Chủ đề này có 6 trả lời

[MyLoVeForYouNMT]

CMR: $\Delta ABC$ đều nếu thỏa mãn điều kiện sau:

1) $\sqrt{tan A}+\sqrt{tan B}+\sqrt{tan C}=\sqrt{cot \frac{A}{2}}+\sqrt{cot \frac{B}{2}}+\sqrt{cot \frac{C}{2}}$

 

2) $tan^6\frac{A}{2}+tan^6\frac{B}{2}+tan^6\frac{C}{2}=\frac{1}{9}$

 

3) $cos A+cos B+cos C=sin \frac{A}{2}+sin\frac{B}{2}+sin\frac{C}{2}$

 

4) $\left\{\begin{matrix} sinB+sinC=2sinA\\ tanB+tanC=2sinA \end{matrix}\right.$

 

5) $\frac{1}{sin^22A}+\frac{1}{sin^22B}+\frac{1}{sin^22C}=\frac{1}{2cosA.cosB.cosC}$

 

6) $\frac{a}{m_{a}}=\frac{b}{m_{b}}=\frac{c}{m_{c}}$

 

7) $P+R=(2+3\sqrt{3})r$

 

Đã update ^^

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MyLoVeForYouNMT: 31-07-2013 - 13:07

[Messi10597]

Bài 2: Ta có: $tan^{6}\frac{A}{2}+tan^{6}\frac{B}{2}+tan^{6}\frac{C}{2}\geq 3(\frac{tan\frac{A}{2}+tan\frac{B}{2}+tan\frac{C}{2}}{3})^{6}$

   Mặt khác ta có: $tan\frac{A}{2}+tan\frac{B}{2}+tan\frac{C}{2}\geq \sqrt{3}$

  $\Rightarrow tan^{6}\frac{A}{2}+tan^{6}\frac{B}{2}+tan^{6}\frac{C}{2}\geq 3(\frac{\sqrt{3}}{3})^{6}=\frac{1}{9}$

Đẳng thức xảy ra khi $A=B=C\Leftrightarrow \Delta ABC$ đều

[Messi10597]

BÀi 3:

Ta có: $sinA+sinB\leq 2sin\frac{A+B}{2}=2cos\frac{C}{2}$

Tương tự: $sinB+sinC\leq 2cos\frac{A}{2}$

                 $sinC+sinA\leq 2cos\frac{B}{2}$

Cộng 3 BĐT trên ta thu đc: $sinA+sinB+sinC\leq cos\frac{A}{2}+cos\frac{B}{2}+cos\frac{C}{2}$

Đẳng thức xảy ra khi $A=B=C\Leftrightarrow \Delta ABC$ đều

[MyLoVeForYouNMT]

BÀi 3:

Ta có: $sinA+sinB\leq 2sin\frac{A+B}{2}=2cos\frac{C}{2}$

Tương tự: $sinB+sinC\leq 2cos\frac{A}{2}$

                 $sinC+sinA\leq 2cos\frac{B}{2}$

Cộng 3 BĐT trên ta thu đc: $sinA+sinB+sinC\leq cos\frac{A}{2}+cos\frac{B}{2}+cos\frac{C}{2}$

Đẳng thức xảy ra khi $A=B=C\Leftrightarrow \Delta ABC$ đều

Ths bạn nha, bạn làm đúng 2 bài mình làm được rồi

[Messi10597]

Ths bạn nha, bạn làm đúng 2 bài mình làm được rồi

Để tớ làm bài 1 thử xem

[Messi10597]

Bài 1 :Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

  $\sqrt{tanA}+\sqrt{tanB}\geq 2\sqrt[4]{tanA.tanB}$

Cần chứng minh : $\sqrt[4]{tanAtanB}\geq \sqrt{cot\frac{C}{2}}$

                             $\Leftrightarrow tanAtanB\geq cot^{2}\frac{C}{2}$

                             $\Leftrightarrow \frac{sinAsinB}{cosAcosB}\geq \frac{1+cosC}{1-cosC}$

                             $\Leftrightarrow sinAsinB(1-cosC)\geq cosAcosB(1+cosC)$

                             $\Leftrightarrow$$cosAcosB-sinAsinB+cosC(cosAcosB+sinAsinB)\leq 0$

                             $\Leftrightarrow cos(A+B)+cosC(A-B)\leq 0$

                             $\Leftrightarrow -cosC+cosCcos(A-B)\leq 0$

                             $\Leftrightarrow -cosC[1-cos(A-B)]\leq 0$ hiển nhiên đúng

$\Rightarrow \sqrt{tanA}+\sqrt{tanB}\geq 2\sqrt{cot\frac{C}{2}}$

Hoàn toàn tương tự ta có: $\sqrt{tanB}+\sqrt{tanC}\geq 2\sqrt{cot\frac{A}{2}}$

                                          $\sqrt{tanC}+\sqrt{tanA}\geq 2\sqrt{cot\frac{B}{2}}$

  Cộng 3 BĐT trên thu đc: $\sqrt{tanA}+\sqrt{tanB}+\sqrt{tanC}\geq \sqrt{cot\frac{A}{2}}+\sqrt{cot\frac{B}{2}}+\sqrt{cot\frac{C}{2}}$

Đẳng thức xảy ra khi: $\left\{\begin{matrix} cos(A-B)=1 & & & \\ cos(B-C)=1 & & & \\ cos(C-A)=1 & & & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} A-B=0 & & & \\ B-C=0 & & & \\ C-A=0 & & & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow A=B=C\Leftrightarrow \Delta ABC$ đều

[MyLoVeForYouNMT]

Bài 1 :Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

  $\sqrt{tanA}+\sqrt{tanB}\geq 2\sqrt[4]{tanA.tanB}$

Cần chứng minh : $\sqrt[4]{tanAtanB}\geq \sqrt{cot\frac{C}{2}}$

                             $\Leftrightarrow tanAtanB\geq cot^{2}\frac{C}{2}$

                             $\Leftrightarrow \frac{sinAsinB}{cosAcosB}\geq \frac{1+cosC}{1-cosC}$

                             $\Leftrightarrow sinAsinB(1-cosC)\geq cosAcosB(1+cosC)$

                             $\Leftrightarrow$$cosAcosB-sinAsinB+cosC(cosAcosB+sinAsinB)\leq 0$

                             $\Leftrightarrow cos(A+B)+cosC(A-B)\leq 0$

                             $\Leftrightarrow -cosC+cosCcos(A-B)\leq 0$

                             $\Leftrightarrow -cosC[1-cos(A-B)]\leq 0$ hiển nhiên đúng

$\Rightarrow \sqrt{tanA}+\sqrt{tanB}\geq 2\sqrt{cot\frac{C}{2}}$

Hoàn toàn tương tự ta có: $\sqrt{tanB}+\sqrt{tanC}\geq 2\sqrt{cot\frac{A}{2}}$

                                          $\sqrt{tanC}+\sqrt{tanA}\geq 2\sqrt{cot\frac{B}{2}}$

  Cộng 3 BĐT trên thu đc: $\sqrt{tanA}+\sqrt{tanB}+\sqrt{tanC}\geq \sqrt{cot\frac{A}{2}}+\sqrt{cot\frac{B}{2}}+\sqrt{cot\frac{C}{2}}$

Đẳng thức xảy ra khi: $\left\{\begin{matrix} cos(A-B)=1 & & & \\ cos(B-C)=1 & & & \\ cos(C-A)=1 & & & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} A-B=0 & & & \\ B-C=0 & & & \\ C-A=0 & & & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow A=B=C\Leftrightarrow \Delta ABC$ đều

Câu 1 này t dùng BCS nhưng nó ngược dấu, dùng Cauchy nó lại xuôi hả , để t coi xem đúng k