Cho tứ diện ABCD có AB=CD, AC=BD, AD=BC và mặt phẳng (CAB) vuông góc với mặt phẳng (DAB). Chứng minh rằng: $cot\widehat{BCD}.cot\widehat{BDC=\frac{1}{2}}$
Cho tứ diện ABCD có AB=CD, AC=BD, AD=BC và mặt phẳng (CAB) vuông góc với mặt phẳng (DAB). Chứng minh rằng: $cot\widehat{BCD}.cot\widehat{BDC=\frac{1}{2}}$
Lời giải:
Đặt $b=AB=DC$. Gọi $E$ là trung điểm $AB$. Hạ $CH,DK \perp AB$.
Dễ thấy $K,H$ đối xứng qua $E$; $CH=DK, CK=DH$.
Các mặt tứ diện đều là tam giác nhọn nên $H,K \in [AB]$.
Ta có:
\[
\begin{array}{l}
mp\left( {ABC} \right) \bot mp\left( {ABD} \right) \\
\Leftrightarrow CH \bot DK \\
\Leftrightarrow DC^2 - DH^2 = KC^2 - KH^2 \\
\Leftrightarrow b^2 - \left( {DK^2 + KH^2 } \right) = DH^2 - KH^2 \\
\Leftrightarrow b^2 = DH^2 + DK^2 = 2DK^2 + KH^2 \\
\Rightarrow \cot BCD.\cot BDC = \cot ABC.\cot BAC = \frac{{BH}}{{HC}}.\frac{{AH}}{{HC}} = \frac{{AE^2 - KE^2 }}{{HC^2 }} = \frac{{\frac{{b^2 }}{4} - \frac{{KH^2 }}{4}}}{{DK^2 }} = \frac{{\frac{{2DK^2 }}{4}}}{{DK^2 }} = \frac{1}{2} \\
\end{array}
\]
Bạn giải thích giúp mình với: Dễ thấy K,H đối xứng qua E; CH=DK, CK=DH!!!!
Bạn giải thích giúp mình với: Dễ thấy K,H đối xứng qua E; CH=DK, CK=DH!!!!
Dễ chứng minh các mặt tứ diện là tam giác nhọn nên $H,K \in [AB]$.
$\triangle ABC=\triangle BAD(c.c.c) \Rightarrow \widehat{CAB}=\widehat{DBA} \Rightarrow \vartriangle HAC=\vartriangle KBD(c.g.c) \Rightarrow HA=KB$.
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh