Đến nội dung

Hình ảnh

$2^{\frac{n(n-1)}{2}}.(2^{n-1}-1)(2^{n-2}-1)...(2^2-1).(2^1-1)\vdots n$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
tran thanh binh dv class

tran thanh binh dv class

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 138 Bài viết

Chứng minh

$2^{\frac{n(n-1)}{2}}.(2^{n-1}-1)(2^{n-2}-1)...(2^2-1).(2^1-1)\vdots n$


Hình đã gửi


#2
WhjteShadow

WhjteShadow

    Thượng úy

  • Phó Quản lý Toán Ứng dụ
  • 1323 Bài viết

Chứng minh

$2^{\frac{n(n-1)}{2}}.(2^{n-1}-1)(2^{n-2}-1)...(2^2-1).(2^1-1)\vdots n$

Nếu $2^{i}-1\vdots n$ với $i$ nào đó thuộc $\{1;2;...;n-1\}$ hiển nhiên bài toán được hoàn tất.

Xét trường hợp ngược lại, $2^{i}-1\not \vdots n$ với $i=\overline{1;n-1}$

Ta sẽ chứng minh $\{2^{i}-1 | i=\overline{1;n}\}$ là 1 hệ thặng dư đầy đủ mod $n$. 

Thật vậy nếu tồn tại $a,b\in \{1;2;...;n\},a<b$ để $2^{a}-1\equiv 2^{b}-1 \pmod{n}$ suy ra $2^{b}.(2^{a-b}-1)\vdots n$. Nhưng $2^{b}.(2^{a-b}-1)\not \vdots n$ (Vì nếu $2^{b}.(2^{a-b}-1) \vdots n$ mà $2^{\frac{n(n-1)}{2}}.(2^{n-1}-1)(2^{n-2}-1)...(2^2-1).(2^1-1)\vdots 2^{b}.(2^{a-b}-1)\vdots n$ sẽ suy ra đpcm).

Vậy $2^{a}-1\not \equiv 2^{b}-1 \pmod{n}$ với $a,b\in \{1;2;...;n\},a<b$. Hay $\{2^{i}-1 | i=\overline{1;n}\}$ là 1 hệ thặng dư đầy đủ mod $n$ nhưng $2^{i}-1\not \vdots n$ với $i=\overline{1;n-1}$ nên $2^{n}-1\vdots n$ và $(2^{n-1}-1)(2^{n-2}-1)...(2^2-1).(2^1-1)\equiv (n-1)!\pmod{n}$.

Nếu $n$ là hợp số thì $(2^{n-1}-1)(2^{n-2}-1)...(2^2-1).(2^1-1)\equiv (n-1)!\equiv 0\pmod{n}$. Ta có đpcm.

Nếu $n$ là số nguyên tố thì $2^{n}\equiv 2\neq 1 \pmod{n}$ vô lý.

Kết thúc chứng minh $\square$


“There is no way home, home is the way.” - Thich Nhat Hanh

#3
Secrets In Inequalities VP

Secrets In Inequalities VP

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 309 Bài viết

Chứng minh

$2^{\frac{n(n-1)}{2}}.(2^{n-1}-1)(2^{n-2}-1)...(2^2-1).(2^1-1)\vdots n$

Ta còn chứng minh được là $2^{\frac{n(n-1)}{2}}.(2^{n-1}-1)(2^{n-2}-1)...(2^2-1).(2^1-1)\vdots n!$ 






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh