Đến nội dung

Hình ảnh

$\sum \frac{1}{a^{2}}\geq \sum a^{2}$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
holmes2013

holmes2013

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 189 Bài viết

Cho các số thực dương a,b,c thoả mãn $a+b+c= 3$. Chứng minh:

$\sum \frac{1}{a^{2}}\geq \sum a^{2}$



#2
25 minutes

25 minutes

    Thành viên nổi bật 2015

  • Hiệp sỹ
  • 2795 Bài viết

Cho các số thực dương a,b,c thoả mãn $a+b+c= 3$. Chứng minh:

$\sum \frac{1}{a^{2}}\geq \sum a^{2}$

BĐT $\Leftrightarrow \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+2(ab+bc+ca)\geqslant 9$

Viết the0 ngôn ngữ $p,q,r$, ta có 

            $\Leftrightarrow \frac{q^2-2pr}{r^2}+2q\geqslant 9$

Thay $p=3$ ta có $\Leftrightarrow \frac{q^2-6r}{r^2}+2q\geqslant 9$

Áp dụng AM-GM ta có $q^2\geqslant 3pr=9r\Rightarrow q\geqslant 3\sqrt{r}$

D0 đó ta chỉ cần chứng minh $\frac{9r-6r}{r^2}+6\sqrt{r}\geqslant 9$

                           $\Leftrightarrow \frac{1}{r}+2\sqrt{r}\geqslant 3$

Nhưng bất đẳng thức trên luôn đúng the0 AM-GM

Vậy ta có đpcm

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Toc Ngan: 27-07-2013 - 09:30

Hãy theo đuổi đam mê, thành công sẽ theo đuổi bạn.



Thảo luận BĐT ôn thi Đại học tại đây


#3
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

Ta có: $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\geq \frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=\frac{a+b+c}{abc}=\frac{3}{abc}$

Ta cần chứng minh: $\frac{3}{abc}+2(ab+bc+ca)\geq (a+b+c)^2=9$

Lại có: $(ab+bc+ca)^2\geq 3abc(a+b+c)=9abc\Rightarrow 2(ab+bc+ca)\geq 6\sqrt{abc}$

$\Rightarrow \frac{3}{abc}+2(ab+bc+ca)\geq \frac{3}{abc}+6\sqrt{abc}=\frac{3}{abc}+3\sqrt{abc}+3\sqrt{abc}\geq 9$

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh