3 replies to this topic

[tttt]

CHO TAM GIÁC ABC

 

$\sqrt{3}cosC+3(cosA+cosB)=\frac{5\sqrt{3}}{2}$

 

chứng minh: tam giác $ABC$ cân tại $C$ và $\widehat{C}= 120^{\circ}$

Edited by tttt, 15-07-2013 - 21:35.

[25 minutes]

CHO TAM GIÁC ABC

 

$\sqrt{3}cosC+3(cosA+cosB)=\frac{5\sqrt{3}}{2}$

 

chứng minh: tam giác $ABC$ cân tại $C$ và $\widehat{C}= 120^{\circ}$

Từ giả thiết ta có $\cos C+\sqrt{3}(\cos A+ \cos B)=\frac{5}{2}$

Ta có $\cos C+\sqrt{3}(\cos A+ \cos B)\leqslant 1-2\sin ^2\frac{C}{2}+2\sqrt{3}\cos \frac{A+B}{2}=1-2\sin^2\frac{C}{2}+2\sqrt{3}\sin \frac{C}{2}$

Ta sẽ chứng minh $1-2\sin^2\frac{C}{2}+2\sqrt{3}\sin \frac{C}{2}\leqslant \frac{5}{2}\Leftrightarrow (\sin \frac{C}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2})^2\geqslant 0$

Do đó ta có $\cos C+\sqrt{3}(\cos A+ \cos B)\leqslant \frac{5}{2}$

Đẳng thức xảy ra khi $\left\{\begin{matrix} A=B\\\sin \frac{C}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} A=B=30^0\\C=120^0 \end{matrix}\right.$

[thuan192]

CHO TAM GIÁC ABC

 

$\sqrt{3}cosC+3(cosA+cosB)=\frac{5\sqrt{3}}{2}$

 

chứng minh: tam giác $ABC$ cân tại $C$ và $\widehat{C}= 120^{\circ}$

 Mình cũng xin ủng hộ một cách 

                   Gọi$\overrightarrow{e_{1}},\overrightarrow{e_{2}},\overrightarrow{e_{3}}$ lần lượt là các vecto đơn vị trên các cạnh AB ,BC ,CA ( lần lượt cùng hướng với các vecto AB,BC,CA)

                       Ta có   ($\left(\sqrt{3\sqrt{3}}\overrightarrow{e_{1}}+\sqrt{\sqrt{3}}\overrightarrow{e_{2}}+\sqrt{\sqrt{3}}\overrightarrow{e_{3}}\right)^{2}\geq 0$

 <=>$5\sqrt{3}\geq 2\left ( 3\cos A+\sqrt{3}\cos C+3\cos B \right )$

 <=>$\frac{5\sqrt{3}}{2}\geq \left ( 3\cos A+\sqrt{3}\cos C+3\cos B \right )$

[thuan192]

Ta có thể tổng quát hóa bài toán

                  Cho tam giác ABC và ba số thực dương a,b,c .ta có

                      $a\cos A+b\cos B+c\cos C\leq \frac{1}{2}\left ( \frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b} \right )$

                           

Edited by thuan192, 15-09-2013 - 21:49.