CHO TAM GIÁC ABC
$\sqrt{3}cosC+3(cosA+cosB)=\frac{5\sqrt{3}}{2}$
chứng minh: tam giác $ABC$ cân tại $C$ và $\widehat{C}= 120^{\circ}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tttt: 15-07-2013 - 21:35
CHO TAM GIÁC ABC
$\sqrt{3}cosC+3(cosA+cosB)=\frac{5\sqrt{3}}{2}$
chứng minh: tam giác $ABC$ cân tại $C$ và $\widehat{C}= 120^{\circ}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tttt: 15-07-2013 - 21:35
CHO TAM GIÁC ABC
$\sqrt{3}cosC+3(cosA+cosB)=\frac{5\sqrt{3}}{2}$
chứng minh: tam giác $ABC$ cân tại $C$ và $\widehat{C}= 120^{\circ}$
Từ giả thiết ta có $\cos C+\sqrt{3}(\cos A+ \cos B)=\frac{5}{2}$
Ta có $\cos C+\sqrt{3}(\cos A+ \cos B)\leqslant 1-2\sin ^2\frac{C}{2}+2\sqrt{3}\cos \frac{A+B}{2}=1-2\sin^2\frac{C}{2}+2\sqrt{3}\sin \frac{C}{2}$
Ta sẽ chứng minh $1-2\sin^2\frac{C}{2}+2\sqrt{3}\sin \frac{C}{2}\leqslant \frac{5}{2}\Leftrightarrow (\sin \frac{C}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2})^2\geqslant 0$
Do đó ta có $\cos C+\sqrt{3}(\cos A+ \cos B)\leqslant \frac{5}{2}$
Đẳng thức xảy ra khi $\left\{\begin{matrix} A=B\\\sin \frac{C}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} A=B=30^0\\C=120^0 \end{matrix}\right.$
CHO TAM GIÁC ABC
$\sqrt{3}cosC+3(cosA+cosB)=\frac{5\sqrt{3}}{2}$
chứng minh: tam giác $ABC$ cân tại $C$ và $\widehat{C}= 120^{\circ}$
Mình cũng xin ủng hộ một cách
Gọi$\overrightarrow{e_{1}},\overrightarrow{e_{2}},\overrightarrow{e_{3}}$ lần lượt là các vecto đơn vị trên các cạnh AB ,BC ,CA ( lần lượt cùng hướng với các vecto AB,BC,CA)
Ta có ($\left(\sqrt{3\sqrt{3}}\overrightarrow{e_{1}}+\sqrt{\sqrt{3}}\overrightarrow{e_{2}}+\sqrt{\sqrt{3}}\overrightarrow{e_{3}}\right)^{2}\geq 0$
<=>$5\sqrt{3}\geq 2\left ( 3\cos A+\sqrt{3}\cos C+3\cos B \right )$
<=>$\frac{5\sqrt{3}}{2}\geq \left ( 3\cos A+\sqrt{3}\cos C+3\cos B \right )$
Ta có thể tổng quát hóa bài toán
Cho tam giác ABC và ba số thực dương a,b,c .ta có
$a\cos A+b\cos B+c\cos C\leq \frac{1}{2}\left ( \frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b} \right )$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thuan192: 15-09-2013 - 21:49
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh