Đến nội dung

Hình ảnh

Cho x,y,z là các số dương, chứng minh rằng $xyz\leq 15$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
germany3979

germany3979

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 124 Bài viết

Cho x,y,z là các số dương và thỏa mãn: $\left\{\begin{matrix} x+y+z=9\\ x\geq 5;x+y\geq 8 \end{matrix}\right.$.

Chứng minh rằng $xyz\leq 15$



#2
Strygwyr

Strygwyr

    Sk8er-boi

  • Thành viên
  • 272 Bài viết


Cho x,y,z là các số dương và thỏa mãn: $\left\{\begin{matrix} x+y+z=9\\ x\geq 5;x+y\geq 8 \end{matrix}\right.$.

Chứng minh rằng $xyz\leq 15$

 

Bài này tiện nhất có lẽ là dùng khai triển $Abel$ kết hợp với phản chứng.

Giả sử $xyz>15$

Ta có : $z=9-x-y\leq 1\Rightarrow xy>\frac{15}{z}\geq 15$

Sử dụng khai triển $Abel$ kết hợp với $AM-GM$, ta có :

$x+y+z=\frac{x}{5}.5+\frac{y}{3}.3+z.1=2.\frac{x}{5}+2.(\frac{x}{5}+\frac{y}{3})+(\frac{x}{5}+\frac{y}{3}+z)$

$\geq 2.\frac{x}{5}+4\sqrt{\frac{xy}{15}}+3\sqrt[3]{\frac{xyz}{15}}>2+4+3=9$

Điều này mâu thuẫn với giả thiết. Suy ra $xyz\leq 15$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $x=5,y=3,z=1$

Spoiler


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namsub: 24-07-2013 - 10:08

"Nothing is impossible"

(Napoleon Bonaparte)


#3
25 minutes

25 minutes

    Thành viên nổi bật 2015

  • Hiệp sỹ
  • 2795 Bài viết

Cho x,y,z là các số dương và thỏa mãn: $\left\{\begin{matrix} x+y+z=9\\ x\geq 5;x+y\geq 8 \end{matrix}\right.$.

Chứng minh rằng $xyz\leq 15$

Bài này có thể làm theo C-S thông thường sau

Đặt $x=5+a,a \geqslant 0\Rightarrow y=4-a-z$

$\Rightarrow xyz=(5+a)(4-a-z)z$

Áp dụng C-S ta có $15xyz=(15+3a)(20-5a-5z)z\leqslant \frac{(15+3a+20-5a-5z)^2}{4}.z\leqslant \frac{(35-5z)^2}{4}.z$

Do đó ta chỉ cần chứng minh $\frac{(35-5z)^2}{4}.z\leqslant 15.15=225$

                                 $\Leftrightarrow (7-z)^2.z \leqslant 36$

                                $\Leftrightarrow (z-1)(z-4)(z-9)\leqslant 0$

Rõ ràng bất đẳng thức trên luôn đúng do $\left\{\begin{matrix} x+y+z=9\\x+y \geqslant 8 \end{matrix}\right.\Rightarrow z\leqslant 1$

Vậy ta có đpcm

Đẳng thức xảy ra khi $z=1,a=0\Leftrightarrow x=5,y=3,z=1$


Hãy theo đuổi đam mê, thành công sẽ theo đuổi bạn.



Thảo luận BĐT ôn thi Đại học tại đây


#4
vutuanhien

vutuanhien

    Thiếu úy

  • ĐHV Toán Cao cấp
  • 690 Bài viết

Cho x,y,z là các số dương và thỏa mãn: $\left\{\begin{matrix} x+y+z=9\\ x\geq 5;x+y\geq 8 \end{matrix}\right.$.

Chứng minh rằng $xyz\leq 15$

Bài này đã có ở đây rồi mà:http://diendantoanhoc.net/index.php?/topic/98401-ph%C3%A9p-nh%C3%B3m-abel-trong-ch%E1%BB%A9ng-minh-b%E1%BA%A5t-%C4%91%E1%BA%B3ng-th%E1%BB%A9c/


"The first analogy that came to my mind is of immersing the nut in some softening liquid, and why not simply water? From time to time you rub so the liquid penetrates better, and otherwise you let time pass. The shell becomes more flexible through weeks and months—when the time is ripe, hand pressure is enough, the shell opens like a perfectly ripened avocado!" - Grothendieck





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh