Cho các số nguyên dương a,b,c thoả mãn $a^{2}+ab+b^{2}$ là ước của $a^{3}+b^{3}$ và $a-b$ là số nguyên tố. Chứng minh: $a^{3}-b^{3}$ là luỹ thừa bậc bốn của 1 số nguyên
$a^{3}-b^{3}$ là luỹ thừa bậc bốn của 1 số nguyên
#1
Đã gửi 23-07-2013 - 17:22
#2
Đã gửi 22-10-2016 - 21:03
Đặt $a-b=p$ và $gcd(a^{3}-b^{3},a^{3}+b^{3})=d,gcd(a,b)=k$ ta xét hai trường hợp :
Nếu $a-b$ là số lẻ :
Ta có $d|2a^{3},2b^{3}$ , dễ thấy ở đây $d$ lẻ nên $d|a^{3},b^{3}$ . Nếu $d=1$ thì ta có ngay $a^{3}-b^{3}|(a-b)(a^{3}+b^{3})=> a^{3}-b^{3}=a-b=>a=b$ đây vô lý .
Do đó $d>1$ nên $d$ có một ước nguyên tố $q$ , ta suy ngay rằng $a,b$ cùng chia hết cho $p$ . Khi này dặt $a=px,b=py$ ta có $x-y=1$ và $x^{2}+xy+y^{2}|p(x^{3}+y^{3})$ trong đó $gcd(x,y)=1$ nên $x^{3}-y^{3}|p(x^{3}+y^{3})(x-y)=>x^{2}+xy+y^{2}|p(x-y)=p=> x^{2}+xy+y^{2}=p$ với $x-y=1$ như vậy ta có
$$a^{3}-b^{3}=p^{3}(x-y)(x^{2}+xy+y^{2})=p^{4}$$
Nếu $a-b=2$ ta có
$$a^{2}+ab+b^{2}|a^{3}+b^{3}$$
$$3a^{2}-6a+4|3(a+b)ab$$
$$3a^{2}-6a+4|6a(a-1)(a-2)$$
$$3a^{2}-6a+4|2a(a-1)(a-2)$$
$$3a^{2}-6a+4|2a(a-2)$$
$$3a^{2}-6a+4-2a^{2}+4a\leq 0$$
$$a^{2}-2a+4 \leq 0$$
Đây là điều vô lý , vậy ta có đpcm
- WhjteShadow, Min Nq, royal1534 và 6 người khác yêu thích
$$[\Psi_f(\mathbb{1}_{X_{\eta}}) ] = \sum_{\varnothing \neq J} (-1)^{\left|J \right|-1} [\mathrm{M}_{X_{\sigma},c}^{\vee}(\widetilde{D}_J^{\circ} \times_k \mathbf{G}_{m,k}^{\left|J \right|-1})] \in K_0(\mathbf{SH}_{\mathfrak{M},ct}(X_{\sigma})).$$
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh