Chủ đề này có 389 trả lời

[hihi2zz]

Bài 35:Cho bốn số thực dương $a,b,c,d$ thuộc $[1;2].$Chứng minh rằng:

          $\frac{a+b}{b+c}+\frac{c+d}{d+a}$ $\leq$ $4(\frac{a+c}{b+d})$

[hihi2zz]

Bài 36:Cho $a,b,c$ là ba số dương thỏa mãn điều kiện $a^{3}+b^{3}=c^{3}.$

Tìm $GTNN$ của $P=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{(c-a)(c-b)}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hihi2zz: 23-08-2013 - 19:33

[daicahuyvn]

Bài 32:Cho $x,y,z$ là các số thực thuộc đoạn $[\frac{1}{2};2].$

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$P=$$\frac{60z^{2}-1}{4xy+5z}$+$\frac{60x^{2}-1}{4yz+5x}$+$\frac{60y^{2}-1}{4zx+5y}$

$ \frac{z^2}{4xy+5z}+\frac{x^2}{4yz+5x}+\frac{z^2}{4zx+5y}\ge \frac{(x+y+z)^2}{4(xy+yz+zx)+5(x+y+z)}\ge \frac{(x+y+z)^2}{\frac{4}{3}(x+y+z)^2+5(x+y+z)}=\frac{3}{4+\frac{15}{x+y+z}}\ge \frac{3}{14}$

$-(\frac{1}{4xy+5z}+\frac{1}{4yz+5x}+\frac{1}{4zx+5y})\ge -\frac{6}{7}$

$P\ge 12; P=12\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{2}$

$\min P=12$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi daicahuyvn: 24-08-2013 - 06:25

[daicahuyvn]

Bài 33:Cho $x,y,z$ là các số thực dương và thoả mãn $xy+yz+zx=3$.

Tìm $GTNN$ của biểu thức:

          $P=$$\frac{1}{xyz}+\frac{4}{(x+y)(y+z)(z+x)}$

$P=\frac{1}{xyz}+\frac{4}{2xyz+(x+y+z)+3}$

$x+y+z=t(t\ge 3)$

$xyz\le \frac{(xy+yz+zx)^2}{3(x+y+z)}=\frac{3}{t}$

$P\ge \frac{t}{3}+\frac{4t}{t^2+3t+6}=f(t)$

$f(t)\ge \frac{3}{2}\Leftrightarrow (t-3)(2t^2+3t+18)\ge 0$

$P=\frac{3}{2}\Leftrightarrow x=y=z=1$

$\min P=\frac{3}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi daicahuyvn: 22-08-2013 - 17:47

[daicahuyvn]

Bài 34:Cho các số thực dương $a,b,c$ và thỏa mãn $2ab+5bc+6ca=6abc.$

Tìm $GTNN$ của biểu thức $P=\frac{ab}{b+2a}+\frac{4bc}{4c+b}+\frac{9ca}{a+4c}$

$2ab+5bc+6ca=6abc\Leftrightarrow \frac{5}{a}+\frac{6}{b}+\frac{2}{c}=6$

$P=\frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{2}{b}}+\frac{4}{\frac{4}{b}+\frac{1}{c}}+\frac{9}{\frac{1}{c}+\frac{4}{a}}\ge \frac{36}{\frac{5}{a}+\frac{6}{b}+\frac{2}{c}}=6$

$P=6\Lefftrightarrow a=2,b=4,c=1$

$\min P=6$

[daicahuyvn]

Bài 35:Cho bốn số thực dương $a,b,c,d$ thuộc $[1;2].$Chứng minh rằng:

          $\frac{a+b}{b+c}+\frac{c+d}{d+a}$ $\leq$ $4(\frac{a+c}{b+d})$

$\frac{a+b}{b+c}\le 2\frac{a+c}{b+d}\Leftrightarrow (2c-d)(a+b)+2c^2-b(b-a)\ge 0$

$2c\ge 2\ge d; b(b-a)\le b(2-1)=b\le 2\le 2c^2$

$\frac{c+d}{d+a}\le 2\frac{a+c}{b+d}\Leftrightarrow (2a-b)(c+d)+2a^2-d(d-c)\ge 0$

$\frac{a+b}{b+c}+\frac{c+d}{d+a}=4\frac{a+c}{b+d}\Leftrightarrow a=c=1,b=d=2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi daicahuyvn: 22-08-2013 - 18:49

[daicahuyvn]

Bài 36:Cho $a,b,c$ là ba số dương thỏa mãn điều kiện $a^{3}+b^{3}=c^{3}.$
Tìm $GTNN$ của $P=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{(c-a)(c-b)}$

$\frac{a}{c}=x,\frac{b}{c}=y$

$X+y=t, x^3+y^3<(x+y)^3\le 4(x^3+y^3)\Rightarrow 1<t\le \sqrt[3]{4} $

$xy=\frac{(x+y)^3-(x^3+y^3)}{3(x+y)}=\frac{t^3-1}{3t}$

$P=\frac{x^2+y^2-1}{xy-(x+y)+1}=\frac{(t-1)^2(t+2)}{(t-1)^3}=\frac{t+2}{t-1}=1+\frac{3}{t-1}\ge 1+\frac{3}{\sqrt[3]{4}-1}$

$P=1+\frac{3}{\sqrt[3]{4}-1}\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{\sqrt[3]{2}}c$

$\min P=1+\frac{3}{\sqrt[3]{4}-1}$

 

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi daicahuyvn: 22-08-2013 - 21:37

[hihi2zz]

Bài 37: Cho số thực dương $a.$Xét số thực $k$ sao cho bất đẳng thức $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{a}{x+y}$$\geq$$\frac{k}{\sqrt{xy}}$ đúng với mọi cặp số thực dương $(x;y)$.Tìm giá trị lớn nhất của $k.$

[hihi2zz]

Bài 38:Cho tam giác $ABC$ với độ dài ba cạnh là $a,b,c$.Chứng minh rằng:

$2(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})$$\geq$$\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}+3$

[25 minutes]

Bài 38:Cho tam giác $ABC$ với độ dài ba cạnh là $a,b,c$.Chứng minh rằng:

$2(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})$$\geq$$\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}+3$

Tham khảo ở đây

[hihi2zz]

Bài 39:Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$P$$=$$\frac{3(b+c)}{2a}+\frac{4a+3c}{3b}+\frac{12(b-c)}{2a+3c}$


Bài 40:Cho các số thực không âm $x,y,z$ thỏa mãn hệ thức $x+y+z=1.$Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$P=4(x^{3}+y^{3}+z^{3})+15xyz$


Bài 41:Cho ba số thực $x,y,z$ thuộc $(0;1]$ và thỏa mãn: $x+y \geq 1+z.$
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P$$=$$\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{xy+z^{2}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 24-08-2013 - 12:48

[daicahuyvn]

Bài 37: Cho số thực dương $a.$Xét số thực $k$ sao cho bất đẳng thức $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{a}{x+y}$$\geq$$\frac{k}{\sqrt{xy}}$ đúng với mọi cặp số thực dương $(x;y)$.Tìm giá trị lớn nhất của $k.$

$x+y=2$

$\sqrt{xy}=t(0<t\le 1)$

$k \le \sqrt{xy}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{a}{x+y})=t(\frac{2}{t^2}+\frac{a}{2})=\frac{2}{t}+\frac{at}{2}=f(t)$

TH1.$a\ge 4$

$\min f(t)= 2\sqrt{a}$

$k_{max}=\min f(t)=2\sqrt{a}$

TH2.$a<4$

$\min f(t)=2+\frac{a}{2}$

$k_{max}=2+\frac{a}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi daicahuyvn: 25-08-2013 - 05:27

[25 minutes]

Bài 40:Cho các số thực không âm $x,y,z$ thỏa mãn hệ thức $x+y+z=1.$Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

                        $P=4(x^{3}+y^{3}+z^{3})+15xyz$

Ta sẽ chứng minh $4(a^3+b^3+c^3)+15abc \geqslant (a+b+c)^3=1$

              $\Leftrightarrow 3(a^3+b^3+c^3)+9abc\geqslant 3\sum ab(a+b)$

              $\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+3abc\geqslant \sum ab(a+b)$

Nhưng rõ ràng trên là bất đẳng thức Schur bậc 3

Vậy ta có đpcm

 Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$

[25 minutes]

Bài 41:Cho ba số thực $x,y,z$ thuộc $(0;1]$ và thỏa mãn: $x+y \geq 1+z.$

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P$$=$$\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{xy+z^{2}}$

Do $x,y,z \in \left (0;1 \right ]\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 1 \geqslant xy\\z \geqslant z^2 \end{matrix}\right.$

                      $\Rightarrow x+y\geqslant 1+z\geqslant xy+z^2$

                      $\Rightarrow \frac{z}{xy+z^2}\geqslant \frac{z}{x+y}$

Từ đó $P\geqslant \frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}\geqslant \frac{3}{2}$

Đẳng thức xảy ra khi $=y=z=1$

[25 minutes]

Bài 39:Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

         $P$$=$$\frac{3(b+c)}{2a}+\frac{4a+3c}{3b}+\frac{12(b-c)}{2a+3c}$

Đặt $\left\{\begin{matrix} x=2a\\y=3b \\z=2a+3c \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 2x=4a\\3b=y \\3c=z-x \end{matrix}\right.$

Khi đó $P=\frac{y+z-x}{x}+\frac{2x+z-x}{y}+\frac{4y-4(z-x)}{z}=\frac{y+z}{x}+\frac{x+z}{y}+\frac{4x+4y}{z}-5$

Đến đây áp dụng AM-GM ta có 

          $\frac{y}{x}+\frac{x}{y}\geqslant 2$

          $\frac{z}{x}+\frac{4x}{z}\geqslant 4$

          $\frac{z}{y}+\frac{4y}{z}\geqslant 4$

$\Rightarrow P\geqslant 2+4+4-5=5$

Đẳng thức xảy ra khi $z=2x=2y>0$, hay $2a+3c=4a=6b>0$

[Ispectorgadget]

Bài 42: Cho các số $x,y,z>-1$. Chứng minh $$\ln (x+1)+\ln (y+1)+\ln (z+1)<\sqrt{x+1}+\sqrt{y+1}+\sqrt{z+1}$$

Bài 43: Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $(a+b-c)(a+c-b)(c+b-a)=1$. Chứng minh $$\left(\frac{a+b+c}{5} \right )^5\ge \frac{a^2+b^2+c^2}{3}$$

Bài 44: Cho $a,b,c$ thực dương thỏa mãn $a+b+c=3.$ Chứng minh $\sqrt[3]{\frac{a^3+b^3+c^3}{3}}+8\sqrt[3]{abc}\le 9.$

[hihi2zz]

Bài 45:Cho các số thực $a,b,c$ thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=65.$
Tìm $GTLN$ và $GTNN$ của hàm số $y=a+b\sqrt{2}sinx+csin2x ; x$ thuộc $(0;\frac{\pi}{2})$


Bài 46:Cho $a,b,c$ là độ dài của ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng $3.$
Tìm $GTNN$ của biểu thức $P$$=$$\frac{(a+b-c)^{3}}{2c}$+$\frac{(b+c-a)^{3}}{2a}$+$\frac{(c+a-b)^{3}}{2b}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 24-08-2013 - 18:53

[hihi2zz]

Bài 42: Cho các số $x,y,z>-1$. Chứng minh $$\ln (x+1)+\ln (y+1)+\ln (z+1)<\sqrt{x+1}+\sqrt{y+1}+\sqrt{z+1}$$

$f(a) =$ $\sqrt{a+1}-\ln(a+1)$ $,a>-1$

$f'(a)=0$ $\Leftrightarrow$$a=3$

Lập bảng biến thiên $f(a) \geq f(3) >0$

Áp dụng cho $x,y,z$ và cộng ba BĐT tương tự có đpcm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hihi2zz: 24-08-2013 - 13:57

[daicahuyvn]

Bài 38:Cho tam giác $ABC$ với độ dài ba cạnh là $a,b,c$.Chứng minh rằng:

$2(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})$$\geq$$\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}+3$

$x=\frac{b+c-a}{2},y=\frac{c+a-b}{2},z=\frac{a+b-c}{2}\Rightarrow x,y,z>0; a=y+z,b=x+z,c=x+y$

$2(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})$$\geq$$\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}+3$

$\Leftrightarrow 2(\frac{y+z}{x+z}+\frac{x+z}{x+y}+\frac{x+y}{y+z})\ge \frac{x+z}{y+z}+\frac{x+y}{x+z}+\frac{y+z}{x+y}+3$

$\Leftrightarrow y(x-y)^2+z(y-z)^2+x(z-x)^2\ge 0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi daicahuyvn: 25-08-2013 - 06:47

[daicahuyvn]

 

Bài 43: Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $(a+b-c)(a+c-b)(c+b-a)=1$. Chứng minh $$\left(\frac{a+b+c}{5} \right )^5\ge \frac{a^2+b^2+c^2}{3}$$

 

a=b=c=1.BĐT sai

CM:$(\frac{a+b+c}{3})^5\ge \frac{a^2+b^2+c^2}{3}$(*)

(*)$\Leftrightarrow (\frac{a+b+c}{3})^5\ge \frac{a^2+b^2+c^2}{3}(a+b-c)(a+c-b)(c+b-a)$

Ta có: $(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)\le abc $(BĐT Schur)

Vì vậy chỉ cần Cm $(a+b+c)^5\ge 81(a^2+b^2+c^2)abc$

Lại có: $(ab+bc+ca)^2\ge 3abc(a+b+c)$

Cần Cm:$(a+b+c)^6\ge 27(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca)^2$(1)

Không mất tính tổng quát , giả sử $a+b+c=3$

Đặt $x=ab+bc+ca(x>0)$,ta có $a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)=9-2x$

(1)$\Leftrightarrow x^2(9-2x)\le 27 \Leftrightarrow 2x^3-9x^2+27\ge0 Leftrightarrow (x-3)^2(2x+3)\ge 0$(Đúng)

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$