Chủ đề này có 3 trả lời

[germany3979]

Cho tứ diện ABCD có AB=CD, AC=BD, AD=BC và mặt phẳng (CAB) vuông góc với mặt phẳng (DAB). Chứng minh rằng: $cot\widehat{BCD}.cot\widehat{BDC=\frac{1}{2}}$

 

 

[perfectstrong]

Lời giải:

Đặt $b=AB=DC$. Gọi $E$ là trung điểm $AB$. Hạ $CH,DK \perp AB$.

Dễ thấy $K,H$ đối xứng qua $E$; $CH=DK, CK=DH$.

Các mặt tứ diện đều là tam giác nhọn nên $H,K \in [AB]$.

Ta có:

\[
\begin{array}{l}
 mp\left( {ABC} \right) \bot mp\left( {ABD} \right) \\
  \Leftrightarrow CH \bot DK \\
  \Leftrightarrow DC^2  - DH^2  = KC^2  - KH^2  \\
  \Leftrightarrow b^2  - \left( {DK^2  + KH^2 } \right) = DH^2  - KH^2  \\
  \Leftrightarrow b^2  = DH^2  + DK^2  = 2DK^2  + KH^2  \\
  \Rightarrow \cot BCD.\cot BDC = \cot ABC.\cot BAC = \frac{{BH}}{{HC}}.\frac{{AH}}{{HC}} = \frac{{AE^2  - KE^2 }}{{HC^2 }} = \frac{{\frac{{b^2 }}{4} - \frac{{KH^2 }}{4}}}{{DK^2 }} = \frac{{\frac{{2DK^2 }}{4}}}{{DK^2 }} = \frac{1}{2} \\
 \end{array}
\]

[Lanaseafood]

Bạn giải thích giúp mình với: Dễ thấy K,H đối xứng qua E; CH=DK, CK=DH!!!!

[perfectstrong]

Bạn giải thích giúp mình với: Dễ thấy K,H đối xứng qua E; CH=DK, CK=DH!!!!

Dễ chứng minh các mặt tứ diện là tam giác nhọn nên $H,K \in [AB]$.

$\triangle ABC=\triangle BAD(c.c.c) \Rightarrow \widehat{CAB}=\widehat{DBA} \Rightarrow \vartriangle HAC=\vartriangle KBD(c.g.c) \Rightarrow HA=KB$.