Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm tất cả giá trị của $\alpha$ để $S_n$ hội tụ

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
Valar Morghulis

Valar Morghulis

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 24 Bài viết

Cho dãy số ${a_n}$ được xác định bởi:

$a_1=\alpha, \alpha \in \mathbb{R}$

$a_{n+1}=(a_1+a_2+...+a_n-2)^{2}, \forall n =1,2,3,...$

Đặt $S_n=a_1+a_2+...+a_n$

Tìm tất cả giá trị của $\alpha$ để $S_n$ hội tụ.



#2
PRONOOBCHICKENHANDSOME

PRONOOBCHICKENHANDSOME

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 227 Bài viết

$S_1 = a_1 = \alpha $ 

$S_{n+1} - S_n = (S_n -2)^2$ 

$\Rightarrow S_{n+1} = S_n^2-3S_n +4$ 

Giả sử $S_2 > 2 $ 

Suy ra $S_3 > S_2 > 2 $

Dễ thấy $S_n$ tăng ngặt khi đó .

Giả sử bị $S_n$ bị chặn trên .

Suy ra tồn tại $\lim S_n = S $

Tính đc $S=2$ dẫn tới vô lý .

Suy ra $S_2 \leq 2 $

Khi và chỉ khi $\alpha ^2 - 3 \alpha +2 \leq 0 $

Khi và chỉ khi $1 \leq \alpha \leq 2 $ (*)

Ta chứng minh (*) là điều kiện cần và đủ đề $S_n$ hội tụ .

Thật vậy khi đó dễ dàng chứng minh đc $1 < S_n \leq 2 $ với mọi $n \geq 2$ .

Mặt khác $S_{n+1} \geq S_n $

Vậy $S_n$ tăng và bị chặn trên bởi 2 nên tồn tại giới hạn . 

Điều phải chứng minh  


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PRONOOBCHICKENHANDSOME: 01-08-2013 - 22:45





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh