Đến nội dung

Hình ảnh

Very difficult inequality

* * * * * 1 Bình chọn

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 42 trả lời

#1
hungkhtn

hungkhtn

    Tiến sĩ diễn đàn toán

  • Hiệp sỹ
  • 1019 Bài viết
Sau đây mới là bài toán mà thực sự chưa ai giải được(theo tôi biết).Nếu ai mà giải được thì thực sự là cao thủ :

Tìm k min để bđt sau đúng với mọi a,b,c dương.
$\dfrac{a^k}{a+b}+ \dfrac{b^k}{b+c}+\dfrac{c^k}{c+a}\ge \dfrac{a^{k-1}+b^{k-1}+c^{k-1}}{2}$

-------
xin mạn phép split topic này ra 1 thread riêng.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi inhtoan: 21-04-2009 - 17:29

Hiện tại mình không lên diễn đàn toán thường xuyên, thế nên nếu không trả lời đc Private Message trên diễn đàn được, mong các bạn thông cảm.

Visit www.hungpham.net/blog, where I am more available to talk with you.

#2
Hatucdao

Hatucdao

    Sĩ quan

  • Founder
  • 397 Bài viết

Tìm k min để bđt sau đúng với mọi a,b,c dương.
$\dfrac{a^k}{a+b}+ \dfrac{b^k}{b+c}+\dfrac{c^k}{c+a}\ge \dfrac{a^{k-1}+b^{k-1}+c^{k-1}}{2}$

Ta sẽ tìm tất cả k cho BĐT này đúng.
Với k :P 1, dùng BĐT TreBuseps ta có đpcm (k=1 ta được BĐT Netbit)
Với k<1, ta cm BĐT trên không đúng.
Nếu 0<k<1 thì cho b=c=1, a-->0, còn nếu k=0 thì thậm chí ta còn có BĐT ngược lại, cuối cùng, với k<0 thì cho b=c=1, chia 2 vế cho $a^k$ rồi cho a->0.
Vậy tất cả các số k là k :lol: 1.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi inhtoan: 21-04-2009 - 18:51

Hoa đào năm ngoái đừng cười
Vì chưng xa cách nên người nhớ nhau

#3
hungkhtn

hungkhtn

    Tiến sĩ diễn đàn toán

  • Hiệp sỹ
  • 1019 Bài viết
Ko hiểu Trebưsep kiểu gì đây?Theo tôi bạn nhầm rùi.Bài này very very dificult,ko đơn giản thế đâu.
Hiện tại mình không lên diễn đàn toán thường xuyên, thế nên nếu không trả lời đc Private Message trên diễn đàn được, mong các bạn thông cảm.

Visit www.hungpham.net/blog, where I am more available to talk with you.

#4
nemo

nemo

    Hoa Anh Thảo

  • Founder
  • 416 Bài viết

Với k<1, ta cm BĐT trên không đúng.
Nếu 0<k<1 thì cho b=c=1, a-->0, còn nếu k=0 thì thậm chí ta còn có BĐT ngược lại

Mình nghĩ vẫn chưa chặt lắm, nếu a-->0 nhưng nếu k cũng :infty 0 thì $a^k$ :int 1, nên chưa phủ định BĐT trên được, mình cũng không nghĩ đáp số của bài toán là k=1.

Theo tôi bạn nhầm rùi.Bài này very very dificult,ko đơn giản thế đâu


Một bài very very dificult không có nghĩa là không có cách giải đơn giản, thân mến !

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi inhtoan: 21-04-2009 - 17:33

<span style='color:purple'>Cây nghiêng không sợ chết đứng !</span>

#5
hungkhtn

hungkhtn

    Tiến sĩ diễn đàn toán

  • Hiệp sỹ
  • 1019 Bài viết
Thực sự tôi ko tin là giải có cách gải đơn giản.

Hiển nhiên $k=\dfrac{4}{3}$
$\sum\dfrac{a^4}{a^3+b^3} \ge \dfrac{\sum{a}}{2}$

Ngay trong trường hợp này,bài toán đã rất khó.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi inhtoan: 21-04-2009 - 17:39

Hiện tại mình không lên diễn đàn toán thường xuyên, thế nên nếu không trả lời đc Private Message trên diễn đàn được, mong các bạn thông cảm.

Visit www.hungpham.net/blog, where I am more available to talk with you.

#6
Hatucdao

Hatucdao

    Sĩ quan

  • Founder
  • 397 Bài viết
Chết thật, vô cùng xin lỗi các đồng chí. Tôi nhớ lộn đề là VT=$\dfrac{{a^k }}{{b + c}}$+..., thấy không có gì khó nên hơi thắc mắc và mới post lên (các bác xem dòng "k=1 ta được BĐT Netbit" là rõ).
Xem lại, quả thật bài của chú saobang rất khó. Tôi nghĩ việc quy đồng mẫu số là một chiến thuật khả thi cho các số k cụ thể.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi inhtoan: 21-04-2009 - 17:42

Hoa đào năm ngoái đừng cười
Vì chưng xa cách nên người nhớ nhau

#7
Stupid

Stupid

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 93 Bài viết
Em mới biết trường hợp $k = \dfrac{3}{2}$ cứ tưởng $k = \dfrac{4}{3}$ cũng rùa không ngờ khó hơn nhiều. Anh(chị) saobangngo đã giải được $k = \dfrac{4}{3}$ chưa?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi inhtoan: 21-04-2009 - 17:48

It is a good day to die

#8
hungkhtn

hungkhtn

    Tiến sĩ diễn đàn toán

  • Hiệp sỹ
  • 1019 Bài viết
Anh,ko phải là chị.Rõ chưa?

Trong trường hơp $k = \dfrac{4}{3}$hoặc $ \dfrac{5}{4}$ thì đều có lời giải cả.Nhưng tổng quát thì chịu thôi.Các bạn thử tìm với $k = 1+\dfrac{1}{n}$ xem?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi inhtoan: 21-04-2009 - 17:52

Hiện tại mình không lên diễn đàn toán thường xuyên, thế nên nếu không trả lời đc Private Message trên diễn đàn được, mong các bạn thông cảm.

Visit www.hungpham.net/blog, where I am more available to talk with you.

#9
Hatucdao

Hatucdao

    Sĩ quan

  • Founder
  • 397 Bài viết
Mệnh đề:
1)nếu $a \ge b \ge c$ thì BĐT đúng với mọi k \ge 1.
2)nếu bài toán đúng với k thì nó cũng đúng với k' nếu 1<k'<k.
Tuy nhiên, do BĐT không đúng với k=1 nên sẽ tồn tại cận dưới k. Tuy nhiên, chưa chắc cận dưới này là 1 số "đẹp" (hữu tỉ chẳng hạn).
Trường hợp $ k= \dfrac{3}{2}$ khá đơn giản, tuy nhiên với k nhỏ hơn thì cần khá nhiều "thủ đoạn" đánh giá.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi inhtoan: 21-04-2009 - 17:53

Hoa đào năm ngoái đừng cười
Vì chưng xa cách nên người nhớ nhau

#10
hungkhtn

hungkhtn

    Tiến sĩ diễn đàn toán

  • Hiệp sỹ
  • 1019 Bài viết
Hatucdao giải ra chưa vậy?
Hướng giải đó tự nhiên,nhưng ko đẹp.Nói chung là nếu giải được bằng cách đó thì sẽ có cách giải khác.

Nếu Hatucdao đã giải xong trong TH $ k=1+ \dfrac{1}{n} $thì đã là một KQ quá tuyệt rùi!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi inhtoan: 21-04-2009 - 18:10

Hiện tại mình không lên diễn đàn toán thường xuyên, thế nên nếu không trả lời đc Private Message trên diễn đàn được, mong các bạn thông cảm.

Visit www.hungpham.net/blog, where I am more available to talk with you.

#11
Hatucdao

Hatucdao

    Sĩ quan

  • Founder
  • 397 Bài viết
Không, bạn saobang hiểu nhầm rồi. Ý tôi là nếu n đủ lớn thì bài toán sẽ không còn đúng với $k=1+\dfrac{1}{n}$ (vì nếu có cái này thì lấy giới hạn suy ra đúng với k=1 (!?)). Có lẽ đặt vấn đề thế này sẽ thiết thực hơn: tìm n lớn nhất để bài toán đúng với $k=1+\dfrac{1}{n}$ . Cách của tôi chỉ cm được với n=2 (khá ngắn), n=3 (dài hơn 1 chút), trường hợp n=4 thì đánh giá quá phức tạp mà vẫn chưa ra.
Một hướng đơn giản mà có thể đề nghị: (ở đây thay k bởi k+1 cho tiện)
Giả sử a=max(a,b,c)
Viết lại: $\dfrac{2a^{k+1}}{a+b}-a^k+..$ $\ge$ 0
hay: $\dfrac{a^k(a-b)}{a+b}$+.. $\ge$ 0
Nếu b $\ge$ 0 thì: VT $\ge$ $c^k(\dfrac{a-b}{a+b}+..)$ $\ge$ 0 do đó ta chỉ cần xét khi c>b. Ta viết lại:
$\dfrac{a^k(a-b)}{a+b}$ $\ge$ $\dfrac{b^k(c-b)}{b+c}+\dfrac{c^k(a-c)}{c+a}$
hay: $\dfrac{a-b}{a+b}$ $\ge$ $(\dfrac{b}{a})^k\dfrac{c-b}{b+c}+(\dfrac{c}{a})^k\dfrac{a-c}{a+c}$
Từ đó, ta thấy BĐT nếu đúng với k thì cũng đúng với k'>k. Như vậy "tìm tất cả" thực chất là "tìm nhỏ nhất".
Tới đây, ta có thể tách: a-c=(a-b)-(c-b) (hoặc các hệ thức tương tự) và nhóm lại để còn "2 thằng". Với $ k= \dfrac{1}{2}$ thì bước đánh giá tiếp theo khá dơn giản.
Một cách nữa là quy đồng cả lên, rồi "phân tích thành nhân tử".
Không biết hướng đi của các bạn thế nào.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi inhtoan: 21-04-2009 - 18:18

Hoa đào năm ngoái đừng cười
Vì chưng xa cách nên người nhớ nhau

#12
hungkhtn

hungkhtn

    Tiến sĩ diễn đàn toán

  • Hiệp sỹ
  • 1019 Bài viết
Tôi cũng làm theo cách phân tích nhân tưẻ,nhưng chỉ với 2 TH là $k=\dfrac{4}{3}$ và $k=\dfrac{5}{4}$.Các trường hợp khác thì chưa làm xong(Đúng hơn là chưa làm vì với 2 giá trị trên,giải quyết đã rất vất vả rồi)!

Nếu Bạn có kết quả gì mới,Please message for me!Thank you!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi inhtoan: 21-04-2009 - 18:19

Hiện tại mình không lên diễn đàn toán thường xuyên, thế nên nếu không trả lời đc Private Message trên diễn đàn được, mong các bạn thông cảm.

Visit www.hungpham.net/blog, where I am more available to talk with you.

#13
Hatucdao

Hatucdao

    Sĩ quan

  • Founder
  • 397 Bài viết
Sau 1 tiếng bấm máy tinh, tôi đã lôi được 1 phản ví dụ với $k=\dfrac{8}{7}$ như sau:
$a=1.2^7$,$b=0.7^7$,$c=1$
Kĩ thuật mà tôi đã dùng để cm mấy trường hợp nhỏ cũng như tìm ra phản ví dụ là biến đổi: (ở đây thay k bởi k+1)
$\dfrac{a^k(a-b)}{a+b}+\dfrac{b^k(b-c)}{b+c}+\dfrac{a^k(c-a)}{c+a}$
= $\dfrac{(a^k-c^k)(a-b)}{a+b}+\dfrac{(b^k-c^k)(b-c)}{b+c}+ c^k(\dfrac{a-b}{a+b}+\dfrac{b-c}{b+c}+\dfrac{c-a}{c+a})$
= $\dfrac{(a^k-c^k)(a-b)}{a+b}+\dfrac{(b^k-c^k)(b-c)}{b+c}+ c^k(\dfrac{(a-b)(b-c)(a-c)}{(a+b)(b+c)(c+a)}$
Và bài toán quy về cm:
=$\dfrac{(a^k-c^k)(a-b)}{a+b}+\dfrac{(b^k-c^k)(b-c)}{b+c} \ge c^k(\dfrac{(a-b)(c-b)(a-c)}{(a+b)(b+c)(c+a)}$
Tất nhiên ta chỉ cần cm cái này với a$\ge$c$\ge$b. Và để cho đơn giản thì có thể cho c=1, hơn nữa, ta đang xét $k=\dfrac{1}{n}$ nên ta thay $a^n$=a, a=$a^k$...
Cách này có triển vọng cm được cho n=5 (ta chia a,b ra từng miền rồi xét, nhưng cách này tốn quá nhiều thời gian mà cũng chẳng có gì đẹp đẽ nên tôi ...chưa dám xét hết)...
Như vậy ta chỉ cần khảo sát với n=5 và n=6 nữa thôi.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi inhtoan: 21-04-2009 - 18:23

Hoa đào năm ngoái đừng cười
Vì chưng xa cách nên người nhớ nhau

#14
hungkhtn

hungkhtn

    Tiến sĩ diễn đàn toán

  • Hiệp sỹ
  • 1019 Bài viết
Hiện giờ với n=5 và n=6 thì chưa ai có kết quả.
Hiện tại mình không lên diễn đàn toán thường xuyên, thế nên nếu không trả lời đc Private Message trên diễn đàn được, mong các bạn thông cảm.

Visit www.hungpham.net/blog, where I am more available to talk with you.

#15
Hatucdao

Hatucdao

    Sĩ quan

  • Founder
  • 397 Bài viết
Sáng hôm nay đã cm được cho n=5 (toi hết 2 tiết Anh văn :D ), đang làm với n=6 (dự đoán: 90% là đúng, và 9% là có phản ví dụ). Cách giải không có gì phức tạp quá, chỉ phải cái bấm máy tính hơi nhiều. Hi vọng mai hay mốt sẽ xong.
:D :) :cry :) :D
Hoa đào năm ngoái đừng cười
Vì chưng xa cách nên người nhớ nhau

#16
hungkhtn

hungkhtn

    Tiến sĩ diễn đàn toán

  • Hiệp sỹ
  • 1019 Bài viết
Quá tốt!Đây là một bước tiến mới để hoàn chỉnh bài này!
Hiện tại mình không lên diễn đàn toán thường xuyên, thế nên nếu không trả lời đc Private Message trên diễn đàn được, mong các bạn thông cảm.

Visit www.hungpham.net/blog, where I am more available to talk with you.

#17
Lotus

Lotus

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 27 Bài viết

Sáng hôm nay đã cm được cho n=5 (toi hết 2 tiết Anh văn :) ), đang làm với n=6 (dự đoán: 90% là đúng, và 9% là có phản ví dụ).

- Với n=6 cũng đúng đó anh ạ, nhưng hằng số nhỏ nhất thì không phải vì trong cách làm của em, em nghĩ là có thể cộng vào 7/6 một số thực dương :) đủ nhỏ thì BĐT vẫn đúng.
gần bùn mà chẳng hôi tanh mùi bùn.

#18
Hatucdao

Hatucdao

    Sĩ quan

  • Founder
  • 397 Bài viết
Đây là chứng minh với n=6 (lưu ý: bạn nào có máy nên lưu về nhà đọc, coi ở đây tốn tiền lắm :D)

Bước 1: (biến đổi)
Ta có: $\dfrac{1+b^6}{1-b^6}-\dfrac{12a^5}{(a^6+1)^2}$
Nếu a $\ge$ 1.373 thì $\dfrac{12a^5}{(a^6+1)^2}<1$ (đánh giá: $(a-1)\dfrac{12b^5}{(1-b^6)^2}-1$. Nếu b :) 0,7 thì g'(b):D $0.373\dfrac{12.(0,7)^5}{(1-(0,7)^6)^2}-1<0$ nên g(b)$\ge$ g(0,7)>0.
Thật vậy: g(0,7)>$1,266(a-1)+\dfrac{2}{a^6+1}-0,7 >0$
(BĐT này yếu hơn BĐT (7) dưới đây)
Như vậy ta chỉ cần xét khi 0,7<b<0,9 (và 1$\leq$ a<1,373)
Bước 3: (chia để trị)
Ta có: $\dfrac{2(1-b)b^6}{a^6-b^6}> \dfrac{2(1-0,7)0,7^6}{1,373^6-0,7^6}>0,01 $(xét hàm $(1-b)b^6$ trên [0,7; 0,9]). Do đó, ta sẽ cm:
$(a-1)\dfrac{1+b^6}{1-b^6}+\dfrac{2}{a^6+1}+0,01 \ge b $> (***)
Ta chia miền [0,7; 0,9] của b thành các miền nhỏ và xử từng cái một.
*Khi b thuộc [0,85; 0,9]
Ta có: $\dfrac{1+b^6}{1-b^6}$ $\ge$ $\dfrac{1+0,85^6}{1-0,85^6}>2,211$nên (**) yếu hơn:
$2,211(a-1)+\dfrac{2}{a^6+1}$ > 0,9 (2)
Tương tự, ta có:
*Khi b thuộc [0,8; 0,85] (***) yếu hơn:
$1,71(a-1)+ \dfrac{2}{a^6+1}+0,01$ > 0,85 (3)
*Khi b thuộc [0,78 ; 0,8] thì (***) yếu hơn:
$1,58(a-1)+ \dfrac{2}{a^6+1}+0,01 > 0,8 $ (4)
*Khi b thuộc [0,75 ; 0,78] thì (***) yếu hơn:
$1,433(a-1)+ \dfrac{2}{a^6+1}+0,01 > 0,78 $ (5)
*Khi b thuộc [0,73 ; 0,75] thì (***) yếu hơn:
$1,356(a-1)+ \dfrac{2}{a^6+1}+0,01 > 0,75 $ (6)
*Khi b thuộc [0,7 ; 0,73] thì (***) yếu hơn:
$1,266(a-1)+ \dfrac{2}{a^6+1}+0,01 > 0,73 $ (7)
Vậy bài toán giải quyết xong.

Ghi chú:
1)Các BĐT (1), .., (7) chỉ còn 1 biến (a thuộc [1; 1,373]) nên chứng minh không khó, có điều cần nhiều tính toán. Nếu bạn muốn kiểm tra nhanh thì có thể dùng Maple hoặc Mathematica. Trên đây chỉ là 1 đề nghị ìrất thô sơ” để chứng minh :). Hi vọng các bạn sẽ có cách đánh giá thông minh hơn.
2)Ở đây việc n có nguyên hay không không ảnh hưởng tới chứng minh. Tuy nhiên, việc tìm GTNN của k (trong R) e rằng rất khó (mặc dù ta có thể xấp xỉ tới các chữ số thập phân), mà lại không có mấy ý nghĩa, nên tôi thiết nghĩ không nên tốn quá nhiều thời gian vào việc đó, trừ khi bạn có một chứng minh mạnh hơn.

--------------------
Mới đọc bài của Lotus: Tất nhiên thêm bớt 1 thằng ép-xi-lông đủ nhỏ thì vẫn đúng. Nếu các bạn có cm nào khác thì ráng post lên để pà con cùng xem. :D :fight :fight

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi inhtoan: 21-04-2009 - 18:33

Hoa đào năm ngoái đừng cười
Vì chưng xa cách nên người nhớ nhau

#19
hungkhtn

hungkhtn

    Tiến sĩ diễn đàn toán

  • Hiệp sỹ
  • 1019 Bài viết
Cái này mà bạn bảo ko quá phức tạp a`?Chắc phải tốn cả ngày để KTra mất!
Hi` hi`!
Hiện tại mình không lên diễn đàn toán thường xuyên, thế nên nếu không trả lời đc Private Message trên diễn đàn được, mong các bạn thông cảm.

Visit www.hungpham.net/blog, where I am more available to talk with you.

#20
MrMATH

MrMATH

    Nguyễn Quốc Khánh

  • Hiệp sỹ
  • 4047 Bài viết
thực sự khâm phục anh hatucdao đó, em không xài máy tính, thế thì chịu
@saobang: có cách nào dễ tiếp thu hơn không
@lotus: kết quả của chị về bài toán này là thế nào rồi ạ, cho em học hỏi tẹo.okie?




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh