Chủ đề này có 8 trả lời

[E. Galois]

Topic này dùng để BTC nhận đề thi từ các toán thủ thi đấu về Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

 

 

I- Bạn cần biết:

1) Điều lệ giải đấu

2) Lịch thi đấu

3) Đăng kí thi đấu

 

II - Yêu cầu về đề bài
1. Hình thức:

- Đề bài phải có đáp án kèm theo.

- Đề bài và đáp án được gõ $\LaTeX$ rõ ràng

2. Nôi dung

* Đối với MHS

- Mỗi bộ đề bao gồm 1 câu của THPT. Kiến thức dùng để giải bài không vượt quá kiến thức thi tuyển sinh ĐH.

- Đề bài không được ở dạng thách đố, cách giải ngặt ngèo thông qua những bổ đề quá khó, không copy nguyên văn từ đề thi ĐH của Bộ GD&ĐT, đề thi Olympic hoặc HSG cấp tỉnh trở lên.

- Toán thủ không nên copy đề bài từ một topic nào đó của VMF, không được post lại đề đã nộp ra topic mới dù cho đề có được chọn hay không.

 

III - Mẫu đăng kí và nộp đề

1. Họ và tên thật:

2. Đang học lớp ?, trường ?, huyện ?, tỉnh ?

3. Đề 

4. Đáp án

 

IV - Chú ý

1) Bạn sẽ thấy ở trên khung trả lời của bạn có dòng sau Bài viết này phải qua kiểm duyệt của quản trị viên mới được đăng lên diễn đàn.

Điều này có nghĩa là các toán thủ khi nộp đề, cứ yên tâm rằng, sau khi đánh máy và ấn nút GỬI BÀI là đề đã được lưu, BTC đã nhận được đề của bạn, có điều bạn không nhìn thấy được mà thôi. Bạn nên mừng vì điều này, như thế các toán thủ khác không thể biết trước đề của bạn được.

 

2) Bạn cũng nên sử dụng chức năng xem trước của diễn đàn để sửa các lỗi $\LaTeX$ trước khi gửi bài, vì gửi rồi sẽ không xem và sửa lại được nữa. 

 

3) Nếu đề bài của bạn không được chấp nhận, BTC sẽ làm hiện nó và nói rõ lý do vì sao, khi đó, bạn phải nộp đề khác. 

Nếu đề bài của bạn được chấp nhận, bạn sẽ thấy tên mình trong danh sách thi đấu tại đây sau mỗi thứ 7 hàng tuần.

 

4) Mỗi tuần, BTC chỉ cho phép toán thủ đăng kí 1 nộp đề cho 1 chủ đề nên bạn đừng ngạc nhiên khi thấy có lúc topic này bị khóa

 

 

[hoangkkk]

 1. Họ và tên thật                :          Phạm Văn Hoàng

 

2. Học sinh lớp                   :          12A2 chuyên tin

    Trường                          :          THPT chuyên Phan Bội Châu

    Huyện/Thành phố          :          Vinh

    Tỉnh                                :          Nghệ An

 

3. Đề bài

 

Trong mặt phẳng $Oxy$ cho đường tròn $\left( T \right) : x^2+y^2-2x-4y+4=0$ và đường thẳng $\left( d \right) : x-y-1=0$. Từ $M$ thuộc $\left( d \right)$ kẻ các tiếp tuyến $MA$, $MB$ đến $\left (T \right)$, trong đó $A$, $B$ là các tiếp điểm. Chứng minh rằng đường thẳng $AB$ luôn đi qua một điểm cố định.

 

4. Lời giải

 

Phương trình đường tròn : $\left (x-1 \right)^2+\left(y-x \right)^2=1$

Gọi tọa độ các điểm là : $A \left(x_1, y_1 \right)$, $B \left( x_2, y_2 \right)$, $M \left(x_0, y_0 \right)$

Tiếp tuyến tại $A$ qua $M$ của đường tròn có dạng :

$$\left(x_0-1 \right) \left(x_1-1 \right)+\left(y_0-2 \right) \left(y_1-2 \right) = 1$$

Tiếp tuyến tại $B$ qua $M$ của đường tròn có dạng :

$$\left(x_0-1 \right) \left(x_2-1 \right)+\left(y_0-2 \right) \left(y_2-2 \right) = 1$$

Dễ thấy cả $A$ và $B$ đều thỏa mãn phương trình :

$$\left(x_0-1 \right) \left(x-1 \right)+\left(y_0-2 \right) \left(y-2 \right) = 1$$

Phương trình trên chính là phương trình đường thẳng $AB$, mặt khác do $M$ thuộc $d$ nên có $M \left( x_0, y_0 \right) = \left( x_0, x_0-1 \right)$, thay lên phương trình trên ta thu được :

$$\left(x_0-1 \right) \left(x-1 \right)+\left(x_0-3 \right) \left(y-2 \right)=1$$

Gọi $N \left(x, y \right)$ là điểm cố định mà đường thẳng $AB$ luôn đi qua với mọi $x_0$, khi đó phương trình $$\left(x_0-1 \right) \left(x-1 \right)+\left(x_0-3 \right) \left(y-2 \right)=1$$ luôn có nghiệm với mọi $x_0$.

Hay $x_0 \left(x+y-3 \right)+6-x-3y=0$ có nghiệm với mọi $x_0$

$$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
x+y-3=0 & \\
6-x-3y=0&
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=y=\frac{3}{2}$$

Vậy điểm cố định cần tìm là $N \left( \dfrac{3}{2}, \dfrac{3}{2} \right)$

 

 

 

[19kvh97]

1) Họ và tên thật : Kim Văn Hùng

2) Đang học lớp 11A1- trường THPT Mỹ Đức B- huyện Mỹ Đức -Thành phố Hà Nội

3) Đề Bài:

Cho tam giác $ABC$ có pt các cạnh $AB,BC,CA$ lần lượt là $x-y+1=0$; $3x-2y=0$; $2x-y+1=0$.

Điểm $M\epsilon Ox$. Gọi $E,F$ lần lượt là trung điểm của $MB,MC$. Lấy $P\epsilon AB,Q\epsilon AC$ sao cho $EP,FQ$ đều vuông góc với $Ox$. Điểm $N(6;-4)$, $K$ là giao điểm của $MN$ với $PQ$. Tìm tọa độ điểm $M$ để bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $KPN$ đạt giá trị nhỏ nhất 

4) Đáp Án:

Ta có tọa độ các đỉnh lần lượt là $A(0;1)$,$B(2;3)$; $C(-2;-3)$

Giả sử $M(m;0)$ suy ra $E(\frac{m+2}{2};\frac{3}{2}), F(\frac{m-2}{2};\frac{-3}{2})$

$EP$ vuông góc với $Ox$ nên $P(\frac{m+2}{2};y_P)$ mà $A,P,B$ thẳng hàng nên $\frac{m+2}{4}=\frac{y_P-1}{2}\Rightarrow y_P=\frac{m+4}{2}$

suy ra $P(\frac{m+2}{2};\frac{m+4}{2})$

tương tự ta có $Q(\frac{m-2}{2};m-1)$

ta có $\vec{PQ}.\vec{MN}=-2(6-m)-4.\frac{m-6}{2}=0$ do đó $PQ$ vuông góc với $MN$

hay tam giác $PKN$ vuông tại $K$

nên $ycbt\Leftrightarrow PN min$ mà $PN=\sqrt{2m^2+4m+244}\geq \sqrt{242}$

ĐTXR khi $m=-1$

Vậy khi $M(-1;0)$ thì bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $KPN$ đạt giá trị nhỏ nhất.

[diepviennhi]

1.Họ Và Tên: Lê Văn Đồng

2.Lớp $11A_{1}$; Trường: THPT Nguyễn Thị Minh Khai; Huyện Từ Liêm; Thành Phố Hà Nội

3.Đề Thi:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho Elip: $(E):\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$ và điểm $C(0;2)$. Tìm hai điểm $A$;$B$ nằm trên $(E)$ sao cho $\bigtriangleup ABC$ cân tại $C$ và có chu vi lớn nhất?

4.Đáp án:

Vì $\bigtriangleup ABC$ cân tại $C$ nằm trên $Ox$ nên $A$ và $B$ đối xứng với nhau qua $Ox$

Gọi $A(x_o;y_o)\in (E)\Rightarrow B(x_{o};-y_{o})$ ta giả sử $y_{o}>0$

Chu vi $\bigtriangleup ABC$:

$2p=2AC+BC=2\sqrt{(2-x_{o})^{2}+y_{o}^{2}}+2\begin{vmatrix} y_{o} \end{vmatrix}=2\sqrt{(2-x_{o})^{2}+1-\frac{x_{o}^{2}}{4}}+2\sqrt{1-\frac{x^{2}_{o}}{4}}=\sqrt{2-x_{o}}(\sqrt{10-3x_{o}}+\sqrt{2+x_{o}})$$=\sqrt{2-x_{o}}(\sqrt{10-3x_{o}}+\frac{\sqrt{(4+\sqrt{13})(2+x_{o})}}{\sqrt{4+\sqrt{13}}})\leq \sqrt{2-x_{o}}\sqrt{(1+\frac{1}{4+\sqrt{13}})(10-3x_{o}+(4+\sqrt{13})(2+x_{o}))}$ (Bất Đẳng Thức Cauchy-Schwar cho bộ hai số)

$=\sqrt{\frac{5+\sqrt{13}}{(4+\sqrt{13})(1+\sqrt{13})}}.\sqrt{(2-x_{o})(1+\sqrt{13})}.\sqrt{18+2\sqrt{13}+(1+\sqrt{13})x_{o}}\leq \frac{1}{2}.\sqrt{\frac{5+\sqrt{13}}{(4+\sqrt{13})(1+\sqrt{13})}}.((2-x_{o})(1+\sqrt{13})+18+2\sqrt{13}+(1+\sqrt{13})x_{o})=2.\sqrt{\frac{(5+\sqrt{13})^{3}}{(4+\sqrt{13})(1+\sqrt{13})}}$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x_{o}=\frac{-8}{1+\sqrt{13}};\Rightarrow y_{o}=\frac{\sqrt{2(1+\sqrt{13})}}{1+\sqrt{13}}$

Vậy $A(\frac{-8}{1+\sqrt{13}};\frac{\sqrt{2(1+\sqrt{13})}}{1+\sqrt{13}}); B(\frac{-8}{1+\sqrt{13}};-\frac{\sqrt{2(1+\sqrt{13})}}{1+\sqrt{13}})$

[THYH]

hò và tên : trần võ thành lớp 11a1 thpt quốc học quy nhơn ,tp quy nhơn, tỉnh bình định

 

đề: viết phương trình đường tròn ($C$) có tâm thuộc đuong thẳng ($d$): &4x+3y-2=0$ và tiếp xúc với hai đường thẳng sau:

($d_1$): $x+y+4=0$ và ($d_2$): $7x-y+4=0$

lời giải:

Gọi $I(a,b)$ là tâm đường tròn ($C$) cần tìm.$i\in(d)$ nên: $4a+3b-2=0(1)$

(C) tiếp xúc với ($d_1$) và ($d_2$) nên:

$d(I,(d_1))=d(I,(d_2))$

$\Leftrightarrow \frac{a+b+4}{\sqrt{2}}=\frac{7a-b+4}{5\sqrt{2}}\Leftrightarrow 5(a+b+4)=\underline{+}(7a-b+4)\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a-3b=8(2) & & \\3a+b=-6(3) & & \end{matrix}\right.$

giải ($1$): $4a+3b-2=0$ và ($2$) ta được: $a=2,b=-2$ nên có $I(2,-2)$ và $R=2\sqrt{2}$

giải ($1$) và ($3$) ta đuoc: $a=-4,b=6$ nên có $I(-4,6)$ và $R=3\sqrt{2}

vậy có 2 đường tròn ($C$) cần tìm:

$(x-2)^2+(y+2)^2=8$

$(x+4)^2+(y-6)^2=18$

[ducnahasd]

1. Họ và tên thật:Nguyễn Đức Anh

2. Đang học lớp 12A11, trường THPT Thống Nhất B, huyện Thống Nhất , tỉnh Đồng Nai

3. Đề Cho tam giác ABC có đinht A thược đường thằng $d:x-4y-2=0$, cạnh BC song song với $d$ .Phương trình đường cao $BH:x+y+3=0$ và trung điểm cạnh AC là điểm $M(1,;1)$.Tìm tọa độ các đỉnh A,B,C.

 

4. Đáp án

AC vuông góc với BH nên phương trình cạnh AC là:$y-1=1(x-1)$

$\rightleftharpoons y=x.$Tọa độ A là nghiệm của \begin{cases}x-4y-2=0 \\ y=x \end{cases}

$\Rightarrow A(\frac{-2}{3};\frac{2}{3})$

$M(1,1) $ là trung điểm của AC nên $C(\frac{8}{3};\frac{8}{3})$

Cạnh BC song song với (d) nên phương trình là:$x-4y-8=0$

Tọa độ B là nghiệm của \begin{cases}x+y+3=0 \\ x-4y+8=0 \end{cases}

$\Rightarrow B(-4;1)$

 

 

[Mai Duc Khai]

1. Họ và tên thật: Mai Đức Khải

2. Đang học lớp Bk53, trường THPT Hà Trung, huyện Hà Trung, tỉnh Thanh Hóa.

3. Đề : Cho đường thẳng $\Delta: (sina+cosa)x+(sina-cosa)y+2sina-4cosb+1=0$

CMR: $\Delta$ luôn tiếp xúc với đường tròn cố định.

4. Đáp án:

Chọn K(1;-3) 

Ta có: 

$d_{(K;\Delta )}  = \frac{{|\sin a + \cos a - 3(sin a - cos a) + 2\sin a - 4\cos a + 1|}}{{\sqrt {(\sin a + \cos a)^2  + (\sin a - c{\rm{osa)}}^2 } }}$

 

$\Leftrightarrow d_{(K;\Delta )}  = \frac{1}{{\sqrt {2(c{\rm{os}}^2 a + \sin ^2 a)} }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}(c{\rm{ons}}t)$

 

Vậy $\Delta$ luôn tiếp xúc với đường tròn tâm K bán kính $R=\frac{1}{\sqrt{2}}$

 

 

[vuminhhoang]

1. Họ tên : Vũ Minh Hoàng

 

2. Đang học lớp 11 A trường THPT Yên Mô A huyện Yên Mô tỉnh Ninh Bình

 

3. Đề bài : Trong (Oxy) cho đường tròn $(C) : (x-1)^2+(y-2)^2 = 4$ và đường thẳng $(\Delta) : x+y+6=0$

 

Tìm điểM M thuộc $\Delta$ sao cho từ M kẻ được 2 tiếp tuyến tới (C) là MA và MB thoả mãn :

 

a, $\widehat{AMB} = 60^o$

 

b, $dt(MAIB) = min$ với I là tâm đường tròn.

 

4. Lời giải

 

a, (C) có tâm I(1;2) và bán kính R=2

 

Do $\widehat{MAB} = 60^o$ nên $MI = 2R = 4$

 

vậy M là giao điểm của đường thẳng $\Delta$ và đường tròn tâm I(1;2) bán kính R' = 2R = 4

 

vì khoảng cách từ I(1;2) tới đường thẳng $\Delta$ là $4\sqrt{2} > R'$ nên không có điểm M thoả mãn điều kiện.

 

b, $dt(MAIB) = 2.dt(\Delta MAI) = MA.R=R.\sqrt{MI^2-R^2}$

 

như vậy dt(MAIB) nhỏ nhất khi MI nhỏ nhất vậy M là hình chiếu của I trên đường thẳng $\Delta$.

 

từ đó tìm ra M=(-3,5 ; -2,5)

 

 

 

[phatthemkem]

Em tên là: Huỳnh Tiến Phát

Học lớp: 10

Trường: THPT số 1 Đức Phổ

Xã Phổ Văn, huyện Đức Phổ, tỉnh Quảng Ngãi.

Đề: Cho $A\left ( 1,-2 \right );B\left ( -3,3 \right )$. Tìm điểm $C$ thuộc đường thẳng $d:x-y+2=0$ sao cho $\Delta ABC$ vuông tại $C$

Giải:

Gọi $C\left ( x_{C},y_{C} \right )\in d\Leftrightarrow x_{C}-y_{C}+2=0$ $(1)$

$\Delta ABC$ vuông tại $C$ $\Leftrightarrow \overrightarrow{CA}\perp \overrightarrow{CB}\Leftrightarrow \overrightarrow{CA}. \overrightarrow{CB}=0$

Ta có $\overrightarrow{CA}=\left ( 1-x_{C},-2-y_{C} \right );\overrightarrow{CB}=\left ( -3-x_{C},3-y_{C} \right )$

$\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB}= ( 1-x_{C})( -3-x_{C})+(-2-y_{C})(3-y_{C})=0$ $(2)$

Thay $(1)$ vào $(2)$, giải ra ta được $\begin{bmatrix} y_{C}=-\frac{3}{2}\Rightarrow x_{C}=-\frac{7}{2}\\ y_{C}=3\Rightarrow x_{C}=1 \end{bmatrix}$

Vậy ta có các điểm $C$ thỏa mãn bài toán là $C_{1}\left ( 1,3 \right );C_{2}\left ( -\frac{7}{2},-\frac{3}{2} \right )$