Chủ đề này có 3 trả lời

[AnnieSally]

Giải phương trình sau: $\sqrt{2-x^{2}}+\sqrt{2-\frac{1}{x^{2}}}=4-(x+\frac{1}{x})$

[AM GM]

Giải phương trình sau: $\sqrt{2-x^{2}}+\sqrt{2-\frac{1}{x^{2}}}=4-(x+\frac{1}{x})$

phương trình 

$\Leftrightarrow \sqrt{2-x^{2}}+x+\sqrt{2-\frac{1}{x^{2}}}+\frac{1}{x}=4$

lại có$\sqrt{2-x^{2}}+x\leq \sqrt{(2-x^{2}+x^{2})*2}= 2$(theo bunhiacopski)

tương tự $\Rightarrow \sqrt{2-\frac{1}{x^{2}}}+\frac{1}{x}\leq 2$

$\Rightarrow \sqrt{2-x^{2}}+x+\sqrt{2-\frac{1}{x^{2}}}+\frac{1}{x}\leq 4$

$\Rightarrow$ phương trình có nghiệm x=1

[hungnp]

Bất đẳng thức Bunhiacopxki không được dùng khi đi thi Đại học đâu các bạn.

phương trình 

$\Leftrightarrow \sqrt{2-x^{2}}+x+\sqrt{2-\frac{1}{x^{2}}}+\frac{1}{x}=4$

lại có$\sqrt{2-x^{2}}+x\leq \sqrt{(2-x^{2}+x^{2})*2}= 2$(theo bunhiacopski)

tương tự $\Rightarrow \sqrt{2-\frac{1}{x^{2}}}+\frac{1}{x}\leq 2$

$\Rightarrow \sqrt{2-x^{2}}+x+\sqrt{2-\frac{1}{x^{2}}}+\frac{1}{x}\leq 4$

$\Rightarrow$ phương trình có nghiệm x=1

ĐK: $\left\{\begin{matrix} 2-x^2\geqslant 0\\ 2-\frac{1}{x^2}\geqslant 0 \\ x\neq 0 \end{matrix} \Leftrightarrow x\in (-\frac{1}{\sqrt{2}};\frac{1}{\sqrt{2}})\setminus \{0\} \right.$

 

Xét hàm số $f(t)=\sqrt{2-t^2}+t$ với $t \in (-\frac{1}{\sqrt{2}};\frac{1}{\sqrt{2}})$

Đạo hàm: $f'(t)=\frac{-t}{\sqrt{2-t^2}}+1$

$f'(t)=0 \Leftrightarrow \sqrt{2-t^2}=t\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} t\geqslant 0\\ 2-t^2=t^2 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow t=1 $

BBT:

$$\begin{array}{|c|ccccccc|} \hline t & \; & -\frac{1}{\sqrt{2}} & \; & 1 & \; & \frac{1}{\sqrt{2}} &\; \\ \hline f'(t) \; & & & + & 0 & - & & \\ \hline & \; & \; & \; & 2 & \; & \; & \; \\ f(t) & \; & \; & \nearrow & \; & \searrow & \; & \\ & \; & \sqrt{2} & \; & \; & \; & \sqrt{2} & \\ \hline \end{array} $$

Từ BBT suy ra $f(t)\leqslant 2$ với mọi $t\in (-\frac{1}{\sqrt{2}};\frac{1}{\sqrt{2}})\setminus \{0\}$

 

Mà pt đề cho tương đương $f(x)+f(\frac{1}{x})=4$ nên chỉ có nghiệm khi: $x=\frac{1}{x}=1\Leftrightarrow x=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hungnp: 18-08-2013 - 12:59

[thanhducmath]

bài viết đã có tại đây:
 

http://diendantoanho...c1x24-x-frac1x/