Đến nội dung


Hình ảnh

$a^{3}-b^{3}$ là luỹ thừa bậc bốn của 1 số nguyên


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 holmes2013

holmes2013

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 189 Bài viết

Đã gửi 23-07-2013 - 17:22

Cho các số nguyên dương a,b,c thoả mãn $a^{2}+ab+b^{2}$ là ước của $a^{3}+b^{3}$ và $a-b$ là số nguyên tố. Chứng minh: $a^{3}-b^{3}$ là luỹ thừa bậc bốn của 1 số nguyên



#2 bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản trị
  • 1554 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Dốt nhất khoa Toán
  • Sở thích:Algebraic Topology
    Algebraic Geometry
    Recently trying to grasp derived functors of non-additive functors on abelian categories.

Đã gửi 22-10-2016 - 21:03

Đặt $a-b=p$ và $gcd(a^{3}-b^{3},a^{3}+b^{3})=d,gcd(a,b)=k$ ta xét hai trường hợp : 

Nếu $a-b$ là số lẻ : 

Ta có $d|2a^{3},2b^{3}$ , dễ thấy ở đây $d$ lẻ nên $d|a^{3},b^{3}$ . Nếu $d=1$ thì ta có ngay $a^{3}-b^{3}|(a-b)(a^{3}+b^{3})=> a^{3}-b^{3}=a-b=>a=b$ đây vô lý . 

Do đó $d>1$ nên $d$ có một ước nguyên tố $q$ , ta suy ngay rằng $a,b$ cùng chia hết cho $p$ . Khi này dặt $a=px,b=py$ ta có $x-y=1$ và $x^{2}+xy+y^{2}|p(x^{3}+y^{3})$ trong đó $gcd(x,y)=1$ nên $x^{3}-y^{3}|p(x^{3}+y^{3})(x-y)=>x^{2}+xy+y^{2}|p(x-y)=p=> x^{2}+xy+y^{2}=p$ với $x-y=1$ như vậy ta có

$$a^{3}-b^{3}=p^{3}(x-y)(x^{2}+xy+y^{2})=p^{4}$$ 

Nếu $a-b=2$ ta có 

$$a^{2}+ab+b^{2}|a^{3}+b^{3}$$

$$3a^{2}-6a+4|3(a+b)ab$$

$$3a^{2}-6a+4|6a(a-1)(a-2)$$

$$3a^{2}-6a+4|2a(a-1)(a-2)$$

$$3a^{2}-6a+4|2a(a-2)$$

$$3a^{2}-6a+4-2a^{2}+4a\leq 0$$

$$a^{2}-2a+4 \leq 0$$

Đây là điều vô lý , vậy ta có đpcm 


Declare to yourself that, from now on, your life is dedicated to one and only one woman, the greatest mistress of your life, the tenderest woman you have ever encountered, Mathematica.





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh