Chủ đề này có 10 trả lời

[Tran Hoai Nghia]

Mình mới học nguyên hàm để năm sau thi đh mà thấy phần này cũng nhức đầu nên định lập topic này để học hỏi thêm cách tính cho thuần thục.Quy tắc post bài thì vẫn phải đánh số thứ tự rõ ràng, độ khó tầm thi đh trở xuống, lời giải chi tiết, có thể có các câu hỏi là tại sao phải làm như vầy?làm sap phát hiện ra được?(cũng khá nhức đầu ).Mình xin ra một số bài cũng khá căng đây:

1/$\int \frac{1}{x(\sqrt{1-x^{2}})}dx$

2/$\int \frac{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}{x}dx$

3/$\int \frac{x+1}{x(1+xe^{x})}dx$

4/$\int \frac{1}{\sqrt{(x^{2}+a^{2})^{3}}}dx(a>0)$

 Mong các bạn nhiệt tình giải nhé.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phanquockhanh: 14-08-2013 - 16:03

[duongtoi]

1/ Có hai cách đặt

C1: Đặt $x=\sin t$ để làm mất dấu căn thức.

Ta có ${\rm d}x=\cos t{\rm d}t$. Do vậy, $I=\int\frac{\cos t{\rm d}t}{\sin t.\cos t}=\int\frac{\sin t}{1-\cos^2t}{\rm d}t=-\frac{1}{2}\ln\left | \frac{1-\cos t}{1+\cos t} \right |+C$

Với $x=\sin t$.

C2: Ta biến đổi $I=\int\frac{x{\rm d}x}{x^2\sqrt{1-x^2}}$. Ta thấy trên tử số chính là đạo hàm biến số $x^2$ ở mẫu số.

Do đó, Đặt $\sqrt{1-x^2}=t\Rightarrow -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}{\rm d}x={\rm d}t;x^2=1-t^2$.

Vậy $I=-\int\frac{1}{1-t^2}{\rm d}t=\frac{1}{2}\ln\left | \frac{t-1}{t+1} \right |+C=\frac{1}{2}\ln\left (\frac{ 1-\sqrt{1-x^2}}{1+\sqrt{1-x^2}} \right )+C$

[duongtoi]

Bài 2: Phương pháp giải giống hệt bài 1 thôi.

Bài 3: Nhân cả tử và mẫu với $e^x$ ta được $I=\int\frac{(x+1)e^x}{x.e^x(1+x.e^x)}{\rm d}x$.

Đặt $t=xe^x\Rightarrow {\rm d}t=(x+1)e^x{\rm d}x$

Vậy $I=\int\frac{1}{t(t+1)}{\rm d}t=\ln\left | \frac{t}{t+1} \right |+C=\ln\left | \frac{xe^x}{xe^x+1} \right |+C$

[duongtoi]

Bài 4: Ta có thể đặt $x=a\tan t\Rightarrow {\rm d}x=\frac{a}{\cos^2t}{\rm d}t$

Khi đó, $I=\int\frac{a\frac{1}{\cos^2t}}{\sqrt{(a^2+a^2\tan^2t)^3}}{\rm d}t=\int\frac{\cos t}{a^2}{\rm d}=\frac{\sin t}{a^2}+C$ với $x=a\tan t$

[Tran Hoai Nghia]

Bài 4: Ta có thể đặt $x=a\tan t\Rightarrow {\rm d}x=\frac{a}{\cos^2t}{\rm d}t$

Khi đó, $I=\int\frac{a\frac{1}{\cos^2t}}{\sqrt{(a^2+a^2\tan^2t)^3}}{\rm d}t=\int\frac{\cos t}{a^2}{\rm d}=\frac{\sin t}{a^2}+C$ với $x=a\tan t$

các bạn có thể đưa ra đề bài của mình để làm không?

[E. Galois]

Bài 5  $\int \frac{dx}{1+x+\sqrt{1+x^2}}$

[Gioi han]

Bài 5  $\int \frac{dx}{1+x+\sqrt{1+x^2}}$

đặt $\sqrt{1+x^2}= -x+t$

$\Rightarrow x^2+1= x^2-2xt+t^2$

$\Rightarrow x=\frac{t^2-1}{2t}$

$\Rightarrow dx= \frac{t^2+1}{2t^2}dt$

Từ đó ta có:

$I= \frac{1}{2} \int \frac{t^2+1}{t^2(t+1)}dt$

$=\frac{1}{2}(\frac{1}{t^2}+\frac{2}{t+1}-\frac{1}{t})$

$=\frac{1}{2}( -\frac{1}{t} +2 \ln|t+1|-\ln|t|)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenhang28091996: 01-08-2013 - 00:02

[SOYA264]

Bài 6: $\int_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}}(3-x^2)\sqrt{3-x^2}dx$

[Gioi han]

Bài 6: $I=\int_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}}(3-x^2)\sqrt{3-x^2}dx$

Đặt $x=\sqrt{3} sint, t \in [\frac{-\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$

 

$\Rightarrow dx= \sqrt{3} cost dt$

 

$I= \int (3-3sin^2t) \sqrt{3-3sin^2t}(\sqrt{3}cost)dt$

 

$=9 \int cos^4t dt= \frac{9}{4} \int (1+cos2t)^2 dt$

 

$=\frac{9}{4} \int (1+2cos2t +\frac{1+cos4t}{2}) dt$

 

$=\frac{9}{8} \int (3+4cos2t +cos4t) dt$

 

$=\frac{9}{8}(3t+2sin2t+\frac{1}{4} sin4t)+C$

[Tran Hoai Nghia]

Bài 7:$\int x^{2}\sqrt{x^{2}+1}dx$

Bài 8:$\int \sin^3x \sqrt{\cos x}dx$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phanquockhanh: 14-08-2013 - 16:03

[SOYA264]

 

Bài 8:$\int \sin^3x \sqrt{\cos x}dx$

$\int \sin^3x \sqrt{\cos x}dx$

 

=$\int sinx.sin^2x\sqrt{cosx}dx=\int -(cosx)'.(1-cos^2x)\sqrt{cosx} dx$

 

$=\int (cos^2x-1)\sqrt{cosx}d(cosx)=\int cos^{2}x\sqrt{cosx}d(cosx)-\int \sqrt{cosx}d(cosx)$

 

$=\frac{cos^{\frac{7}{2}}x}{\frac{7}{2}}-\frac{cos^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}+C=\frac{2}{7}cos^{3}\sqrt{cosx}-\frac{2}{3}cosx\sqrt{cosx}+C$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi SOYA264: 15-08-2013 - 15:08