Đến nội dung


Hình ảnh

Bất đẳng thức chuẩn bị cho kì thi THPTQG 2015-2016


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 389 trả lời

#381 caybutbixanh

caybutbixanh

    Trung úy

  • Thành viên
  • 888 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 02-05-2016 - 22:18

Cho các số thực x,y,z $\in$ $\left [ 0;1 \right ]$ .Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:

P= $\frac{x^{3}+2}{y^{2}+1}+\frac{y^{3}+2}{z^{2}+1}+\frac{z^{3}+2}{x^{2}+1}$

Cuối cùng sau bao gian nan, tìm tòi, hỏi thầy hỏi bạn  cuối cùng cũng có lời giải bài này :

Lời giải:

từ giả thiết suy ra $x^3 \leq x^2$ do vậy ( để đồng bậc ):$\frac{x^3+2}{y^2+1} \leq \frac{x^2+2}{y^2+1}$ ( Dấu "=" xảy ra khi x=0 hoặc x=1)

Mà $(x^2+2)\frac{1+y^2-y^2}{y^2+1}=(x^2+2).(1-\frac{y^2}{y^2+1}) \leq (x^2+2).(1-\frac{y^2}{2}) (y \leq 1\Rightarrow y^2 \leq 1)$

Suy ra :$\frac{x^3+2}{y^2+1} \leq (x^2+2)(1-\frac{y^2}{2})=x^2+2-y^2-\frac{x^2y^2}{2}.$

( Dấu "=" xảy ra khi y=0 hoặc y=1)

Thiết lập tương tự, ta có :

$\frac{y^3+2}{z^2+1} \leq (y^2+2)(1-\frac{z^2}{2})=y^2+2-z^2-\frac{y^2z^2}{2} \\$
$\frac{z^3+2}{x^2+1} \leq (z^2+2)(1-\frac{x^2}{2})=z^2+2-x^2-\frac{x^2z^2}{2} \\$
Do đó :$P \leq 6-\frac{x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2}{2} \leq 6$ ("=" khi $x=y=z=0$)
GTLN P =6 khi $x=y=z=0$ ( Kết hợp tất cả các dấu bằng của các đánh giá )

KẺ MẠNH CHƯA CHẮC ĐÃ THẮNG



MÀ KẺ THẮNG MỚI CHÍNH LÀ KẺ MẠNH!.



(FRANZ BECKEN BAUER)




ÔN THI MÔN HÓA HỌC TẠI ĐÂY.


#382 pndpnd

pndpnd

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 164 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 03-05-2016 - 20:17

Cho $x,y,z>0$ và $x^2+y^2+z^2=3$. Tìm GTNN:

$P= \sqrt{\frac{3}{(x+y)^2}+z^2}+\sqrt{\frac{3}{(y+z)^2}+x^2}+\sqrt{\frac{3}{(x+z)^2}+y^2}$



#383 Trung007

Trung007

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 2 Bài viết

Đã gửi 06-05-2016 - 00:23

Tình cờ lục lọi mấy bài toán, lại có ở đây http://diendantoanho...acadbbda-geq-4/

Bài này làm sao mình phân tích P được như vậy? Mình cảm ơn



#384 quangtq1998

quangtq1998

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 192 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 06-05-2016 - 21:34

Bài này làm sao mình phân tích P được như vậy? Mình cảm ơn

Bài này chắc là điều kiện $ a,b,c \ge 0 $ nhưng mà với cách đặt như vậy ta có :
$x+y+z =1$

$ x^2 +y^2+z^2=2(xy+yz+zx)$
$\Leftrightarrow (\sqrt{x}+\sqrt{y} +\sqrt{z} )(\sqrt{x}+\sqrt{z} -\sqrt{y} ) (\sqrt{z}+\sqrt{y} -\sqrt{x} ) (\sqrt{x}+\sqrt{y} -\sqrt{z} )=0 $
Giả sửa a là số lớn nhất hoặc x là số lớn nhất nên ta có : $\sqrt{x} = \sqrt{y}+\sqrt{z} $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quangtq1998: 07-05-2016 - 21:35


#385 ThoiGianHMU

ThoiGianHMU

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 3 Bài viết

Đã gửi 06-06-2016 - 23:33

Cho $x,y$ là hai số thực thoả mãn điều kiện $(x+y)^{3}+4xy \geq 2$.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$P=3(x^{2} +y^{2})^{2}-2(x+y)^{2}-xy(3xy-4)+2016$



#386 caybutbixanh

caybutbixanh

    Trung úy

  • Thành viên
  • 888 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 07-06-2016 - 12:59

Cho $x,y$ là hai số thực thoả mãn điều kiện $(x+y)^{3}+4xy \geq 2$.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$P=3(x^{2} +y^{2})^{2}-2(x+y)^{2}-xy(3xy-4)+2016$

Lời giải :

Ta có :$(x+y)^3+(x+y)^2 \geq (x+y)^3+4xy \geq 2 \Leftrightarrow (x+y-1)((x+y)^2+2(x+y)+2) \geq 0 \Leftrightarrow x+y \geq 1$

Đặt $t=x+y$. khi đó:

$P \geq \frac{3}{4}.(x+y)^4-2(x+y)^2-\frac{(x+y)^2}{4}.(\frac{3(x+y)^2}{4}-4)+2016=\frac{9}{16}.(x+y)^4-(x+y)^2+2016=\frac{9}{16}t^4-t^2+2016=f(t)$

Xét $f(t)$  với $t \geq 1$ ta được $P \geq f(1)=\frac{32249}{16}.$ Dấu bằng xảy ra $x=y=\frac{1}{2}$


KẺ MẠNH CHƯA CHẮC ĐÃ THẮNG



MÀ KẺ THẮNG MỚI CHÍNH LÀ KẺ MẠNH!.



(FRANZ BECKEN BAUER)




ÔN THI MÔN HÓA HỌC TẠI ĐÂY.


#387 ThoiGianHMU

ThoiGianHMU

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 3 Bài viết

Đã gửi 07-06-2016 - 23:34

Cho $a,b,c$ là 3 số thực dương thỏa mãn $abc=1$

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

$P=\frac{ab+\sqrt{a^{4}+4b^{2}a^{2}}}{3b^{2}+a^{2}}+\frac{bc+\sqrt{b^{4}+4b^{2}.c^{2}}}{3c^{2}+a^{2}}$



#388 cristianoronaldo

cristianoronaldo

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 231 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Sông Lô-Vĩnh Phúc
  • Sở thích:Toán học, bóng đá,...

Đã gửi 09-06-2016 - 09:31

Cho x,y,z dương thỏa mãn $x+y+z=3$. Chứng minh:

$\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\geq x^2+y^2+z^2$

 

Với a,b là các số thực dương thì ta có:

$a^2+b^2=\frac{2ab(a^2+b^2)}{2ab}\leq \frac{(\frac{a^2+b^2+2ab}{2})^2}{2ab}= \frac{(a+b)^4}{8ab}$

Sử dụng kết quả này ta được:

$x^2+z^2\leq \frac{(x+z)^4}{8xz}=\frac{(x+z)^4y}{8xyz}\leq \frac{(x+z)^4(y+1)^2}{32xyz}$

Tương tự :

$y^2+1\leq \frac{(y+1)^4(x+z)^2}{32xyz}$

$\Rightarrow \sum x^2+1\leq \frac{(x+z)^2(y+1)^2[(x+z)^2+(y+1)^2]}{32xyz}$

Mặt khác ta có:

$(x+z)(y+1)[(x+z)^2+(y+1)^2]\leq \frac{(\sum x+1)^2}{8}= 32$

Như vậy ta có:

$\Rightarrow \frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{y}+\frac{1}{x}\geq \frac{(x+z)^2(y+1)^2[(x+z)^2+(y+1)^2]}{32xyz}$

$\Rightarrow \sum \frac{1}{x^2}+1\geq \sum a^2+1 \Rightarrow Q.E.D$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi cristianoronaldo: 09-06-2016 - 09:32

Nothing in your eyes


#389 tritanngo99

tritanngo99

    Đại úy

  • Điều hành viên THPT
  • 1620 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đà Nẵng

Đã gửi 16-06-2016 - 06:17

Cho x,y,z dương thỏa mãn $x+y+z=3$. Chứng minh:

$\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\geq x^2+y^2+z^2$

Nếu hai trong ba số lớn hơn $1+\sqrt{2}$=> Vô lí.

Xét trường hợp chỉ có 1 số lớn hơn $1+\sqrt{2}$.

KMTTQ, giả sử là $x=>x>1+\sqrt{2}=>y+z<2-\sqrt{2}=>yz\le \frac{(2-\sqrt{2})^2}{4}$.

Suy ra $\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\ge \frac{2}{xy}>23>9=(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx)>x^2+y^2+z^2(TRUE)$.

Xét cả trường hợp cả ba số đều nhỏ hơn $1+\sqrt{2}$.

Khi đó biểu thức cần chứng minh tương đương:

$\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}-x^2-y^2-z^2\ge 0(1)$.

Nhận xét: ta có: $\frac{1}{a^2}-a^2\ge -4a+4,\forall a\in (0,1+\sqrt{2})$

$\iff (a-1)^2(a-1-\sqrt{2})(a-1+\sqrt{2})\le 0(TRUE)$.

Do đó ta có: $f(x)+f(y)+f(z)\ge -4x+4-4y+4-4z+4=0(dpcm)$.

Dấu bằng xảy ra khi $x=y=z=1$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tritanngo99: 16-06-2016 - 06:23


#390 beatalltheothers

beatalltheothers

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 2 Bài viết

Đã gửi 23-09-2017 - 15:52

Cho a, b, c > 0 thỏa a + b + c + ab + bc + ca = 3 .
Chứng minh :    2<= a + b + c + abc <= 3






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh