Cho các số thực dương a,b,c thoả mãn $a+b+c= 3$. Chứng minh:
$\sum \frac{1}{a^{2}}\geq \sum a^{2}$
Cho các số thực dương a,b,c thoả mãn $a+b+c= 3$. Chứng minh:
$\sum \frac{1}{a^{2}}\geq \sum a^{2}$
Cho các số thực dương a,b,c thoả mãn $a+b+c= 3$. Chứng minh:
$\sum \frac{1}{a^{2}}\geq \sum a^{2}$
BĐT $\Leftrightarrow \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+2(ab+bc+ca)\geqslant 9$
Viết the0 ngôn ngữ $p,q,r$, ta có
$\Leftrightarrow \frac{q^2-2pr}{r^2}+2q\geqslant 9$
Thay $p=3$ ta có $\Leftrightarrow \frac{q^2-6r}{r^2}+2q\geqslant 9$
Áp dụng AM-GM ta có $q^2\geqslant 3pr=9r\Rightarrow q\geqslant 3\sqrt{r}$
D0 đó ta chỉ cần chứng minh $\frac{9r-6r}{r^2}+6\sqrt{r}\geqslant 9$
$\Leftrightarrow \frac{1}{r}+2\sqrt{r}\geqslant 3$
Nhưng bất đẳng thức trên luôn đúng the0 AM-GM
Vậy ta có đpcm
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Toc Ngan: 27-07-2013 - 09:30
Ta có: $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\geq \frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=\frac{a+b+c}{abc}=\frac{3}{abc}$
Ta cần chứng minh: $\frac{3}{abc}+2(ab+bc+ca)\geq (a+b+c)^2=9$
Lại có: $(ab+bc+ca)^2\geq 3abc(a+b+c)=9abc\Rightarrow 2(ab+bc+ca)\geq 6\sqrt{abc}$
$\Rightarrow \frac{3}{abc}+2(ab+bc+ca)\geq \frac{3}{abc}+6\sqrt{abc}=\frac{3}{abc}+3\sqrt{abc}+3\sqrt{abc}\geq 9$
Vậy bất đẳng thức được chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh