Chủ đề này có 1 trả lời

[germany3979]

Tìm tất cả các hàm: $f:R\rightarrow R$ sao cho: $f(x+cos(2009y))=f(x)+2009cos(f(y));\forall x,y\epsilon R$

[Idie9xx]

Tìm tất cả các hàm: $f:R\rightarrow R$ sao cho: $f(x+cos(2009y))=f(x)+2009cos(f(y));\forall x,y\epsilon R$

Bài này chắc chỉ gợi ý thôi

Cho $t=2009$

Cho $x=0$ có $f(\cos (ty))=f(0)+t\cos (f(y))$

Từ đó chứng minh được $f(\cos (tx)+\cos (ty))+f(0)=f(\cos (tx))+f(\cos (ty)),(*)$

$\Rightarrow f(x+y)+f(0)=f(x)+f(y)$ và $f(x-y)-f(0)=f(x)-f(y)$

và $f(2x)=2f(x)-f(0)$ với mọi $x,y\in \mathbb{R}$ và $-1\leq x,y \leq 1$

$\Rightarrow f(q)=a\cdot q+f(0)$ với mọi số hữu tỉ $-1\leq q\leq 1$

Mà ta có $t\cos(f(q))=f(\cos(tq))-f(0)=f(\cos(t(-q)))-f(0)=t\cos(f(-q))$

$\Rightarrow \cos(a\cdot q+f(0))=\cos(-a\cdot q+f(0)$

$\Rightarrow f(0)=2k\pi$ hoặc $f(0)=(2k+1)\pi$ hoặc $f(0)=\pm \dfrac{\pi}{2}+2k\pi$ với $k\in \mathbb{Z}$

Sử dụng công thức $\cos(a+b)+\cos(a-b)=2\cos a \cos b$

Từ $(*)$ thay $x,y$ bằng $x+y,x-y$ ($-1\leq x,y\leq 1$) ta chứng minh được

$f(\cos (t(x+y))+\cos (t(x-y)))=t\cos (f(x+y))+t\cos (f(x-y))+f(0)$

$\Rightarrow 2f(\cos tx \cos ty)-f(0)=2t\cos (\dfrac{f(x+y)+f(x-y)}{2}) \cos (\dfrac{f(x+y)-f(x-y)}{2})+f(0)$

$\Rightarrow f(\cos tx \cos ty)=t\cos (f(x)) \cos (f(y)-f(0))+f(0)$

Với $f(0)=2k\pi$ ta có $f(\cos tx \cos ty)=t\cos (f(x)) \cos (f(y))+f(0)$

$\Rightarrow t(f(\cos tx \cos ty)-f(0))=(f(\cos (x))-f(0))t(f(\cos (ty))-tf(0))$

$\Rightarrow t(f(xy)-f(0))=t(f(x)-f(0))t(f(y)-f(0))$

Đặt $tg(x)=f(x)-f(0)$ có $g(xy)=g(x)g(y)$

Theo $(*)$ cũng có $g(x+y)=g(x)+g(y)$

$\Rightarrow g(x)=x$ hoặc $g(x)=0$

$\Rightarrow f(x)=tx+2k\pi$ (thỏa) hoặc $f(x)=f(0)=2k\pi$ (không thỏa)

Tiếp tục xét tương tự với $f(0)=(2k+1)\pi$ và $f(0)=\pm \dfrac{\pi}{2}+2k\pi$