cho a,b,c $\in \mathbb{Q}$ khác nhau đôi một,CMR $\sqrt{\frac{1}{\left ( a-b \right )^{2}}+\frac{1}{\left ( b-c \right )^{2}}{}+\frac{1}{\left ( c-a \right )^{2}}}\in \mathbb{Q}$
cho a,b,c $\in \mathbb{Q}$ khác nhau đôi một
#1
Đã gửi 25-07-2013 - 21:04
#2
Đã gửi 25-07-2013 - 21:31
Đặt x= $a-b$; y$=b-c$ ; z$=c-a$
Ta có x+y+z=0
Xét: $(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})^2=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+2(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz})$
= $\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+2(\frac{x+y+z}{xyz})$
=$\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}$
$\Rightarrow \sqrt{\frac{1}{X^2}+\frac{1}{Y^2}+\frac{1}{Z^2}}=\begin{vmatrix} {}\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} & \end{vmatrix}$
=> suy ra đpcm do biểu thức đó là số nguyên
- letankhang, AnnieSally, super like và 4 người khác yêu thích
#3
Đã gửi 25-07-2013 - 21:35
ta đặt a-b=x, b-c=y , c-a=z .Khi đó x+y+z=a-b+b-c+c-a=0
Khi đó $\sqrt{\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(c-a)^2}}=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}$
Ta có :
$(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})^2=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+2(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx})$
$=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+2(\frac{x+y+z}{xyz})$
$=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}$ (vì x+y+z) = 0
........
#4
Đã gửi 25-07-2013 - 21:47
ta đặt a-b=x, b-c=y , c-a=z .Khi đó x+y+z=a-b+b-c+c-a=0
Khi đó $\sqrt{\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(c-a)^2}}=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}$
Ta có :
$(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})^2=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+2(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx})$
$=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+2(\frac{x+y+z}{xyz})$
$=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}$ (vì x+y+z) = 0
........
tks các anh nhiều!
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Quyen Do: 25-07-2013 - 21:47
- laiducthang98 và Near Ryuzaki thích
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh