Đến nội dung

Hình ảnh

Bất đẳng thức chuẩn bị cho kì thi THPTQG 2015-2016


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 389 trả lời

#41
Alexman113

Alexman113

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 666 Bài viết

Bài 26. Cho $x,\,y\neq0$ thỏa $\left(x+y\right)xy=x^2+y^2-xy.$ Tìm giá trị lớn nhất của: $$P=\dfrac{1}{x^3}+\dfrac{1}{y^3}$$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Alexman113: 21-08-2013 - 01:25

KK09XI~ Nothing fails like succcess ~

#42
sieu dao chich

sieu dao chich

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 50 Bài viết


Bài 22. Cho $a,\,b,\,c>0$ và $a+b+c=3.$ Tìm giá trị lớn nhất của: $$P=\dfrac{2}{3+ab+bc+ca}+\dfrac{\sqrt[3]{abc}}{1+\sqrt[3]{abc}}$$

$$P\leq\dfrac{2}{\sqrt[3]{a^2b^2c^2}+3}+\dfrac{\sqrt[3]{abc}}{1+\sqrt[3]{abc}}$$

Đặt $t=\sqrt[3]{abc}$, suy ra $0 < t\leq1$

Khi đó Xét hàm số $f(t)=\dfrac{2}{3+3t^2}+\dfrac{t}{t+1}$ với  $0 < t\leq1$

$f'(t)=0$ khi$ t=\dfrac{\sqrt{7}+1-\sqrt{2\sqrt{7}-1}}{3}$

Lập bảng biến thiên ta được $P_{max}=\dfrac{6}{(\sqrt{7}+1-\sqrt{2\sqrt{7}-1})^2+9}+\dfrac{\sqrt{7}+1-\sqrt{2\sqrt{7}-1}}{\sqrt{7}+4-\sqrt{2\sqrt{7}-1}}$



#43
sieu dao chich

sieu dao chich

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 50 Bài viết


Bài 23. Cho $a,\,b,\,c\geq0$ và $a+b+c=1.$ Tìm giá trị nhỏ nhất của: $$P=3\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)+3\left(ab+bc+ca\right)+2\sqrt{a^2+b^2+c^2}$$

$P\geq(ab+bc+ca)^2+3(ab+bc+ca)+2\sqrt{1-2(ab+bc+ca)}=t^2+3t+2\sqrt{1-2t}=f(t) $ Với $t=ab+bc+ca$

Từ điều kiện bài toán suy ra $t$ thuộc đoạn $[0;\dfrac{1}{3}]$

Ta có $f'(t)=2t+3-\dfrac{2}{\sqrt{1-2t}}=g(t)$

$g'(t)=2+\dfrac{2}{(1-2t)\sqrt{1-2t}}>0$, suy ra hàm $g(t) $ đòng biến nên$g(t)\geq g(0)=1>0$

Suy ra $f(t) $.đồng biến $f_{min}=2 $khi$t=0$

Vậy $P_{min}=2$ khi $(a,b,c)=(0,0,1) $và các hoán vị



#44
hihi2zz

hihi2zz

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 248 Bài viết

Bài 27:Cho $a,b,c $>$0 $ và $ab+bc+ca \geq \frac{4}{3}.$

Chứng minh rằng:

 $ \sqrt{a^{2}+\frac{1}{(b+1)^{2}}} $ + $ \sqrt{b^{2}+\frac{1}{(c+1)^{2}}}$ + $ \sqrt{c^{2}+\frac{1}{(a+1)^{2}}} $ $\geq$ $\frac{\sqrt{181}}{5}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hihi2zz: 21-08-2013 - 11:35

:ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:

                   Cách duy nhất để học toán là làm toán                            

 


#45
hihi2zz

hihi2zz

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 248 Bài viết

BÀI 28:Cho các số thực $x,y,z$ thỏa mãn: $x^{2}+y^{2}+z^{2}=2.$

Tìm $GTLN,GTNN$ của:

         $P=x^{3}+y^{3}+z^{3}-3xyz$


:ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:

                   Cách duy nhất để học toán là làm toán                            

 


#46
daicahuyvn

daicahuyvn

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 93 Bài viết

Bài 20: Cho các số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn $x+y+z \leq 3$.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

$P= \frac{2}{x^{3}}+ \frac{2}{y^{3}}$+ $\frac{2}{z^{3}}+ \frac{1}{x^{2}-xy+y^{2}}$+ $\frac{1}{y^{2}-yz+z^{2}}$

+ $\frac{1}{z^{2}-zx+x^{2}} $.

$x+y+z=\frac{3}{k} (k\ge 1)$

$a=kx,b=ky,c=kz \Rightarrow a+b+c=3;P(x,y,z)\ge P(a,b,c)$

$\frac{1}{a^3}+2\ge \frac{3}{a}$

$P\ge \frac{6}{a}+\frac{6}{b}+\frac{6}{c}+\frac{1}{a^2-ab+b^2}+\frac{1}{b^2-bc+c^2}+\frac{1}{c^2-ca+a^2}-12=A$

$ab+bc+ca=q,abc=r;q\le 3; (ab+bc+ca)^2\ge 3abc(a+b+c)=9abc\Rightarrow q^2\ge 9r$

$\frac{1}{a^2-ab+b^2}+\frac{1}{b^2-bc+c^2}+\frac{1}{c^2-ca+a^2}\ge \frac{9}{2(a^2+b^2+c^2)-(ab+bc+ca)}=\frac{9}{18-5q}$

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{q}{r}\ge \frac{9}{q}$

$A\ge \frac{54}{q}+\frac{9}{18-5q}-12$

$A\ge 9 \Leftrightarrow (q-3)(35q-108)\ge 0$

$P=9\Leftrightarrow x=y=z=1$

$\min P=9$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi daicahuyvn: 21-08-2013 - 11:55


#47
hihi2zz

hihi2zz

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 248 Bài viết

Bài 29:Cho $a,b,c >0$.Chứng minh rằng:

$\frac{(b+c-a)^{2}}{(b+c)^{2}+a^{2}}$+$\frac{(c+a-b)^{2}}{(c+a)^{2}+b^{2}}$+$\frac{(a+b-c)^{2}}{(a+b)^{2}+c^{2}}$ $\geq$ $\frac{3}{5}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hihi2zz: 21-08-2013 - 12:14

:ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:

                   Cách duy nhất để học toán là làm toán                            

 


#48
daicahuyvn

daicahuyvn

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 93 Bài viết

Bài 24. Cho các số thực $x,\,y$ thỏa $\left(x-4\right)^2+\left(y-4\right)^2+2xy\leq32.$ Tìm giá trị nhỏ nhất của: $$P=x^3+y^3+3\left(xy-1\right)\left(x+y-2\right)$$

$(x-4)^2+(y-4)^2+2xy\le 32\Leftrightarrow (x+y-4)^2\le 16\Leftrightarrow 0\le x+y\le 8$

$P=(x+y)^3-3(x+y)-6xy+6$

$x+y=t(0\le t\le 8)$

$P\ge t^3-\frac{3}{2}t^2-3t+6=f(t)$

$f'(t)=3(t^2-t-1)$

$f(t)\ge f(\frac{1+\sqrt{5}}{2})=\frac{17-5\sqrt{5}}{4}$

$P=\frac{17-5\sqrt{5}}{4}\Leftrightarrow x=y=\frac{1+\sqrt{5}}{4}$

$\min P=\frac{17-5\sqrt{5}}{4}$



#49
hihi2zz

hihi2zz

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 248 Bài viết

Bài 30:Cho $a,b,c >0$ thỏa $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1.$

Chứng minh rằng:

$\frac{1}{1-a}$+$\frac{1}{1-b}$+$\frac{1}{1-c}$ $\geq$ $\frac{3\sqrt{3}+9}{2}$


:ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:

                   Cách duy nhất để học toán là làm toán                            

 


#50
daicahuyvn

daicahuyvn

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 93 Bài viết

Bài 25. Cho các số thực $x,\,y,\,z$ thỏa $\left\{ \begin{array}{l}x+y+z=0 \\x^2+y^2+z^2=1 \end{array} \right..$ Tìm giá trị lớn nhất của: $$P=x^5+y^5+z^5$$

$x+y+z=0\Rightarrow x^3+y^3+z^3=3xyz$

$xy+yz+zx=\frac{(x+y+z)^2-(x^2+y^2+z^2)}{2}=\frac{-1}{2}$

$x^5+y^5+z^5=(x^4+y^4+z^4)(x+y+z)-x^4(y+z)-y^4(z+x)-z^4(x+y)=xyz(x^2+y^2+z^2)-(xy+yz+zx)(x^3+y^3+z^3)=\frac{5}{2}xyz$

$yz=\frac{(y+z)^2-(y^2+z^2)}{2}=\frac{x^2-(1-x^2)}{2}=x^2-\frac{1}{2}$

$(y+z)^2\le 2(y^2+z^2)\Rightarrow x^2\le \frac{2}{3}$

$P=\frac{5}{2}x^3-\frac{5}{4}x$

$P'(x)=\frac{5}{4}(6x^2-1)$

$P(x)\le P(\frac{-1}{\sqrt{6}})=P(\sqrt{\frac{2}{3}})=\frac{5}{6\sqrt{6}}$

$x=\sqrt{\frac{2}{3}},y=z=-\frac{1}{\sqrt{6}}\rightarrow P=\frac{5}{6\sqrt{6}}$

$\min P=\frac{5}{6\sqrt{6}}$



#51
Supermath98

Supermath98

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 512 Bài viết

Bài 26. Cho $x,\,y\neq0$ thỏa $\left(x+y\right)xy=x^2+y^2-xy.$ Tìm giá trị lớn nhất của: $$P=\dfrac{1}{x^3}+\dfrac{1}{y^3}$$

Do $\large xy\left ( x+y \right )=x^{2}+y^{2}-xy\Rightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}-\frac{1}{xy}$ (Chia hai vế cho $\large x^{2}y^{2}$) 

Từ đó: $\large \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right )^{2}-\frac{3}{xy}\geq \left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y} \right )^{2}-3\left ( \frac{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}{2} \right )^{2}=\frac{1}{4}\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y} \right )^{2}$

Do vậy: $\large \left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y} \right )^{2}-4\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y} \right )\leq 0\Leftrightarrow 0\leq a+b\leq 4$

Ta có: $\large P=\frac{1}{x^{3}}+\frac{1}{y^{3}}=\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y} \right )\left ( \frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}-\frac{1}{xy} \right )=\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y} \right )^{2}\leq 4^{2}$

Vậy $\large P_{max}=16\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}$


:icon12: :icon12: :icon12: Đừng bao giờ ngồi một chỗ và ước. Hãy đứng dậy và làm:icon12: :icon12: :icon12:

#52
daicahuyvn

daicahuyvn

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 93 Bài viết

Bài 27:Cho $a,b,c $>$0 $ và $ab+bc+ca \geq \frac{4}{3}.$

Chứng minh rằng:

 $ \sqrt{a^{2}+\frac{1}{(b+1)^{2}}} $ + $ \sqrt{b^{2}+\frac{1}{(c+1)^{2}}}$ + $ \sqrt{c^{2}+\frac{1}{(a+1)^{2}}} $ $\geq$ $\frac{\sqrt{181}}{5}$

$t=a+b+c,t\ge \sqrt{3(ab+bc+ca)}\ge 2$

$ \sqrt{a^{2}+\frac{1}{(b+1)^{2}}} $ + $ \sqrt{b^{2}+\frac{1}{(c+1)^{2}}}$ + $ \sqrt{c^{2}+\frac{1}{(a+1)^{2}}} \ge \sqrt{(a+b+c)^2+(\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c})^2}\ge \sqrt{t^2+(\frac{9}{t+3})^2}=f(t)$

$f(t)\ge \frac{\sqrt{181}}{5}\Leftrightarrow (t-2)(25t^3+200t^2+444t-198)\ge 0$



#53
daicahuyvn

daicahuyvn

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 93 Bài viết

BÀI 28:Cho các số thực $x,y,z$ thỏa mãn: $x^{2}+y^{2}+z^{2}=2.$

Tìm $GTLN,GTNN$ của:

         $P=x^{3}+y^{3}+z^{3}-3xyz$

$t=x+y+z(-\sqrt{6}\le t\le \sqrt{6})$

$P=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)=(x+y+z)[\frac{3}{2}(x^2+y^2+z^2)-\frac{1}{2}(x+y+z)^2]=\frac{1}{2}t(6-t^2)$

$|t|=a(0\le a\le \sqrt{6}).|P|=\frac{1}{2}a(6-a^2)$

$|P|\le 2\sqrt{2}\Leftrightarrow (a-\sqrt{2})^2(a+2\sqrt{2})\ge 0$

$|P|\le 2\sqrt{2}\Rightarrow -2\sqrt{2}\le P\le 2\sqrt{2}$

$x=\sqrt{2},y=z=0\rightarrow P=2\sqrt{2} ; x=-\sqrt{2},y=z=0\rightarrow P=-2\sqrt{2}$

$\min P=-2\sqrt{2}; \max P=2\sqrt{2}$



#54
daicahuyvn

daicahuyvn

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 93 Bài viết

Bài 29:Cho $a,b,c >0$.Chứng minh rằng:

$\frac{(b+c-a)^{2}}{(b+c)^{2}+a^{2}}$+$\frac{(c+a-b)^{2}}{(c+a)^{2}+b^{2}}$+$\frac{(a+b-c)^{2}}{(a+b)^{2}+c^{2}}$ $\geq$ $\frac{3}{5}$

$x=\frac{3a}{a+b+c},y=\frac{3b}{a+b+c},z=\frac{3c}{a+b+c}\Rightarrow x+y+z=3$

$\frac{(b+c-a)^{2}}{(b+c)^{2}+a^{2}}+\frac{(c+a-b)^{2}}{(c+a)^2+b^2}+\frac{(a+b-c)^{2}}{(a+b)^{2}+c^{2}}=\frac{(y+z-x)^{2}}{(y+z)^{2}+x^{2}}+\frac{(z+x-y)^{2}}{(z+x)^{2}+y^{2}}+\frac{(x+y-z)^{2}}{(x+y)^{2}+z^{2}}=\frac{(3-2x)^2}{(3-x)^2+x^2}+\frac{(3-2y)^2}{(3-y)^2+y^2}+\frac{(3-2z)^2}{(3-z)^2+z^2}$

 

$\frac{(3-2x)^2}{(3-x)^2+x^2}\ge \frac{1}{5}-\frac{18}{25}(x-1)\Leftrightarrow \frac{18(x-1)^2(2x+1)}{25(2x^2-6x+9)}\ge 0$

 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi daicahuyvn: 21-08-2013 - 15:29


#55
daicahuyvn

daicahuyvn

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 93 Bài viết

Bài 30:Cho $a,b,c >0$ thỏa $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1.$

Chứng minh rằng:

$\frac{1}{1-a}$+$\frac{1}{1-b}$+$\frac{1}{1-c}$ $\geq$ $\frac{3\sqrt{3}+9}{2}$

$\frac{1}{1-a}\ge \frac{3+\sqrt{3}}{2}+\frac{2\sqrt{3}+3}{4}(3a^2-1)\Leftrightarrow \frac{1}{1-a}\ge \frac{3+\sqrt{3}}{2}+\frac{2\sqrt{3}+3}{4}(3a^2-1)\Leftrightarrow \frac{(a\sqrt{3}-1)^2(a\sqrt{3}+2-\sqrt{3})}{2(1-a)(\sqrt{3}-1)^2}\ge 0$



#56
hoangkkk

hoangkkk

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 83 Bài viết

Bài 31 : Cho $x$, $y$, $z$ là các số thực dương thỏa mãn $x \leq z$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

$$P= \sqrt{2+\dfrac{2x^2}{\left(x +y \right)^2}-\dfrac{2z \left(2y+z \right)}{\left ( y+z \right)^2}}+\dfrac{3z}{z+x}$$


A2K40-er

My Blog : http://a2k40pbc.blogspot.com/


#57
daicahuyvn

daicahuyvn

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 93 Bài viết

Bài 31 : Cho $x$, $y$, $z$ là các số thực dương thỏa mãn $x \leq z$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

$$P= \sqrt{2+\dfrac{2x^2}{\left(x +y \right)^2}-\dfrac{2z \left(2y+z \right)}{\left ( y+z \right)^2}}+\dfrac{3z}{z+x}$$

$P=\sqrt{2(\frac{x^2}{(x+y)^2}+\frac{y^2}{(y+z)^2})}+\frac{3z}{z+x}\ge \frac{x}{x+y}+\frac{y}{y+z}+\frac{3z}{z+x}$

$\frac{x}{y}=a,\frac{z}{y}=b(a\le b)$

$P\ge \frac{a}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{3b}{a+b}=f(a,b)$

$f(a,b)-\frac{5}{2}=\frac{(b-a)(3ab+a+b+3)}{2(a+b)(a+1)(b+1)}\ge 0$

$P=\frac{5}{2}\Leftrightarrow x=y=z$

$\min P=\frac{5}{2}$



#58
hihi2zz

hihi2zz

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 248 Bài viết

Bài 32:Cho $x,y,z$ là các số thực thuộc đoạn $[\frac{1}{2};2].$

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$P=$$\frac{60z^{2}-1}{4xy+5z}$+$\frac{60x^{2}-1}{4yz+5x}$+$\frac{60y^{2}-1}{4zx+5y}$


:ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:

                   Cách duy nhất để học toán là làm toán                            

 


#59
hihi2zz

hihi2zz

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 248 Bài viết

Bài 33:Cho $x,y,z$ là các số thực dương và thoả mãn $xy+yz+zx=3$.

Tìm $GTNN$ của biểu thức:

          $P=$$\frac{1}{xyz}+\frac{4}{(x+y)(y+z)(z+x)}$


:ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:

                   Cách duy nhất để học toán là làm toán                            

 


#60
hihi2zz

hihi2zz

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 248 Bài viết

Bài 34:Cho các số thực dương $a,b,c$ và thỏa mãn $2ab+5bc+6ca=6abc.$

Tìm $GTNN$ của biểu thức $P=\frac{ab}{b+2a}+\frac{4bc}{4c+b}+\frac{9ca}{a+4c}$


:ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:

                   Cách duy nhất để học toán là làm toán                            

 





3 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 3 khách, 0 thành viên ẩn danh