Chủ đề này có 2 trả lời

[vo van duc]

Với $A,B,C \in M_{2}(\mathbb{R})$ thỏa $AB=BA$, $BC=CB$, $AC=CA$. thì

$$\det (A^2+B^2+C^2-AB-BC-CA) \geq 0$$

Chứng minh hay chỉ ra chổ sai của mệnh đề trên.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phudinhgioihan: 22-07-2013 - 10:14

[phudinhgioihan]

Với $A,B,C \in M_{2}(\mathbb{R})$ thỏa $AB=BA$, $BC=CB$, $AC=CA$. thì

$$\det (A^2+B^2+C^2-AB-BC-CA) \geq 0$$

Chứng minh hay chỉ ra chổ sai của mệnh đề trên.

 

Liên hệ với bất đẳng thức số thực thì đúng nên dự đoán nó đúng vậy . Tổng quát với 3 ma trận cấp $n$ bất kỳ chứ không riêng cấp 2.

Ta có $$A^2+B^2+C^2-AB-BC-CA=\frac{1}{2}\left[ (A-B)^2+(B-C)^2+(C-A)^2 \right] $$. Đặt $X=A-B \;, Y=B-C \; \Rightarrow C-A=-X-Y $

 

Do $A,B,C$ giao hoán đôi một nên cũng có $X$ và $Y$ giao hoán.

 

Vậy $$\det (A^2+B^2+C^2-AB-BC-CA)=\det (X^2+Y^2+XY)$$

 

Do đa thức đặc trưng của $X$ chỉ có hữu hạn nghiệm nên có vô số $t \in \mathbb{R}$ sao cho $X+tI$ khả nghịch. Thay $X$ bởi $X+tI$ ta chứng minh

 

$$\det((X+tI)^2+Y^2+(X+tI)Y) \ge 0$$ với mọi t sao cho $X+tI$ khả nghịch.

 

Do $X$ và $Y$ giao hoán nên $Y=Y(X+tI)(X+tI)^{-1}=(X+tI)Y(X+tI)^{-1} \Leftrightarrow (X+tI)^{-1}Y=Y(X+tI)^{-1}$

 

Suy ra $[(X+tI)^{-1}]^2Y^2=[(X+tI)^{-1}Y]^2 $

 

$$\det((X+tI)^2+Y^2+(X+tI)Y) $$

$$= (\det(X+tI))^2 \det\left(I+[(X+tI)^{-1}]^2Y^2+(X+tI)^{-1}Y\right)$$

 

$$=(\det(X+tI))^2 \det\left(I+[(X+tI)^{-1}Y]^2+(X+tI)^{-1}Y\right)$$

 

Đặt $U=(X+tI)^{-1}Y $

 

$$\det(U^2+U+I)=\det\left( (U+\frac{1}{2}I)^2-\frac{3i^2}{4}I \right)$$

$$=\left|\det\left( U+\frac{1}{2}I+\dfrac{\sqrt{3}}{2}iI \right) \right|^2 \ge 0$$

 

Vậy $$\det((X+tI)^2+Y^2+(X+tI)Y) \ge 0$$

 

$$\Rightarrow \lim_{t \to 0} \det((X+tI)^2+Y^2+(X+tI)Y) \ge 0$$

$$\Leftrightarrow \det(X^2+Y^2+XY) \ge 0$$

 

Vậy ta có đpcm.

[sinh vien]

Mình xin bổ sung thêm một chứng minh ngắn sử dụng các kiến thức về ma trận + số phức

  Cho A,B,C đôi một giao hoán nên ở đây các tính toán trên ma trận tương tự như các tính toán đại số thông thường .

  Ta lưu ý đến đẳng thức sau: $a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca=(a+\varepsilon b+\varepsilon ^{2}c)(a+\varepsilon ^{2}b+\varepsilon c),\varepsilon =e^{\frac{2\pi i}{3}}$.

  Thay a, b,c bằng các ma trận A,B,C $\in M_{2}(\mathbb{R})$ta được

$det(A^{2}+B^{2}+C^{2}-AB-BC-CA)=det(A+\varepsilon B+\varepsilon ^{2}C)det(A+\varepsilon ^{2}B+\varepsilon C)$

        $=det(A+\varepsilon B+\varepsilon ^{2}C)det(\overline{A+\varepsilon B+\varepsilon ^{2}C})=det(A+\varepsilon B+\varepsilon ^{2}C)\overline{det(A+\varepsilon B+\varepsilon ^{2}C)}$

 $=\left | det(A+\varepsilon B+\varepsilon ^{2}C) \right |^{2}\geqslant 0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi sinh vien: 19-06-2015 - 17:34