Cho dãy số ${a_n}$ được xác định bởi:
$a_1=\alpha, \alpha \in \mathbb{R}$
$a_{n+1}=(a_1+a_2+...+a_n-2)^{2}, \forall n =1,2,3,...$
Đặt $S_n=a_1+a_2+...+a_n$
Tìm tất cả giá trị của $\alpha$ để $S_n$ hội tụ.
Cho dãy số ${a_n}$ được xác định bởi:
$a_1=\alpha, \alpha \in \mathbb{R}$
$a_{n+1}=(a_1+a_2+...+a_n-2)^{2}, \forall n =1,2,3,...$
Đặt $S_n=a_1+a_2+...+a_n$
Tìm tất cả giá trị của $\alpha$ để $S_n$ hội tụ.
$S_1 = a_1 = \alpha $
$S_{n+1} - S_n = (S_n -2)^2$
$\Rightarrow S_{n+1} = S_n^2-3S_n +4$
Giả sử $S_2 > 2 $
Suy ra $S_3 > S_2 > 2 $
Dễ thấy $S_n$ tăng ngặt khi đó .
Giả sử bị $S_n$ bị chặn trên .
Suy ra tồn tại $\lim S_n = S $
Tính đc $S=2$ dẫn tới vô lý .
Suy ra $S_2 \leq 2 $
Khi và chỉ khi $\alpha ^2 - 3 \alpha +2 \leq 0 $
Khi và chỉ khi $1 \leq \alpha \leq 2 $ (*)
Ta chứng minh (*) là điều kiện cần và đủ đề $S_n$ hội tụ .
Thật vậy khi đó dễ dàng chứng minh đc $1 < S_n \leq 2 $ với mọi $n \geq 2$ .
Mặt khác $S_{n+1} \geq S_n $
Vậy $S_n$ tăng và bị chặn trên bởi 2 nên tồn tại giới hạn .
Điều phải chứng minh
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PRONOOBCHICKENHANDSOME: 01-08-2013 - 22:45
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh