Chủ đề này có 5 trả lời

[nxt96]

Cho tam giác ABC nhọn, chứng minh: $cosA+cosb+cosC\leq \sqrt{2}$

[25 minutes]

Cho tam giác ABC nhọn, chứng minh: $cosA+cosb+cosC\leq \sqrt{2}$

BĐT đã ch0 sai với $A=B=C=60^0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Toc Ngan: 29-07-2013 - 10:54

[nxt96]

BĐT đã ch0 sai với $A=B=C=60^0$

mình ko biết,mình tính là nó bé hơn hoặc bằng 3/2,nên cũng chịu

[25 minutes]

mình ko biết,mình tính là nó bé hơn hoặc bằng 3/2,nên cũng chịu

Có 1 bài toán gần giống thế.

Ch0 tam giác $ABC$ có 1 góc không nhọn. Chứng minh rằng 

               $\sin A+ \sin B+ \sin C\leqslant 1+\sqrt{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Toc Ngan: 29-07-2013 - 11:06

[thuan192]

Nếu tam giác ABC là tam giác vuông hoặc tù thì mình có thể cm được như sau:

                         Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử A=max{A;B;C}$\geq$$\frac{\Pi }{2}$

                   Ta có cosA+cosB+cosC= $1-2sin^{2}\frac{A}{2}+2sin\frac{A}{2}cos\frac{B-C}{2}$

 

                                                        $\leq 1-2sin^{2}\frac{A}{2}+2sin\frac{A}{2}$

 

                       Đặt x=$sin\frac{A}{2}$.Bởi vì $A\geq \frac{\Pi }{2}=>\frac{\sqrt{2}}{2}\leq x< 1$

                          Xét hàm số  f(x)=$-2x^{2}+2x+1$ với $x\in [\frac{\sqrt{2}}{2},1)$

                       Lập bảng biến thiên ta được f(x)$\leq \sqrt{2}$       $\forall x\in [\frac{\sqrt{2}}{2},1)$

                              Suy ra cosA+cosB+cosC$\leq \sqrt{2}$(đpcm)

 

[E. Galois]

Xem chứng minh BĐT 

$$ \cos A + \cos B + \cos C \le \dfrac{3}{2}$$

 

tại đây