Đến nội dung


Hình ảnh

Bất đẳng thức chuẩn bị cho kì thi THPTQG 2015-2016


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 389 trả lời

#21 daicahuyvn

daicahuyvn

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 93 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN

Đã gửi 15-08-2013 - 16:27

Bài 13

Cho $a\geqslant b\geqslant c>0$ tìm GTNN của:

P=$\frac{(3ab+bc)^{2}}{b^{4}}+\frac{121b^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+8ac}$

$x=\frac{a}{b},y=\frac{c}{b}, x\ge 1 \ge y$

$P=(3x+y)^2+\frac{121}{x^2+y^2+8xy+1}$

$x^2+y^2+8xy+1=t; (3x+y)^2=6x^2+x^2+2x^2+6xy+y^2\ge 6+x^2+8xy+y^2=t+5$

$P\ge t+5+\frac{121}{t}=f(t)$

$f(t)\ge 27\Leftrightarrow (t-11)^2=0$

$P=27\Leftrightarrow a=b=c$

$\min P=27$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi daicahuyvn: 15-08-2013 - 16:45


#22 hihi2zz

hihi2zz

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 248 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đắk Lắk
  • Sở thích:Đá bóng,cầu lông,toán,....

Đã gửi 17-08-2013 - 19:20

Bài 14:Cho số thực $x,y,z$ thuộc đoạn $[0;2]$ và thỏa mãn $x+y+z=3$.Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=x^{2}+y^{2}+z^{2}-xy-yz-zx$


:ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:

                   Cách duy nhất để học toán là làm toán                            

 


#23 hihi2zz

hihi2zz

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 248 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đắk Lắk
  • Sở thích:Đá bóng,cầu lông,toán,....

Đã gửi 17-08-2013 - 19:23

Bài 15:Cho các số dương $x,y,z$ thỏa mãn $x+y+z=3$.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\frac{x^{2}}{x+y^{2}}+\frac{y^{2}}{y+z^{2}}+\frac{z^{2}}{z+x^{2}}$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hihi2zz: 17-08-2013 - 19:24

:ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:

                   Cách duy nhất để học toán là làm toán                            

 


#24 hihi2zz

hihi2zz

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 248 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đắk Lắk
  • Sở thích:Đá bóng,cầu lông,toán,....

Đã gửi 17-08-2013 - 19:27

Bài 16:Cho các số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn $x(x-1)+y(y-1)+z(z-1) \leq 6$.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\frac{1}{x+y+1}+\frac{1}{y+z+1}+\frac{1}{z+x+1}$.


:ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:

                   Cách duy nhất để học toán là làm toán                            

 


#25 hihi2zz

hihi2zz

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 248 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đắk Lắk
  • Sở thích:Đá bóng,cầu lông,toán,....

Đã gửi 17-08-2013 - 19:30

Bài 17:Cho các số thực dương $a,b$ thỏa mãn $ab+a+b=3$.

Chứng minh rằng: $\frac{3a}{b+1}+\frac{3b}{a+1}+\frac{ab}{a+b} \leq a^{2}+b^{2}+\frac{3}{2} $.


:ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:

                   Cách duy nhất để học toán là làm toán                            

 


#26 hihi2zz

hihi2zz

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 248 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đắk Lắk
  • Sở thích:Đá bóng,cầu lông,toán,....

Đã gửi 17-08-2013 - 19:41

Bài 18:Cho các số thực dương $a,b$ thỏa mãn $ab+a+b=3$.

Tìm GTNN của biểu thức $P=\frac{4a}{b+1}+\frac{4b}{a+1}+2ab-\sqrt{7-3ab}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hihi2zz: 17-08-2013 - 19:42

:ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:

                   Cách duy nhất để học toán là làm toán                            

 


#27 trauvang97

trauvang97

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 402 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN - ĐHBKHN

Đã gửi 17-08-2013 - 19:42

Bài 15:Cho các số dương $x,y,z$ thỏa mãn $x+y+z=3$.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\frac{x^{2}}{x+y^{2}}+\frac{y^{2}}{y+z^{2}}+\frac{z^{2}}{z+x^{2}}$.

 

Ta có:

 

$\frac{x^2}{x+y^2}=x-\frac{xy^2}{x+y^2}\geq x-\frac{xy^2}{2\sqrt{x}y}=x-\frac{y\sqrt{x}}{2}$$y\sqrt{x}+z\sqrt{y}+x\sqrt{z}\leq \sqrt{(x+y+z)(xy+yz+zx)}\leq\sqrt{(x+y+z)^2}=3$

 

Tương tự ta có: $\frac{y^2}{y+z^2}\geq y-\frac{z\sqrt{y}}{2}$

 

                         $\frac{z^2}{z+x^2}\geq z-\frac{x\sqrt{z}}{2}$

 

Cộng vế với vế ta có: $P\geq x+y+z-\frac{y\sqrt{x}+z\sqrt{y}+x\sqrt{z}}{2}=3-\frac{y\sqrt{x}+z\sqrt{y}+x\sqrt{z}}{2}$

 

Áp dụng bất đẳng thức Buniakovsky ta có:

 

$y\sqrt{x}+z\sqrt{y}+x\sqrt{z}\leq \sqrt{(x+y+z)(xy+yz+zx)}\leq \sqrt{(x+y+z)^2}=3$

 

Vậy $minP= \frac{3}{2}$ khi và chỉ khi $x=y=z=1$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi trauvang97: 09-06-2014 - 10:02


#28 hihi2zz

hihi2zz

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 248 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đắk Lắk
  • Sở thích:Đá bóng,cầu lông,toán,....

Đã gửi 17-08-2013 - 19:46

Bài 19: Cho các số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn $x+y+z=3$. Tìm GTNN của biểu thức $P=\frac{4x}{y(2\sqrt{1+8y^{3}}+4x-2)}+\frac{4y}{z(2\sqrt{1+8z^{3}}+4y-2)}+\frac{4z}{x(2\sqrt{1+8x^{3}}+4z-2)}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hihi2zz: 17-08-2013 - 19:49

:ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:

                   Cách duy nhất để học toán là làm toán                            

 


#29 hihi2zz

hihi2zz

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 248 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đắk Lắk
  • Sở thích:Đá bóng,cầu lông,toán,....

Đã gửi 17-08-2013 - 19:53

Bài 20: Cho các số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn $x+y+z \leq 3$.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

$P= \frac{2}{x^{3}}+ \frac{2}{y^{3}}$+ $\frac{2}{z^{3}}+ \frac{1}{x^{2}-xy+y^{2}}$+ $\frac{1}{y^{2}-yz+z^{2}}$

+ $\frac{1}{z^{2}-zx+x^{2}} $.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hihi2zz: 21-08-2013 - 11:33

:ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:

                   Cách duy nhất để học toán là làm toán                            

 


#30 trauvang97

trauvang97

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 402 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN - ĐHBKHN

Đã gửi 17-08-2013 - 19:54

Bài 18:Cho các số thực dương $a,b$ thỏa mãn $ab+a+b=3$.

Tìm GTNN của biểu thức $P=\frac{4a}{b+1}+\frac{4b}{a+1}+2ab-\sqrt{7-3ab}$

 

Xem tại đây



#31 trauvang97

trauvang97

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 402 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN - ĐHBKHN

Đã gửi 17-08-2013 - 20:07

Bài 17:Cho các số thực dương $a,b$ thỏa mãn $ab+a+b=3$.

Chứng minh rằng: $\frac{3a}{b+1}+\frac{3b}{a+1}+\frac{ab}{a+b} \leq a^{2}+b^{2}+\frac{3}{2} $.

 

Từ giả thiết suy ra: $(a+1)(b+1)=4$

 

Khi đó: $VT=\frac{3a(a+1)+3b(b+1)}{4}+\frac{ab}{a+b}\leq \frac{3a^2+3b^2}{4}+a+b$

 

Viết lại bất đẳng thức cần chứng minh thành:

 

$3a^2+3b^2+4(a+b)\leq 4(a^2+b^2)+6\Leftrightarrow 4(a+b)\leq a^2+b^2+2(ab+a+b)$

 

hay $2(a+b)\leq (a+b)^2\Leftrightarrow (a+b)(a+b-2)\geq0$            $(1)$

 

Mặt khác, từ giả thiết có: $6=2ab+2a+2b\leq 2ab+a^2+1+b^2+1\Leftrightarrow 2\leq a+b$

 

Do đó $(1)$ đúng, vậy bất đẳng thức được chứng minh



#32 daicahuyvn

daicahuyvn

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 93 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN

Đã gửi 18-08-2013 - 14:08

Bài 14:Cho số thực $x,y,z$ thuộc đoạn $[0;2]$ và thỏa mãn $x+y+z=3$.Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=x^{2}+y^{2}+z^{2}-xy-yz-zx$

$y= \min \left \{ x,y,z \right \},y\le 1$

$0\le z=3-x-y\le 2 \Rightarrow 1\le x+y\le 3\Rightarrow 1-y\le x\le 3-y$

$P=(x+y+z)^2-3(xy+yz+zx)=9-3(xy+yz+zx)$

$-(xy+yz+zx)=-x(y+z)-y(3-x-y)=(x^2+y^2)-3(x+y)+xy=x^2+(y-3)x+y^2-3y=f(x)$

$1-y\le x\le 2\Rightarrow f(x)\le \max \left\{f(1-y),f(2)\right\}=-y^2+y+2=y(1-y)+2\ge 2$

$f(x)=-(x+\frac{y-3}{2})^2-\frac{3(y-1)^2}{4}+3 \le 3$

$0\le P\le 3$;$P(1,1,1)=0,P(2,1,0)=3$

$\min P=0;\max P=3$



#33 daicahuyvn

daicahuyvn

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 93 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN

Đã gửi 18-08-2013 - 20:31

Bài 19: Cho các số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn $x+y+z=3$. Tìm GTNN của biểu thức $P=\frac{4x}{y(2\sqrt{1+8y^{3}}+4x-2)}+\frac{4y}{z(2\sqrt{1+8z^{3}}+4y-2)}+\frac{4z}{x(2\sqrt{1+8x^{3}}+4z-2)}$

$\sqrt{1+8y^3}=\sqrt{(1+2y)(4y^2-2y+1)}\le 2y^2+1\Rightarrow \frac{4x}{y(2\sqrt{1+8y^2}+4x-2)}\ge \frac{x}{y(y^2+x)}=\frac{1}{y}-\frac{y}{y^2+x}\ge \frac{1}{y}-\frac{1}{2\sqrt{x}}$

$P\ge \sum (\frac{1}{x}-\frac{1}{2\sqrt{x}})=\sum (\frac{1}{\sqrt{x}}-1)^2+\frac{3}{2}\sum \frac{1}{\sqrt{x}}-3$

$\sum \frac{1}{\sqrt{x}}\ge \frac{9}{\sum \sqrt{x}}\ge \frac{9}{3\sqrt{\frac{x+y+z}{3}}}=3$

$P\ge \frac{3}{2}; P=\frac{3}{2}\Leftrightarrow x=y=z=1$

$\min P=\frac{3}{2}$



#34 phanquockhanh

phanquockhanh

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 310 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Phan Ngọc Hiển
  • Sở thích:Toán học và cuộc sống

Đã gửi 18-08-2013 - 21:10

Bài 21: Cho $a,b,c $ là các số thực dương thỏa mãn $abc=1$.Tìm min của biểu thức:

$P=\dfrac{1}{2a+1}+\dfrac{1}{2b+1}+\dfrac{2}{(2c+1)\sqrt{6c+3}}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phanquockhanh: 18-08-2013 - 21:11


#35 25 minutes

25 minutes

    Thành viên nổi bật 2015

  • Hiệp sỹ
  • 2795 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:KHTN-NEU
  • Sở thích:Cafe + radio + mưa

Đã gửi 19-08-2013 - 12:31

Bài 16:Cho các số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn $x(x-1)+y(y-1)+z(z-1) \leq 6$.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\frac{1}{x+y+1}+\frac{1}{y+z+1}+\frac{1}{z+x+1}$.

Từ giả thiết ta có $x^2+y^2+z^2 \leqslant 6+x+y+z$

Áp dụng AM-GM ta có $x^2+y^2+z^2\geqslant \frac{(x+y+z)^2}{3}\Rightarrow 6+x+y+z\geqslant \frac{(x+y+z)^2}{3}$

          $\Rightarrow x+y+z\leqslant 6$

$\frac{1}{1+x+y}+\frac{1}{1+y+z}+\frac{1}{1+z+x}\geqslant \frac{9}{3+2(x+y+z)}\geqslant \frac{3}{5}$

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=2$


Hãy theo đuổi đam mê, thành công sẽ theo đuổi bạn.



Thảo luận BĐT ôn thi Đại học tại đây


#36 daicahuyvn

daicahuyvn

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 93 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN

Đã gửi 19-08-2013 - 13:45

 

Bài 21: Cho $a,b,c $ là các số thực dương thỏa mãn $abc=1$.Tìm min của biểu thức:

$P=\dfrac{1}{2a+1}+\dfrac{1}{2b+1}+\dfrac{2}{(2c+1)\sqrt{6c+3}}$

 

TH1:$c\le 4 \Rightarrow 4ab\ge 1$

$P\ge \frac{1}{2+a^2}+\frac{1}{2+b^2}+\frac{2}{(2c+1)\sqrt{6c+3}}\ge \frac{2}{2+ab}+\frac{2}{(2c+1)\sqrt{6c+3}}=\frac{2(c\sqrt{6c+3}+1)}{(2c+1)\sqrt{6c+3}}=f(c)$

$f(c)\ge \frac{8}{9}\Leftrightarrow (4-c)\sqrt{6c+3}\le 9 \Leftrightarrow (c-1)^2(6c-33)\le 0 $

 

TH2: $c\ge 4 \Rightarrow 4ab\le 1 \Rightarrow \frac{1}{2a+1}+\frac{1}{2b+1}\ge 1>\frac{8}{9}$

 

$P=\frac{8}{9}\Leftrightarrow a=b=c=1$

$\min P=\frac{8}{9}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi daicahuyvn: 19-08-2013 - 15:33


#37 Alexman113

Alexman113

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 666 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 20-08-2013 - 22:51

Bài 22. Cho $a,\,b,\,c>0$ và $a+b+c=3.$ Tìm giá trị lớn nhất của: $$P=\dfrac{2}{3+ab+bc+ca}+\dfrac{\sqrt[3]{abc}}{1+\sqrt[3]{abc}}$$


KK09XI~ Nothing fails like succcess ~

#38 Alexman113

Alexman113

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 666 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 20-08-2013 - 22:54

Bài 23. Cho $a,\,b,\,c\geq0$ và $a+b+c=1.$ Tìm giá trị nhỏ nhất của: $$P=3\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)+3\left(ab+bc+ca\right)+2\sqrt{a^2+b^2+c^2}$$


KK09XI~ Nothing fails like succcess ~

#39 Alexman113

Alexman113

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 666 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 20-08-2013 - 23:02

Bài 24. Cho các số thực $x,\,y$ thỏa $\left(x-4\right)^2+\left(y-4\right)^2+2xy\leq32.$ Tìm giá trị nhỏ nhất của: $$P=x^3+y^3+3\left(xy-1\right)\left(x+y-2\right)$$


KK09XI~ Nothing fails like succcess ~

#40 Alexman113

Alexman113

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 666 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 20-08-2013 - 23:09

Bài 25. Cho các số thực $x,\,y,\,z$ thỏa $\left\{ \begin{array}{l}x+y+z=0 \\x^2+y^2+z^2=1 \end{array} \right..$ Tìm giá trị lớn nhất của: $$P=x^5+y^5+z^5$$


KK09XI~ Nothing fails like succcess ~




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh