Các bài toán tính định thức
$\boxed{\text{Bài 1}}$
Tính định thức
$\begin{vmatrix} x+a_{1} & a_{2} & a_{3} & ... & a_{n}\\ a_{1} & x+a_{2} & a_{3} & ... & a_{n}\\ a_{1} & a_{2} & x+a_{3} & ... & a_{n}\\ ... & ... & ... & ... & ...\\ a_{1} & a_{2} & a_{3} & ... & x+a_{n} \end{vmatrix}$
$\boxed{\text{Bài 2}}$ Tính định thức
$D =\begin{vmatrix}1&1&{...}&1&1\\{C_2^1}&{C_3^1}&{...}&{C_n^1}&{C_{n + 1}^1}\\{C_3^2}&{C_4^2}&{...}&{C_{n + 1}^2}&{C_{n + 2}^2}\\{...}&{...}&{...}&{...}&{...}\\{C_n^{n - 1}}&{C_{n + 1}^{n - 1}}&{...}&{C_{2n - 2}^{n - 1}}&{C_{2n - 1}^{n - 1}}\end{vmatrix}$
Với $C_n^k$ là tổ hợp chập $k$ của $n$ phần tử
$\boxed{\text{Bài 3}}$ Tính định thức
$\begin{vmatrix} C_{p+n}^{n} & C_{p+n+1}^{n} & ... & C_{p+2n}^{n}\\ C_{p+n+1}^{n} & C_{p+n+2}^{n} & ... & C_{p+2n+1}^{n}\\ ... & ... & ... & ...\\ C_{p+2n}^{n} & C_{p+2n+1}^{n} & ... & C_{p+3n}^{n} \end{vmatrix}$
$\boxed{\text{Bài 4}}$ Tính định thức
$\begin{vmatrix} 1 & C_{p}^{1} & C_{p}^{2} & ... & C_{p}^{n}\\ 1 & C_{p+1}^{1} & C_{p+1}^{2} & ... & C_{p+1}^{n}\\ ... & ... & ... & ... & ...\\ 1 & C_{p+n}^{1} & C_{p+n}^{2} & ... & C_{p+n}^{n} \end{vmatrix}$
$\boxed{\text{Bài 5}}$ Tính định thức
$\begin{vmatrix} C_{m}^{p} & C_{m}^{p+1} & ... & C_{m}^{p+n}\\ C_{m+1}^{p} & C_{m+1}^{p+1} & ... & C_{m+1}^{p+n}\\ ... & ... & ... & ...\\ C_{m+n}^{p} & C_{m+n}^{p+1} & ... & C_{m+n}^{p+n} \end{vmatrix}$
$\boxed{\text{Bài 6}}$ Tính định thức
$D_{n}=\begin{vmatrix} x_{1} & a_{1}b_{2} & a_{1}b_{3} & ... & a_{1}b_{n}\\ a_{2}b_{1} & x_{2} & a_{2}b_{3} & ... & a_{2}b_{n}\\ a_{3}b_{1} & a_{3}b_{2} & x_{3} & ... & a_{3}b_{n}\\ ... & ... & ... & ... & ...\\ a_{n}b_{1} & a_{n}b_{2} & a_{n}b_{3} & ... & x_{n} \end{vmatrix}$
$\boxed{\text{Bài 7}}$ Tính định thức
a) $\begin{vmatrix} a & x & x... & x\\ x & a & x... & x\\ & & ... & \\ x & x & ... & a \end{vmatrix}$
b) $\begin{vmatrix} 1+a1 & a2 & ... & an\\ a1 & 1+a2 & ... & an\\ & & ... & \\ a1 & a2 & ... & 1+an \end{vmatrix}$
$\boxed{\text{Bài 8}}$ Tính định thức
$D=\begin{vmatrix}1&x&x^{2}&x^{3}\\ x^{3}&x^{2}&x&1\\ 1&2x&3x^{2}&4x^{3}\\ 4x^{3}&3x^{2}&2x&1\end{vmatrix}$
$\boxed{\text{Bài 9}}$ Tính định thức
a) $\begin{vmatrix} a+b & ab & a^2+b^2 \\ b+c & bc & b^2+c^2 \\ c+a & ca & a^2+c^2 \end{vmatrix}$
b) $\begin{vmatrix} a & b & c & d \\ b & a & d & c \\ c & d & a & b \\ d&c &b &a \end{vmatrix}$
$\boxed{\text{Bài 10}}$ Tính định thức
$\begin{vmatrix} x & y & 0 & {...} & {...} & 0 \\ 0 & x & y & 0 & {...} & 0 \\ {...} & {...} & {...} & {...} & {...} & {...} \\ 0 & {...} & {...} & 0 & x & y \\ y & 0 & {...} & {...} & 0 & x \end{vmatrix}$
$\boxed{\text{Bài 11}}$ Tính định thức sau
$\left|\begin{array}{cccc}\sin\varphi_1&\sin2\varphi_1&...&\sin n\varphi_1\\ \sin\varphi_2&\sin2\varphi_2&...&\sin n\varphi_2\\ \\ ...&...&...&...\\ \\ \sin\varphi_n&\sin2\varphi_n&...&\sin n\varphi_n\end{array}\right|$
$\boxed{\text{Bài 12}}$ Tính định thức
$D=\begin{vmatrix} a_{0} & a_{1} & a_{2} & ... & a_{n}\\ -y_{1} &x_{1} &0 & ... & 0\\ 0& -y_{2} & x_{2} & ... & 0\\ .& . & . & ... & .\\ 0 & 0 & 0 & ... & x_{n} \end{vmatrix}$
$\boxed{\text{Bài 13}}$ Tính định thức sau:
$D=\begin{vmatrix} x_1+1 & x_1^2+1 & x_1^3+1 & \cdots & x_1^n+1\\ x_2+1 & x_2^2+1 & x_2^3+1 & \cdots & x_2^n+1\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x_n+1 & x_n^2+1 & x_n^3+1 & \dots & x_n^n+1 \end{vmatrix}$
$\boxed{\text{Bài 14}}$ Tính định thức
$D=\left | a_{ij} \right |$ trong đó $a_{ij}=\left | i-j \right |, 1\leq i,j\leq n.$
$\boxed{\text{Bài 15}}$ Tính định thức
$\begin{vmatrix} 1^{2} &2^{2} &3^{2} & ... &n^{2} \\ 2^{2} &3^{2} &4^{2} & ... &(n+1)^{2} \\ 3^{2}&4^{2} & 5^{2} & ... &(n+2)^{2} \\ ...& . ..& ... & ... & ...\\ n^{2}& (n+1)^{2} & (n+3)^{2} &...&(2n-1)^{2} \end{vmatrix}$
$\boxed{\text{Bài 16}}$ Chứng minh rằng
$$\begin{vmatrix}
1 & x & x^{2} &\cdots &x^{n-1} \\
1 &a_{1} &a_{1}^{2} & \cdots &a^{n-1}_{1} \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
1 & a_{n-1} & a^{2}_{n-1} & \cdots & a^{n-1}_{n-1}
\end{vmatrix}=0$$
$\boxed{\text{Bài 17}}$ Tính định thức $$\begin{vmatrix} 2& 1&1 & 1 & 1\\ 0 & -1& x& y &-1 \\ 0 &x &y & -1 &-1 \\ 0& y& -1& -1& x\\ 0&-1 &-1 & x & y \end{vmatrix}$$
$\boxed{\text{Bài 18}}$
Cho $2n$ số nguyên $a_1,a_2,...,a_n;b_1,b_2,...b_n$ thỏa mãn $$a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n=0$$
Đặt $$A=\begin{pmatrix} 1+a_1b_1 & a_1b_2 & \cdots & a_1b_n\\ a_2b_1& 1+a_2b_2 & \cdots & a_2b_n\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_nb_1 & a_nb_2 & \cdots & 1+a_nb_n \end{pmatrix}$$
Tính $|detA| $
$\boxed{\text{Bài 19}}$ Cho đa thức $f(x)=\frac{1}{a}x^{2}-x+1$ với $a=sin2011\sqrt{2}.cot\sqrt{2}-cos2011\sqrt{2}$ và định thức
$$D_{2011}=\begin{vmatrix} 2cos\sqrt{2} & 1 & 0 & ... & 0 & 0\\ 1 & 2cos\sqrt{2} & 1 & ... & 0 & 0\\ 0 & 1 & 2cos\sqrt{2} & ... & 0 & 0\\ ... & ... & ... & ... & ... & ...\\ 0 & 0 & 0 & ... & 1 & 2cos\sqrt{2} \end{vmatrix}$$
Tính $f(D_{2011})$
$\boxed{\text{Bài 20}}$ Tính định thức: $\begin{vmatrix} a & b & b & ... & b & b\\ -b & a & b & ... & b & b\\ -b & -b & a & ... & b & b\\ ...& ... & ... & ... & ... & ...\\ -b & -b & -b & ... & a & b\\ -b & -b & -b & ... & -b & a \end{vmatrix}$
$\boxed{\text{Bài 21}}$ Tính định thức
\[{D_n} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&1&1&{...}&1&1\\{{a_1}}&{{a_2}}&{{a_3}}&{...}&{{a_{n - 1}}}&{{a_n}}\\{a_1^2}&{a_2^2}&{a_3^2}&{...}&{a_{n - 1}^2}&{a_n^2}\\{...}&{...}&{...}&{...}&{...}&{...}\\{a_1^{n - 1}}&{a_2^{n - 1}}&{a_3^{n - 1}}&{...}&{a_{n - 1}^{n - 1}}&{a_n^{n - 1}}\\{a_1^n}&{a_2^n}&{a_3^n}&{...}&{a_{n - 1}^n}&{a_n^n}\end{array}} \right|\]
$\boxed{\text{Bài 22}}$ Tính:
a) $\begin{vmatrix} a & x & x... & x\\ x & a & x... & x\\ & & ... & \\ x & x & ... & a \end{vmatrix}$
b) $\begin{vmatrix} 1+a1 & a2 & ... & an\\ a1 & 1+a2 & ... & an\\ & & ... & \\ a1 & a2 & ... & 1+an \end{vmatrix}$
$\boxed{\text{Bài 23}}$ Chứng minh rằng:
1) $\begin{vmatrix} n^{2} & (n+1)^{2} & (n+2)^{2}\\ (n+1)^{2} & (n+2)^{2} & (n+3)^{2}\\ (n+2)^{2} & (n+3)^{2} & (n+4)^{2} \end{vmatrix}=-8$
2) $\begin{vmatrix} a+b+c & a+b & a &a \\ a+b & a+b+c & a & a\\ a & a & a+b+c & a+b\\ a & a & a+b & a+b+c \end{vmatrix}=c^{2}(2b+c)(4a+2b+c)$
$\boxed{\text{Bài 24}}$ Tính định thức: $D_{n}=\begin{vmatrix} \frac{2}{x} & \frac{1}{x^{2}} & 0 & 0 & ... & 0 & 0\\ 1 & \frac{2}{x} & \frac{1}{x^{2}} & 0 & ... & 0 & 0\\ 0 & 1 & \frac{2}{x} & \frac{1}{x^{2}} & ... & 0 & 0\\ ... & ... & ... & ... & ... & ... & ....\\ 0 & 0 & 0 & 0 & ... & 1 & \frac{2}{x} \end{vmatrix}$
$\boxed{\text{Bài 25}}$ Tính định thức:
$$D_{n}=\begin{vmatrix}a_1+x_1 & a_2 & a_3 & a_4 & ... & a_{n-1} & a_{n}\\ -x_1& x_2 & 0 & 0 & ... & 0 & 0\\ 0& -x_2 & x_3 & 0 & ... & 0 & 0\\ ...& & & & & & \\ 0& 0& 0 & 0 & ... & -x_{n-1} & x_{n}\end{vmatrix}$$
$\boxed{\text{Bài 26}}$ Tính định thức
a) $D=\begin{vmatrix} \sqrt{2} & \sqrt{3} & \sqrt{5} & \sqrt{3}\\ \sqrt{6} & \sqrt{21} & \sqrt{10} & -2\sqrt{3}\\ \sqrt{10} & 2\sqrt{15} & 5 & \sqrt{6}\\ 2 & 2\sqrt{10} & \sqrt{10} & \sqrt{15} \end{vmatrix}$
b) $D=\begin{vmatrix} \frac{1}{3} & -\frac{5}{2} & \frac{2}{5} & \frac{3}{2}\\ 3 & -12 & \frac{21}{5} & 15\\ \frac{2}{3} & -\frac{9}{2} & \frac{4}{5} & \frac{5}{2}\\ -\frac{1}{7} & \frac{2}{7} & -\frac{1}{7} & \frac{3}{7} \end{vmatrix}$
$\boxed{\text{Bài 27}}$
Cho ma trận:$$A=\begin{bmatrix} \binom{p}{1}&\binom{p}{2}&...&\binom{p}{n-1}&\binom{p}{n}\\1&\binom{p}{1}&...&\binom{p}{n-2}&\binom{p}{n-1}\\0&1&...&\binom{p}{n-3}&\binom{p}{n-2}\\0&0&...&1&\binom{p}{1}\end{bmatrix}$$ Tính $\det A$
$\boxed{\text{Bài 28}}$ Tính định thức
$D=\begin{vmatrix} a_{1} & x & x & \cdots & x \\ y & a_{2} & x & \cdots & x \\ y & y & a_{3} & \cdots & x \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ y & y & y & \cdots & a_{n} \end{vmatrix}$
$\boxed{\text{Bài 29}}$ Cho $c_{1}, c_{2},...,c_{n}$ là $n$ số thực. Xét ma trận $A=(a_{ij})_{n}$ với $a_{ij}=c_{i}c_{j}, \forall i,j=1,2,...,n$.
Tính $\det (I+A)$ với $I$ là ma trận đơn vị cấp $n$
$\boxed{\text{Bài 30}}$ Tính định thức $\begin{vmatrix} x_{1}+1 & x_{2}+1 ...&x_{n}+1 \\ x_{1}^{2}+1&x_{2}^{2}+1 ...&x_{n}^{2}+1\\ ...& ...&...\\ x_{1}^{n}+1&x_{2}^{n}+1 ...&x_{n}^{n}+1 \end{vmatrix}$
$\boxed{\text{Bài 31}}$ Cho A là ma trận vuông cấp n hệ số thực. Chứng minh rằng $$\det A=\frac{1}{n!}\det \begin{pmatrix} tr(A) & 1 & 0 & \cdots & \cdots & 0\\ tr(A^{2}) & tr(A) & 2 & 0 & \cdots & 0\\ tr(A^{3}) & tr(A^{2}) & tr(A) & 3 & \ddots & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & 0\\ tr(A^{n-1}) & tr(A^{n-2}) & \cdots & \cdots & tr(A) & n-1\\ tr(A^{n}) & tr(A^{n-1}) & \cdots & \cdots & tr(A^{2}) & tr(A) \end{pmatrix}$$
$\boxed{\text{Bài 32}}$ Cho định thức
$\Delta =\begin{vmatrix} x & 0 & 0 & \cdots & 0 & \frac{1}{n!}\\ -1 & x & 0 & \cdots & 0 & \frac{1}{n!}\\ 0 & -2 & x & \cdots & 0 & \frac{1}{n!}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & x & \frac{1}{n!}\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & -n & \frac{1}{n!} \end{vmatrix}$
Tính $\underset{n\rightarrow +\propto }{lim}\Delta$
$\boxed{\text{Bài 33}}$
Cho 2009 đa thức $f_{j}\left ( x \right )=a_{0,j}+a_{1,j}x+...+a_{2007,j}x^{2007}$ với $j\in \left \{ 1,2,...,2009 \right \}$ và ma trận vuông cấp 2009
$A=\begin{pmatrix}
f_{1}\left ( 1 \right ) & f_{1}\left ( 2 \right ) & ... & f_{1}\left ( 2009 \right )\\
f_{2}\left ( 1 \right ) & f_{2}\left ( 2 \right ) & ... & f_{2}\left ( 2009 \right )\\
... & ... & ... & ...\\
f_{2009}\left ( 1 \right ) & f_{2009}\left ( 2 \right ) & ... & f_{2009}\left ( 2009 \right )
\end{pmatrix}$
Hãy tính det(A).
$\boxed{\text{Bài 34}}$ Tính định thức $\begin{vmatrix} -a & b & c & d\\ b & -a & d & c\\ c & d & -a & b\\ d & c & b & -a \end{vmatrix}$$\begin{vmatrix} -a & b & c & d\\ b & -a & d & c\\ c & d & -a & b\\ d & c & b & -a \end{vmatrix}$
$\boxed{\text{Bài 35}}$ Tính định thức của ma trân A cấp $n\times n$ có hệ số
$a_{ij}=\frac{(2i+2j-2)!}{2^{2i+2j-2}(i+j-1)!},(i,j=1,2,...,n)$
$\boxed{\text{Bài 36}}$ Tính định thức
$D=\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \\ 1 & 1! & 0 & 0 & 0 & \cdots & x \\ 1 & 2 & 2! & 0 & 0 & \cdots & x^{2} \\ 1 & 3 & 3.2 & 3! & 0 & \cdots & x^{3} \\ 1 & 4 & 4.3 & 4.3.2 & 4! & \cdots & x^{4} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & n & n(n-1) & n(n-1)(n-2) & n(n-1)(n-2)(n-3) & \cdots & x^{n} \end{vmatrix}$
$\boxed{\text{Bài 36}}$ Tính định thức của ma trận $A=(a_{ij})_{n}$, trong đó
$a_{ij}=\sum_{k=1}^{n}k^{i+j}$
$\boxed{\text{Bài 37}}$ Với số tự nhiên $n\geq 3$, cho $\theta =\frac{2\pi }{n}$. Tính định thức của ma trận $I+A$ cấp $n\times n$, trong đó $I$ là ma trận đơn vị cấp $n$ và ma trận $A=(a_{ik})$ với
$a_{ik}=cos(i\theta +k\theta ),\forall i,k$
$\boxed{\text{Bài 38}}$ Tính định thức $\begin{vmatrix} x &1 &1 &1 \\ 1 & x & 1 &1 \\ 1& 1 &x &1 \\ 1& 1& 1& x \end{vmatrix}$
$\boxed{\text{Bài 39}}$ Tính định thức
$a)\:\:A=\begin{vmatrix} 1&\cos\alpha&\cos2\alpha&\cos3\alpha\\\cos\alpha&\cos2\alpha&\cos3\alpha&\cos4\alpha\\\cos2\alpha&\cos3\alpha&\cos4\alpha&\cos5\alpha\\\cos3\alpha&\cos4\alpha&\cos5\alpha&\cos6\alpha\end{vmatrix}$
$b)\:\: B_n=\begin{vmatrix} a_1-b_1&a_1-b_2&\cdots &a_1-b_n\\ a_2-b_1&a_2-b_2&\cdots &a_2-b_n\\\vdots &\vdots&\ddots &\vdots \\ a_n-b_1&a_n-b_2&\cdots &a_n-b_n\end{vmatrix}$
$\boxed{\text{Bài 40}}$ Tính định thức $\begin{vmatrix} x & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0\\ n-1 & x & 2 & \cdots & 0 & 0\\ 0 & n-2 & x & \cdots & 0 & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & x & n-1\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & x \end{vmatrix}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 05-11-2013 - 01:05