Đây là chứng minh với n=6 (lưu ý: bạn nào có máy nên lưu về nhà đọc, coi ở đây tốn tiền lắm
)
Bước 1: (biến đổi)
Ta có: $\dfrac{1+b^6}{1-b^6}-\dfrac{12a^5}{(a^6+1)^2}$
Nếu a $\ge$ 1.373 thì $\dfrac{12a^5}{(a^6+1)^2}<1$ (đánh giá: $(a-1)\dfrac{12b^5}{(1-b^6)^2}-1$. Nếu b
0,7 thì g'(b)
$0.373\dfrac{12.(0,7)^5}{(1-(0,7)^6)^2}-1<0$ nên g(b)$\ge$ g(0,7)>0.
Thật vậy: g(0,7)>$1,266(a-1)+\dfrac{2}{a^6+1}-0,7 >0$
(BĐT này yếu hơn BĐT
(7) dưới đây)
Như vậy ta chỉ cần xét khi 0,7<b<0,9 (và 1$\leq$ a<1,373)
Bước 3: (chia để trị)
Ta có: $\dfrac{2(1-b)b^6}{a^6-b^6}> \dfrac{2(1-0,7)0,7^6}{1,373^6-0,7^6}>0,01 $(xét hàm $(1-b)b^6$ trên [0,7; 0,9]). Do đó, ta sẽ cm:
$(a-1)\dfrac{1+b^6}{1-b^6}+\dfrac{2}{a^6+1}+0,01 \ge b $> (***)
Ta chia miền [0,7; 0,9] của b thành các miền nhỏ và xử từng cái một.
*Khi b thuộc [0,85; 0,9]
Ta có: $\dfrac{1+b^6}{1-b^6}$ $\ge$ $\dfrac{1+0,85^6}{1-0,85^6}>2,211$nên (**) yếu hơn:
$2,211(a-1)+\dfrac{2}{a^6+1}$ > 0,9
(2)Tương tự, ta có:
*Khi b thuộc [0,8; 0,85] (***) yếu hơn:
$1,71(a-1)+ \dfrac{2}{a^6+1}+0,01$ > 0,85
(3)*Khi b thuộc [0,78 ; 0,8] thì (***) yếu hơn:
$1,58(a-1)+ \dfrac{2}{a^6+1}+0,01 > 0,8 $
(4)*Khi b thuộc [0,75 ; 0,78] thì (***) yếu hơn:
$1,433(a-1)+ \dfrac{2}{a^6+1}+0,01 > 0,78 $
(5)*Khi b thuộc [0,73 ; 0,75] thì (***) yếu hơn:
$1,356(a-1)+ \dfrac{2}{a^6+1}+0,01 > 0,75 $
(6)*Khi b thuộc [0,7 ; 0,73] thì (***) yếu hơn:
$1,266(a-1)+ \dfrac{2}{a^6+1}+0,01 > 0,73 $
(7)Vậy bài toán giải quyết xong.
Ghi chú:
1)Các BĐT (1), .., (7) chỉ còn 1 biến (a thuộc [1; 1,373]) nên chứng minh không khó, có điều cần nhiều tính toán. Nếu bạn muốn kiểm tra nhanh thì có thể dùng Maple hoặc Mathematica. Trên đây chỉ là 1 đề nghị ìrất thô sơ” để chứng minh
. Hi vọng các bạn sẽ có cách đánh giá thông minh hơn.
2)Ở đây việc n có nguyên hay không không ảnh hưởng tới chứng minh. Tuy nhiên, việc tìm GTNN của k (trong R) e rằng rất khó (mặc dù ta có thể xấp xỉ tới các chữ số thập phân), mà lại không có mấy ý nghĩa, nên tôi thiết nghĩ không nên tốn quá nhiều thời gian vào việc đó, trừ khi bạn có một chứng minh mạnh hơn.
--------------------
Mới đọc bài của Lotus: Tất nhiên thêm bớt 1 thằng ép-xi-lông đủ nhỏ thì vẫn đúng. Nếu các bạn có cm nào khác thì ráng post lên để pà con cùng xem.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi inhtoan: 21-04-2009 - 18:33