Cho 2 đường tròn (O) và (O') tiếp xúc trong tại điểm K, ((O') nằm trong (O)). Điểm A nằm trên (O) sao cho 3 điểm A, O, O' không thẳng hàng. Các tiếp tuyến AD và AE của (O') cắt (O) lần lượt tại B và C (D, E là các tiếp điểm). Đường thẳng AO' cắt (O) tại F. Chứng minh rằng các đường thẳng BC, DE, FK đồng quy.
#2
Đã gửi 10-08-2013 - 16:29
malx
-
- Thành viên
-
- 42 Bài viết
Binh nhất
Đây thực ra là hệ quả của một bài hình quen thuộc: Nều $I$, trung điểm của $DE$, đồng thời là giao điểm của $AF$ và $DE$ thì $I$ là tâm đường tròn nội tiếp $\Delta ABC$ (lưu ý rằng do vậy $FB = FI = FC$), cũng như $KI$ là phân giác $\angle BKC$.
Áp dung vào bài này:
Nếu $X$ là điểm bất kỳ nằm trên $BK$ kéo dài về phía $K$ thì dễ thấy $KF$ là phân giác $\angle XKC$, vì thế $FK\perp KI$.
Gọi $H$ là giao điểm của $KF$ và $DE$, trong tam giác vuông $HIF$ có $FK. FH = FI^{2} = FB^{2}$, vì thế $\Delta FKB\sim \Delta FBH$ và $\angle HBF = \angle BKF = 180^{\circ} – \angle BAF = 180^{\circ} - \angle FBC$, ba điểm $H, B, C$ thẳng hàng và ta có đpcm.
Hình gửi kèm
- perfectstrong, Zaraki và LNH thích
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
