Chủ đề này có 3 trả lời

[germany3979]

Trong mặt phẳng cho đường tròn (O) và đường thẳng d không có điểm chung với (O). Gọi H là hình chiếu của O lên d, gọi M là một điểm trên d (M không trùng với H). Từ M kẻ các tiếp tuyến MA, MB với (O). Gọi C,D là hình chiếu của H lên MA, MB. Các đường thẳng CD, AB cắt OH tại I và K. Chứng minh I là trung điểm của HK.

[tranquocluat_ht]

Trong mặt phẳng cho đường tròn (O) và đường thẳng d không có điểm chung với (O). Gọi H là hình chiếu của O lên d, gọi M là một điểm trên d (M không trùng với H). Từ M kẻ các tiếp tuyến MA, MB với (O). Gọi C,D là hình chiếu của H lên MA, MB. Các đường thẳng CD, AB cắt OH tại I và K. Chứng minh I là trung điểm của HK.

+ Dễ thấy $K, H$ cố định.

+ Cho $M$ trùng $M_0$ sao cho $M_0H=R$ ta thấy ngay $I_0$ là trung điểm của $HK.$

+ Ta chỉ cần chứng minh $I$ trùng $I_0$ hay $I$ cố định khi $M$ di động (đang suy nghĩ ý này).

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tranquocluat_ht: 04-08-2013 - 16:08

[tranquocluat_ht]

 

+ Dễ thấy $K, H$ cố định.

+ Cho $M$ trùng $M_0$ sao cho $M_0H=R$ ta thấy ngay $I_0$ là trung điểm của $HK.$

+ Ta chỉ cần chứng minh $I$ trùng $I_0$ hay $I$ cố định khi $M$ di động (đang suy nghĩ ý này).

 

 

Có thể làm thế này đơn giản hơn:

+ Giả sử $AB$ cắt $CD$ tại $J.$ Khi đó, chứng minh được $\widehat{BDJ}=\widehat{BHJ}$ nên $\widehat{BJH}=90^0.$

+ Lại chứng minh được $\widehat{DJA}=\widehat{HKJ}$ nên $I$ là trung điểm của $KH.$

[malx]

Bài này rất hay.

Trước hết vì $OH\perp MH$ nên dễ thấy đường tròn ngoại tiếp $(MAB)$ đi qua $H$.

Gọi giao điểm của $MK$ với $(O)$ là $N, L$, của $AB$ với $d$ (tức $MH$) là $G$. Với đường tròn $(O)$, $AB\equiv m$ là polar của $M, K$ nằm trên $m$ nên theo La Hire, $M$ phải nằm trên $k$ là polar của $K$ và đường $k\perp OK$. vì thế $MH$, tức $d$ chính là polar của $K$. Lại có $k\equiv GM$ nên $K\equiv g\cap m$, với $g$ là polar của $G$. Do vậy $NL$ chính là polar của $G$ hay $GL$ (cũng như $GN$) là tiếp tuyến từ $G$ tới $(O)$.

Quan sát tứ giác nội tiếp $ALNB$ có $N$ là giao điểm của $(O)$ với $ML$, mà $M$ lại là giao điểm của hai tiếp tuyến tại $A$ và $B$ nên $ML$ là trục đối trung tại đỉnh $L$ trong tam giác $ALB$, tứ giác này là tứ giác điều hòa. Chùm điều hòa $L(LNBA)$ cắt $AG$ cho $(G, K; B, A) = -1$. Gọi giao điểm của $MA$ với $OH$ là $E$, của $MB$ với $OH$ là $F$. Chùm điều hòa $M(GKBA)$ cắt $OH$ cho $(H, K; F, E) = -1$ (*).

Nhận thấy $\angle CDM = \angle CHM = \angle CEF$ nên tứ giác $CDFE$ là tứ giác nội tiếp, do vậy $ID. IC = IF. IE$. Lại có $\angle ICH = \angle DMH = \angle DHI$ nên $ID$ là tiếp tuyến tới đường tròn $(CHD)$, do vậy $IH^{2} = ID. IC = IF. IE$ (**)

(*) và (**) cho $I$ là trung điểm của $KH$

 

 

Hình gửi kèm

•