Chủ đề này có 6 trả lời

[badatmath]

Với $a,b,c$ là các số dương thõa $a^3+b^3+c^3=3$
CMR $\frac{a}{b^2+5}+\frac{b}{c^2+5}+\frac{c}{a^2+5}\leq \frac{1}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Oral1020: 30-07-2013 - 12:03

[vutuanhien]

Với $a,b,c$ là các số dương thõa $a^3+b^3+c^3=3$
CMR $\frac{a}{b^2+5}+\frac{b}{c^2+5}+\frac{c}{a^2+5}\leq \frac{1}{2}$

Không mất tổng quát, giả sử $b$ là số nằm giữa 

Áp dụng BĐT AM-GM, ta có

$$b^2+5=b^2+1+4\geq 2b+4$$

Suy ra 

$$VT\leq \frac{a}{2(b+2)}+\frac{b}{2(c+2)}+\frac{c}{2(a+2)}$$

Do đó ta chỉ cần chứng minh

$$\frac{a}{b+2}+\frac{b}{c+2}+\frac{c}{a+2}\leq 1$$

$$\Leftrightarrow a(c+2)(a+2)+b(a+2)(b+2)+c(b+2)(c+2)\leq (a+2)(b+2)(c+2)$$

$$\Leftrightarrow ab^2+bc^2+ca^2+2(a^2+b^2+c^2)\leq abc+8$$

Từ giả thiết ta suy ra $a^2+b^2+c^2\leq 3$

Do đó ta chỉ cần chứng minh

$$ab^2+bc^2+ca^2-abc\leq 2$$

$$\Leftrightarrow b(a^2+c^2)\leq 2$$

$$\Leftrightarrow b^2(a^2+c^2)^2\leq 4$$

Áp dụng BĐT AM-GM, ta có

$$b^2(a^2+c^2)^2=\frac{1}{2}.2b^2(a^2+c^2)(a^2+c^2)\leq \frac{1}{2}.(\frac{2b^2+2a^2+2c^2}{3})^3\leq 4$$

(vì $a^2+b^2+c^2\leq 3$)

Kết thúc chứng minh

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vutuanhien: 30-07-2013 - 12:36

[badatmath]

Không mất tổng quát, giả sử $b$ là số nằm giữa 

Áp dụng BĐT AM-GM, ta có

$$b^2+5=b^2+1+4\geq 2b+4$$

Suy ra 

$$VT\leq \frac{a}{2(b+2)}+\frac{b}{2(c+2)}+\frac{c}{2(a+2)}$$

Do đó ta chỉ cần chứng minh

$$\frac{a}{b+2}+\frac{b}{c+2}+\frac{c}{a+2}\leq 1$$

$$\Leftrightarrow a(c+2)(a+2)+b(a+2)(b+2)+c(b+2)(c+2)\leq (a+2)(b+2)(c+2)$$

$$\Leftrightarrow ab^2+bc^2+ca^2+2(a^2+b^2+c^2)\leq abc+8$$

Từ giả thiết ta suy ra $a^2+b^2+c^2\leq 3$

Do đó ta chỉ cần chứng minh

$$ab^2+bc^2+ca^2-abc\leq 2$$

$$\Leftrightarrow b(a^2+c^2)\leq 2$$

$$\Leftrightarrow b^2(a^2+c^2)^2\leq 4$$

Áp dụng BĐT AM-GM, ta có

$$b^2(a^2+c^2)^2=\frac{1}{2}.2b^2(a^2+c^2)(a^2+c^2)\leq \frac{1}{2}.(\frac{2b^2+2a^2+2c^2}{3})^3\leq 4$$

(vì $a^2+b^2+c^2\leq 3$)

Kết thúc chứng minh

Ở cái dòng màu đỏ thứ nhất nghĩa là giả sử là $a\geq b\geq c$ hả bạn ?
Còn cái dòng màu đỏ thứ 2 mình thắc mắc làm sao từ đó lại biến đổi ra vậy ?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi badatmath: 30-07-2013 - 16:00

[Ha Manh Huu]

Ở cái dòng màu đỏ thứ nhất nghĩa là giả sử là $a\geq b\geq c$ hả bạn ?
Còn cái dòng màu đỏ thứ 2 mình thắc mắc làm sao từ đó lại biến đổi ra vậy ?

mình là cái đỏ thứ nhất thì là $a \geq b \geq c$ và $a \leq b \leq c$

còn dòng đỏ thứ 2 là do b là số ở giữa nên $ab^{2} \leq abc$ (tức là bạn ý chọn $a \leq b \leq c$

còn nếu mà $a \geq b \geq b $ thì ta lại chọn bộ khác

[badatmath]

Nếu giả sử được như thế có nghĩa là vai trò của chúng bình đẳng hả ?

[vutuanhien]

Không mất tổng quát, giả sử $b$ là số nằm giữa 

Áp dụng BĐT AM-GM, ta có

$$b^2+5=b^2+1+4\geq 2b+4$$

Suy ra 

$$VT\leq \frac{a}{2(b+2)}+\frac{b}{2(c+2)}+\frac{c}{2(a+2)}$$

Do đó ta chỉ cần chứng minh

$$\frac{a}{b+2}+\frac{b}{c+2}+\frac{c}{a+2}\leq 1$$

$$\Leftrightarrow a(c+2)(a+2)+b(a+2)(b+2)+c(b+2)(c+2)\leq (a+2)(b+2)(c+2)$$

$$\Leftrightarrow ab^2+bc^2+ca^2+2(a^2+b^2+c^2)\leq abc+8$$

Từ giả thiết ta suy ra $a^2+b^2+c^2\leq 3$

Do đó ta chỉ cần chứng minh

$$ab^2+bc^2+ca^2-abc\leq 2$$

$$\Leftrightarrow b(a^2+c^2)\leq 2$$

$$\Leftrightarrow b^2(a^2+c^2)^2\leq 4$$

Áp dụng BĐT AM-GM, ta có

$$b^2(a^2+c^2)^2=\frac{1}{2}.2b^2(a^2+c^2)(a^2+c^2)\leq \frac{1}{2}.(\frac{2b^2+2a^2+2c^2}{3})^3\leq 4$$

(vì $a^2+b^2+c^2\leq 3$)

Kết thúc chứng minh

$ab^2+bc^2+ca^2-abc=b(a+c)^2-2abc-a(b-a)(b-c)=b(a^2+c^2)-a(b-a)(b-c)\leq b(a^2+c^2)$

[KietLW9]

Với $a,b,c$ là các số dương thõa $a^3+b^3+c^3=3$
CMR $\frac{a}{b^2+5}+\frac{b}{c^2+5}+\frac{c}{a^2+5}\leq \frac{1}{2}$

Một bài khá giống: $\frac{a^2}{b+5}+\frac{b^2}{c+5}+\frac{c^2}{a+5}\leq \frac{1}{2}$

Áp dụng Cauchy rồi sử dụng Cauchy-Schwarz , ta được: $\sum_{cyc}\frac{a^2}{b+5}\leqslant \frac{1}{2\sqrt{3}}(\sum_{cyc}\frac{a^2}{\sqrt{b+2}}) \leqslant \frac{1}{2\sqrt{3}}\sqrt{(a^3+b^3+c^3)(\frac{a}{b+2}+\frac{b}{c+2}+\frac{c}{a+2})}$ 

Ta cần chứng minh: $\frac{a}{b+2}+\frac{b}{c+2}+\frac{c}{a+2}\leqslant 1\Leftrightarrow a^2c+b^2a+c^2b+2(a^2+b^2+c^2) \leqslant 8 + abc$  

Bất đẳng thức cuối luôn đúng do ta dễ chứng minh được: $a^2+b^2+c^2\leqslant 3; a^2c+b^2a+c^2b\leqslant 2 + abc$  

Thật vậy, từ giả thiết suy ra $a^2+b^2+c^2\leqslant 3$

Giả sử b=mid{a,b,c}

Ta luôn có: $(b-1)^2(b+2)\geqslant 0\Leftrightarrow 3b-b^3\leqslant 2$

Vì b=mid{a,b,c} nên $a(b-a)(b-c)\leqslant 0\Leftrightarrow ab^2+ca^2\leqslant a^2b+abc\Leftrightarrow ab^2+bc^2+ca^2\leqslant a^2b+bc^2+abc=b(a^2+b^2+c^2)-b^3+abc\leqslant3b-b^3+abc\leqslant 2+abc$

Vậy ta đã hoàn tất chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi $a = b = c = 1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 22-04-2021 - 16:30