dài ngắn nhất.
$\boxed{2}$. Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm tới một đường thẳng, đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn và ngược lại.
3. ĐỘ DÀI ĐƯỜNG GẤP KHÚC
Độ dài đường gấp khúc nối hai điểm không nhỏ hơn độ dài đoạn thẳng nối hai điểm đó.
4.Sử dụng các BĐT kinh điển và phương pháp biến đổi đại số
1. BĐT Cauchy và một số hệ quả
2. BĐT Cauchy-Schwarz
5.Sử dụng các tính chất sau:
$\boxed{1}$ Nếu 2 tam giác có 2 cặp cạnh tương ứng bằng nhau từng đôi một thì trong 2 cạnh còn lại cạnh đối diện với góc lớn hơn thi lớn hơn và ngược lại
$\boxed{2}$ Trong 1 tam giác trung tuyến ứng với cạnh bé thì lớn hơn trung tuyến ứng với cạnh lớn.
$\boxed{3}$ Nếu tam giác cân có góc ở đỉnh không đổi thì cạnh cạnh đáy nhỏ nhất khi cạnh bên nhỏ nhất, cạnh đáy lớn nhất khi cạnh bên lớn nhất.
6.Một số ví dụ
$\boxed{1}$ Cho tam giác ABC nhọn.Tìm vị trí của M,N,P trên AB,BC,CA sao cho $MN+NP+PM$ đạt MIN
Lời giải
Giả sử tam giác $MNP$ có $M$ thuộc $BC$; $N$ thuộc $AB$; $P$ thuộc AC.
Với điểm $M$ cho trước gọi $E,F$ lần lượt là các điểm đối xứng với $M$ qua $AB$ và $AC$.
Thì : $MN=ME$;
$MP=PF$
$\Rightarrow P_{MNP}=EN+NP+PF\geq EF$
Vậy ta cần tìm vị trí của $M$ để $EF$ có độ dài nhỏ nhất.
Lại có theo tính chất đối xứng thì
$AE=AF$ (cung bằng $AM$)
$\widehat{MAC}=\widehat{CAF}$
$\widehat{EAB}=\widehat{BAM}$
$\Rightarrow \widehat{EAF}=2\widehat{BAC}$ (Không đổi)
Tam giác $EAF$ cân ở $A$ có góc $EAF$ không đổi nên $EF min\Leftrightarrow AE min\Leftrightarrow AM min$
Kẻ $AH$ vuông góc $BC$ thì $AM\geq AH$ nên Min $AM=AH$ khi $M$ trùng $H$ khi $EF$ cắt $AB,AC$ tại $N,P$. Ta dễ dàng chứng minh được $N,P$ là chân đường cao hạ từ $B,C$ đến $AB,AC$.
Vậy chu vi $AMP$ nhỏ nhất khi có 3 điểm $M,N,P$ là chân 3 đương cao.
7.Bài tập đề nghị
Bài 1:Cho tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$, đường cao $AH$ và cạnh $BC=2a$. Một đường thưủng $d$ bất kỳ qua $A$ không cắt cạnh $BC$. Gọi $I,K$ lần lượt là hình chiếu của $B,C$ trên đường thẳng $d$. Tính giá trị lớn nhất của diện tích tam giác $IHK$
Bài 2. Cho tam giác $ABC$ nhọn có $H$ là trực tâm của tam giác. Chứng minh
$HA+HB+HC<\frac{2}{3}(AB+BC+CA)$
Lưu ý : Mỗi bài viết phải theo thứ tự có đánh dấu số bài,không được spam. Mọi bài viết vi phạm sẽ bị xóa.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Yagami Raito: 28-06-2014 - 09:28