Cho x,y,z là các số dương và thỏa mãn: $\left\{\begin{matrix} x+y+z=9\\ x\geq 5;x+y\geq 8 \end{matrix}\right.$.
Chứng minh rằng $xyz\leq 15$
Cho x,y,z là các số dương và thỏa mãn: $\left\{\begin{matrix} x+y+z=9\\ x\geq 5;x+y\geq 8 \end{matrix}\right.$.
Chứng minh rằng $xyz\leq 15$
Cho x,y,z là các số dương và thỏa mãn: $\left\{\begin{matrix} x+y+z=9\\ x\geq 5;x+y\geq 8 \end{matrix}\right.$.
Chứng minh rằng $xyz\leq 15$
Bài này tiện nhất có lẽ là dùng khai triển $Abel$ kết hợp với phản chứng.
Giả sử $xyz>15$
Ta có : $z=9-x-y\leq 1\Rightarrow xy>\frac{15}{z}\geq 15$
Sử dụng khai triển $Abel$ kết hợp với $AM-GM$, ta có :
$x+y+z=\frac{x}{5}.5+\frac{y}{3}.3+z.1=2.\frac{x}{5}+2.(\frac{x}{5}+\frac{y}{3})+(\frac{x}{5}+\frac{y}{3}+z)$
$\geq 2.\frac{x}{5}+4\sqrt{\frac{xy}{15}}+3\sqrt[3]{\frac{xyz}{15}}>2+4+3=9$
Điều này mâu thuẫn với giả thiết. Suy ra $xyz\leq 15$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $x=5,y=3,z=1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namsub: 24-07-2013 - 10:08
"Nothing is impossible"
(Napoleon Bonaparte)
Cho x,y,z là các số dương và thỏa mãn: $\left\{\begin{matrix} x+y+z=9\\ x\geq 5;x+y\geq 8 \end{matrix}\right.$.
Chứng minh rằng $xyz\leq 15$
Bài này có thể làm theo C-S thông thường sau
Đặt $x=5+a,a \geqslant 0\Rightarrow y=4-a-z$
$\Rightarrow xyz=(5+a)(4-a-z)z$
Áp dụng C-S ta có $15xyz=(15+3a)(20-5a-5z)z\leqslant \frac{(15+3a+20-5a-5z)^2}{4}.z\leqslant \frac{(35-5z)^2}{4}.z$
Do đó ta chỉ cần chứng minh $\frac{(35-5z)^2}{4}.z\leqslant 15.15=225$
$\Leftrightarrow (7-z)^2.z \leqslant 36$
$\Leftrightarrow (z-1)(z-4)(z-9)\leqslant 0$
Rõ ràng bất đẳng thức trên luôn đúng do $\left\{\begin{matrix} x+y+z=9\\x+y \geqslant 8 \end{matrix}\right.\Rightarrow z\leqslant 1$
Vậy ta có đpcm
Đẳng thức xảy ra khi $z=1,a=0\Leftrightarrow x=5,y=3,z=1$
Cho x,y,z là các số dương và thỏa mãn: $\left\{\begin{matrix} x+y+z=9\\ x\geq 5;x+y\geq 8 \end{matrix}\right.$.
Chứng minh rằng $xyz\leq 15$
Bài này đã có ở đây rồi mà:http://diendantoanhoc.net/index.php?/topic/98401-ph%C3%A9p-nh%C3%B3m-abel-trong-ch%E1%BB%A9ng-minh-b%E1%BA%A5t-%C4%91%E1%BA%B3ng-th%E1%BB%A9c/
"The first analogy that came to my mind is of immersing the nut in some softening liquid, and why not simply water? From time to time you rub so the liquid penetrates better, and otherwise you let time pass. The shell becomes more flexible through weeks and months—when the time is ripe, hand pressure is enough, the shell opens like a perfectly ripened avocado!" - Grothendieck
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh