Chủ đề này có 3 trả lời

[Juliel]

Cho các số dương $a,b,c$. Chứng minh :

$\frac{1}{a\sqrt{a+b}}+\frac{1}{b\sqrt{b+c}}+\frac{1}{c\sqrt{c+a}}\geq \frac{3}{\sqrt{2abc}}$

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 23-07-2013 - 18:26

[ngoctruong236]

$\small $\dpi{120} \small Su dung bdtco ban:(x+y+z)^2\geq 3(xy+yz+zx) \rightarrow (\sum \frac{1}{a\sqrt{a+b}})^2 \geq 3\sum \frac{1}{ab\sqrt{(a+b)(b+c)}}.Do đó ta chi can cm \sum \frac{1}{ab\sqrt{(a+b)(b+c)}} \geq \frac{3}{2abc}hay\sum \frac{a}{\sqrt{(b+c)(c+a)}}\geq \frac{3}{2}.Áp dụng bdt AM-GM va C-S,ta co:\sum \frac{a}{\sqrt{(b+c)(c+a)}}\geq 2\sum \frac{a}{b+c+c+a}\geq \frac{2(\sum a)}^2{\sum a(a+b+2c)}.Toi day ta can cm:4(a+b+c)^2\geq 3(a^2+b^2+c^2)+9(ab+bc+ca)hay a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca\rightarrow dpcm$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ngoctruong236: 24-07-2013 - 15:25

[nguyencuong123]

Ta có: $(\sum \frac{1}{a\sqrt{a+b}})^{2}\geq \sum \frac{3}{ab\sqrt{(a+b)(b+c)}}=\sum \frac{3c}{abc\sqrt{(a+b)(b+c)}}$

Do đó ta cần chứng minh: $\sum \frac{3c}{abc\sqrt{(a+b)(b+c)}}\geq \frac{9}{2abc}\Leftrightarrow \sum \frac{c}{\sqrt{(a+b)(b+c)}}\geq \frac{3}{2}$.

Mà:$\sum \frac{c}{\sqrt{(a+b)(b+c)}} \geq \sum \frac{2c}{a+c+2b}\geq 2\frac{(a+b+c)^{2}}{(a+b+c)^{2}+\sum ab}\geq \frac{3}{2}$

[KietLW9]

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương: $\sqrt{\frac{2bc}{a(a+b)}}+\sqrt{\frac{2ca}{b(b+c)}}+\sqrt{\frac{2ab}{c(c+a)}}\geqslant 3$

Áp dụng Cauchy, ta có: $\sqrt{\frac{a(a+b)}{2bc}}\leqslant \frac{1}{2}(\frac{a+b}{2b}+\frac{a}{c})=\frac{2ab+bc+ca}{4bc}\Rightarrow \sqrt{\frac{2bc}{a(a+b)}}\geqslant \frac{4bc}{2ab+bc+ca}$

Tương tự rồi cộng lại, ta được: $\sqrt{\frac{2bc}{a(a+b)}}+\sqrt{\frac{2ca}{b(b+c)}}+\sqrt{\frac{2ab}{c(c+a)}}\geqslant \frac{4bc}{2ab+bc+ca}+\frac{4ca}{2bc+ca+ab}+\frac{4ab}{2ca+ab+bc}=\sum_{cyc}\frac{4(bc)^2}{2ab.bc+(bc)^2+ca.bc}\geqslant \frac{4(ab+bc+ca)^2}{(ab+bc+ca)^2+ab.bc+bc.ca+ca.ab}\geqslant \frac{4(ab+bc+ca)^2}{(ab+bc+ca)^2+\frac{(ab+bc+ca)^2}{3}}=3(Q.E.D)$

Đẳng thức xảy ra khi $a = b = c$