Chủ đề này có 4 trả lời

[vo van duc]

Hiện nay các bài toán trên diễn đàn ta khá là nhiều nhưng được đăng tải, thảo luận ở nhiều chủ đề phân bố khắp nơi trong mục Đại số tuyến tính và hình học giải tích gây không ít khó khăn cho các thành viên khi tham khảo. Vì vậy tôi xin lập chủ đề này với mong muốn là tập hợp các bài toán lại dưới dạng một mục lục cho các thành viên tham khảo được dễ dàng hơn. Các bạn hãy nhấp con trỏ chuột vào ô viết số thứ tự bài toán để đến chủ đề của bài toán đó.

 

Vì đây là chủ đề thử nghiệm nên mong nhận được sự góp ý của các thành viên. Các góp ý của thành viên sẽ ghi nhận đúng mức và sau một thời gian sẽ được xoá để chủ đề gọn nhẹ hơn. Vì tính chất thử nghiệm nên tôi chỉ làm "Mục lục các bài toán về định thức" mà thôi. Chúng ta sẽ có các mục lục khác nữa. Tiện đây cũng xin ý kiến góp ý về sự phân loại các bài toán.

 

Mong nhận được sự góp ý của các bạn để diễn đàn ngày càng phát triển.

 

Lưu ý:

 

1) Các bạn hãy click vào ô đánh số thứ tự của bài toán để đến đến chủ đề chứa bài toàn và cùng thảo luận.

 

2) Quy ước về ý nghĩa màu của ô thứ tự của bài toán

 

$\boxed{\text{Bài ...}}$ Bài toán đã được thảo luận khá trọn vẹn

$\boxed{\text{Bài ...}}$ Bài toán đã được thảo luận nhưng chưa giải quyết trọn vẹn

$\boxed{\text{Bài ...}}$ Bài toán chưa được thảo luận, đang chờ bạn giải quyết.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 08-08-2013 - 08:13

[vo van duc]

Các bài toán định tính:

 

$\boxed{\text{Bài 1}}$

Nếu A là ma trận vuông cấp n có các phần là 1 hoặc -1 thì $\det A \; \vdots \; 2^{n-1}$

 

Mệnh đề trên đúng hay sai? Giải thích.

 

$\boxed{\text{Bài 2}}$

Cho $a,b,c,d$ là các số thực. Chứng minh rằng
 

$\begin{vmatrix} 1 & a & a^2 & a^4 \\ 1 & b & b^2 & b^4 \\ 1 & c & c^2 & c^4 \\ 1 & d & d^2 & d^4 \end{vmatrix}=(a+b+c+d)\begin{vmatrix} 1 & a & a^2 & a^3 \\ 1 & b & b^2 & b^3 \\ 1 & c & c^2 & c^3 \\ 1 & d & d^2 & d^3 \end{vmatrix}$

$\boxed{\text{Bài 3}}$

Cho A là 1 ma trận vuông cấp n khả nghịch, có ma trận phụ hợp là A* . Hãy chứng minh rằng $detA^*=(detA)^{n-1}$

 

$\boxed{\text{Bài 4}}$

A là ma trận vuông thực cấp n (với n lẻ) có các tính chất $A^2=O_n$ hoặc $A^2=I_n$

Chứng minh rằng $det(A+I) \geq det(A-I)$

 

$\boxed{\text{Bài 5}}$

Chứng minh rằng $Det{(A^2+B^2)}\ge 0$

với $A;B$ là hai ma trận cấp $n$ thoa mãn $AB=BA$

 

$\boxed{\text{Bài 6}}$

Cho $A\in M_{n}( R): A+A^{T}=O$ Chứng minh: $det(I+\alpha A^{2})\geqslant 0$

 

$\boxed{\text{Bài 7}}$

Cho $A\in M_{4}( R): A^{3}=I$ Tính $det(I+A)$

 

$\boxed{\text{Bài 8}}$

Cho tam thức bậc 2 $p(x)=x^{2}+ax+b$ thỏa mãn $p(x)\geq 0,\forall x\in R$ và A là ma trận vuông thực cấp n.
Chứng minh rằng: $det(p(A))\geq 0$

 

$\boxed{\text{Bài 9}}$

Cho A là ma trận vuông thỏa mãn : $a_{ij}+a_{ji}=0,\forall j,i$
Chứng minh rằng: $det\left(A\right)\geqslant 0$

 

$\boxed{\text{Bài 10}}$

Tìm tất cả các ma trận vuông A cấp n $(n\geqslant 2)$ sao cho với mọi ma trận B vuông cấp n ta đều có $det(A+B)=detA+detB$

 

$\boxed{\text{Bài 11}}$

Ma trận trực giao $M$ là ma trận thỏa: $MM^t=M^tM=I$ với $I$ là ma trận đơn vị.

Cho $A,B$ là hai ma trận trực giao sao cho $\det(A)=-det(B) $

Chứng minh $\det(A+B)=0$

 

$\boxed{\text{Bài 12}}$

Cho $A,B$ là 2 ma trận trực giao thoả $det(AB)<0$. Chứng minh rằng  $det(A+B)=det(A)+det(B)$

 

(Thực ra là biến tấu của bài 11)

$\boxed{\text{Bài 13}}$

Cho $A\in M_{n,p}(\mathbb{R}),B\in M_{p,n}(\mathbb{R})$. Chứng minh rằng
 

$\det (I_{n}+AB)=\det (I_{p}+BA)$

 

$\boxed{\text{Bài 14}}$

Cho ma trận $A\in M_{3}(\mathbb{R})$ thỏa $\det (A^{2}+I_{3})=0$. Chứng minh rằng

a) $\det (A+I_{3})-\det (A-I_{3})=4$

b) $tr(A^{3})=tr^{3}(A)$

 

$\boxed{\text{Bài 15}}$

Cho $A,B$ là các ma trận vuông cùng cấp thỏa mãn $AB=BA$ và tốn tại số $p\in \mathbb{N}$ sao cho $A^{p}=O$. Chứng minh rằng:
 

$\det (A^{2}+AB+B^{2})=(\det (B))^{2}$

 

$\boxed{\text{Bài 16}}$

Tìm tất cả các ma trận $A\in M_{2}(\mathbb{R})$ thỏa $\det (A^{3}+I)=1$

 

$\boxed{\text{Bài 17}}$

Cho ma trận A thực vuông cấp n thỏa mãn: $\left\{\begin{matrix} a_{ii}>0 & \\ a_{ij} \leq 0 & (i \neq j)\\ \sum_{i=1}^{n}a_{ij}>0 & \end{matrix}\right.$

Chứng minh rằng $det(A)>0$

 

$\boxed{\text{Bài 18}}$

Cho $A,B \in M_{3}{(\mathbb{R})}$ và $det(A)=det(B)=det(A+B)=det(A-B)=0$.

 

Chứng minh rằng $det(xA+yB)=0$ với mọi số thực x,y

 

$\boxed{\text{Bài 19}}$

Cho $A=(a_{ij})$ là ma trận vuông cấp n có $a_{ij}=ij$

Đặt $f(x)=\det (I_{n}+xA)$

Tính $f^{'}(0)$

 

$\boxed{\text{Bài 20}}$

Cho $A,B\in M_{n}(\mathbb{R})$ thỏa mãn: A không suy biến, $A^{3}+B+A=BA+A^{2}$ và $\exists r\in \mathbb{N}^{*}$ sao cho $B^{r}=O$

Chứng minh rằng $\det (A+B^{2012})\neq 0$

 

$\boxed{\text{Bài 21}}$

Cho $A,B\in M_n(\mathbb{R})$ với $rank(B)=1$. Chứng minh rằng

 

$det\left [ (A-B)(A+B) \right ]\leq det(A^2)$

 

$\boxed{\text{Bài 22}}$

Cho ma trận $A$ vuông cấp 2 thỏa mãn: $|det(A+I)|= |det(A+2I)|=\cdots = |det(A+5I)|=1$. CMR: $|det(A+2007I)|=1$

 

Tổng quát:

Cho ma trận cấp n A thỏa mãn: $|det(A+a_{1}I)|=|det(A+a_{2}I)|=\cdots =|det(A+a_{2n+1}I)|=a>0$ với $a_{i}\ne a_{j}$.
CMR: $|det(A+kI)|=a$ với mọi $k \in R$

 

$\boxed{\text{Bài 23}}$ Chứng minh rằng

$$\begin{vmatrix} 0 & x & y & z\\ x & 0 & z & y\\ y & z & 0 & x\\ z & y & x & 0 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 0 & z^2 & y^2\\ 1 & z^2 & 0 & x^2\\ 1 & y^2 & x^2 & 0 \end{vmatrix}$$

 

$\boxed{\text{Bài 24}}$

Cho A là ma trận vuông cấp 3 sao cho $A^{-1}=5A$

Hãy tính $det(A^{20}-I)$ với I là ma trận đơn vi cấp 3.

 

$\boxed{\text{Bài 25}}$ Giải phương trình $$\begin{vmatrix} 1 & x & x^{2} &\cdots &x^{n-1} \\ 1 &a_{1} &a_{1}^{2} & \cdots &a^{n-1}_{1} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & a_{n-1} & a^{2}_{n-1} & \cdots & a^{n-1}_{n-1} \end{vmatrix}=0$$

 

Bài toán đã được thảo luận lại trọn vẹn tai đây

 

$\boxed{\text{Bài 26}}$ Tìm $A_{2\times 2}$ để $det (AA^{T})=1$

 

$\boxed{\text{Bài 27}}$ Cho A là ma trận trực giao, nghĩa là $A.A^{T}=I_{n}$ . Chứng minh giá trị $det\left ( A \right )=1$ hay $det\left ( A \right )=-1$

 

$\boxed{\text{Bài 28}}$ Biết rằng các ma trận vuông A, B đều là nghiệm của đa thức: $ f(x) = x^{2}-x$ và $ AB+BA = 0$. Tính $det(A - B)$

 

$\boxed{\text{Bài 29}}$ Cho ma trận $A\in M_{n}\left ( R \right )$. Chứng minh rằng: $det\left ( A^{2} +E\right )\geqslant 0$

Khi nào đẳng thức xảy ra?

 

$\boxed{\text{Bài 30}}$ Cho $A=[a_{ij}]$ là ma trận phức sao cho $a_{ij}=\overline{a_{ji}}$.Chứng minh rằng det(A) là 1 số thực

 

$\boxed{\text{Bài 31}}$ 

Cho $A=(a_{ij})$ là ma trận vuông cấp n có $a_{ij}=ij$

Đặt $f(x)=\det (I_{n}+xA)$

Tính $f^{'}(0)$

 

$\boxed{\text{Bài 31}}$ Các số Fibonaci được xác định như sau

 

$(a_n):\left\{\begin{matrix} a_{1}=1 \\ a_{2}=2 \\ a_{n+2}=a_{n}+a_{n+1}, n\geq 1 \end{matrix} \right.$

Chứng minh rằng
 

$a_{n}=\begin{vmatrix} 1 & 1 & & & & & & \\ -1 & 1 & 1 & & & & & \\ & -1 & 1 & 1 & & & & \\ & & & ... & & & & \\ & & & & ... & & & \\ & & & & & ... & & \\ & & & & & -1 & 1 & 1 \\ & & & & & & -1 & 1 \end{vmatrix}$

 

$\boxed{\text{Bài 32}}$ Cho $n \in \mathbb{N}^*$ số nguyên $0 \le k_1<k_2<...<k_n$ và các số thực $0<a_1<a_2<...<a_n$, chứng minh

$$\begin{vmatrix}
a_1^{k_1} & a_1^{k_2} & \cdots &a_1^{k_n} \\
a_2^{k_1} &a_2^{k_2} & &a_2^{k_n} \\
\vdots & & &\vdots \\
a_n^{k_1}& a_n^{k_2} &\cdots &a_n^{k_n}
\end{vmatrix} >0$$

 

$\boxed{\text{Bài 33}}$ 

Câu 1: Tìm tất cả các ma trận vuông A cấp n $(n\geqslant 2)$ sao cho với mọi ma trận B vuông cấp n ta đều có $det(A+B)=detA+detB$

Câu 2: Tìm tất cả các ma trận vuông A cấp n sao cho với mọi ma trận B vuông cấp n ta đều có $det(A+2009B)=detA+2009detB$

 

$\boxed{\text{Bài 34}}$ Với $A,B,C \in M_{2}(\mathbb{R})$ thỏa $AB=BA$, $BC=CB$, $AC=CA$. thì

$$\det (A^2+B^2+C^2-AB-BC-CA) \geq 0$$

Chứng minh hay chỉ ra chổ sai của mệnh đề trên.

 

$\boxed{\text{Bài 35}}$ Cho A,B là hai ma trận đối xứng chứng minh rằng nếu  det(I − λA) det(I − μB) = det(I − λA − μB) ,  ∀ λ, μ  thì AB=0

 

$\boxed{\text{Bài 36}}$ Không khai triển định thức mà dùng các tính chất của định thức để chứng minh:

$$\begin{vmatrix} 1&a&bc\\1&b&ca\\1&c&ab\end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1&a&a^2\\1&b&b^2\\1&c&c^2\end{vmatrix}$$

 

 

$\boxed{\text{Bài 37}}$ Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n \ge 2$ có các phần tử là các số chính phương lẻ. Chứng minh $det(A)$ chia hết cho $8^{n-1}$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 26-11-2014 - 22:32

[vo van duc]

Các bài toán tính định thức
 
$\boxed{\text{Bài 1}}$

Tính định thức

$\begin{vmatrix} x+a_{1} & a_{2} & a_{3} & ... & a_{n}\\ a_{1} & x+a_{2} & a_{3} & ... & a_{n}\\ a_{1} & a_{2} & x+a_{3} & ... & a_{n}\\ ... & ... & ... & ... & ...\\ a_{1} & a_{2} & a_{3} & ... & x+a_{n} \end{vmatrix}$

 
 
$\boxed{\text{Bài 2}}$ Tính định thức

$D =\begin{vmatrix}1&1&{...}&1&1\\{C_2^1}&{C_3^1}&{...}&{C_n^1}&{C_{n + 1}^1}\\{C_3^2}&{C_4^2}&{...}&{C_{n + 1}^2}&{C_{n + 2}^2}\\{...}&{...}&{...}&{...}&{...}\\{C_n^{n - 1}}&{C_{n + 1}^{n - 1}}&{...}&{C_{2n - 2}^{n - 1}}&{C_{2n - 1}^{n - 1}}\end{vmatrix}$

Với $C_n^k$ là tổ hợp chập $k$ của $n$ phần tử

 
$\boxed{\text{Bài 3}}$ Tính định thức

$\begin{vmatrix} C_{p+n}^{n} & C_{p+n+1}^{n} & ... & C_{p+2n}^{n}\\ C_{p+n+1}^{n} & C_{p+n+2}^{n} & ... & C_{p+2n+1}^{n}\\ ... & ... & ... & ...\\ C_{p+2n}^{n} & C_{p+2n+1}^{n} & ... & C_{p+3n}^{n} \end{vmatrix}$

 
$\boxed{\text{Bài 4}}$ Tính định thức

$\begin{vmatrix} 1 & C_{p}^{1} & C_{p}^{2} & ... & C_{p}^{n}\\ 1 & C_{p+1}^{1} & C_{p+1}^{2} & ... & C_{p+1}^{n}\\ ... & ... & ... & ... & ...\\ 1 & C_{p+n}^{1} & C_{p+n}^{2} & ... & C_{p+n}^{n} \end{vmatrix}$

 
$\boxed{\text{Bài 5}}$ Tính định thức

$\begin{vmatrix} C_{m}^{p} & C_{m}^{p+1} & ... & C_{m}^{p+n}\\ C_{m+1}^{p} & C_{m+1}^{p+1} & ... & C_{m+1}^{p+n}\\ ... & ... & ... & ...\\ C_{m+n}^{p} & C_{m+n}^{p+1} & ... & C_{m+n}^{p+n} \end{vmatrix}$

 
$\boxed{\text{Bài 6}}$ Tính định thức

$D_{n}=\begin{vmatrix} x_{1} & a_{1}b_{2} & a_{1}b_{3} & ... & a_{1}b_{n}\\ a_{2}b_{1} & x_{2} & a_{2}b_{3} & ... & a_{2}b_{n}\\ a_{3}b_{1} & a_{3}b_{2} & x_{3} & ... & a_{3}b_{n}\\ ... & ... & ... & ... & ...\\ a_{n}b_{1} & a_{n}b_{2} & a_{n}b_{3} & ... & x_{n} \end{vmatrix}$

 
$\boxed{\text{Bài 7}}$ Tính định thức

a) $\begin{vmatrix} a & x & x... & x\\ x & a & x... & x\\ & & ... & \\ x & x & ... & a \end{vmatrix}$

 

b) $\begin{vmatrix} 1+a1 & a2 & ... & an\\ a1 & 1+a2 & ... & an\\ & & ... & \\ a1 & a2 & ... & 1+an \end{vmatrix}$

 
$\boxed{\text{Bài 8}}$ Tính định thức

$D=\begin{vmatrix}1&x&x^{2}&x^{3}\\ x^{3}&x^{2}&x&1\\ 1&2x&3x^{2}&4x^{3}\\ 4x^{3}&3x^{2}&2x&1\end{vmatrix}$

 
$\boxed{\text{Bài 9}}$ Tính định thức
 

a) $\begin{vmatrix} a+b & ab & a^2+b^2 \\ b+c & bc & b^2+c^2 \\ c+a & ca & a^2+c^2 \end{vmatrix}$

 

b) $\begin{vmatrix} a & b & c & d \\ b & a & d & c \\ c & d & a & b \\ d&c &b &a \end{vmatrix}$

 
$\boxed{\text{Bài 10}}$ Tính định thức

$\begin{vmatrix} x & y & 0 & {...} & {...} & 0 \\ 0 & x & y & 0 & {...} & 0 \\ {...} & {...} & {...} & {...} & {...} & {...} \\ 0 & {...} & {...} & 0 & x & y \\ y & 0 & {...} & {...} & 0 & x \end{vmatrix}$

$\boxed{\text{Bài 11}}$ Tính định thức sau

$\left|\begin{array}{cccc}\sin\varphi_1&\sin2\varphi_1&...&\sin n\varphi_1\\ \sin\varphi_2&\sin2\varphi_2&...&\sin n\varphi_2\\ \\ ...&...&...&...\\ \\ \sin\varphi_n&\sin2\varphi_n&...&\sin n\varphi_n\end{array}\right|$

 

$\boxed{\text{Bài 12}}$ Tính định thức

 

$D=\begin{vmatrix} a_{0} & a_{1} & a_{2} & ... & a_{n}\\ -y_{1} &x_{1} &0 & ... & 0\\ 0& -y_{2} & x_{2} & ... & 0\\ .& . & . & ... & .\\ 0 & 0 & 0 & ... & x_{n} \end{vmatrix}$

 

 
$\boxed{\text{Bài 13}}$ Tính định thức sau:
 

$D=\begin{vmatrix} x_1+1 & x_1^2+1 & x_1^3+1 & \cdots & x_1^n+1\\ x_2+1 & x_2^2+1 & x_2^3+1 & \cdots & x_2^n+1\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x_n+1 & x_n^2+1 & x_n^3+1 & \dots & x_n^n+1 \end{vmatrix}$

 
$\boxed{\text{Bài 14}}$ Tính định thức

$D=\left | a_{ij} \right |$ trong đó $a_{ij}=\left | i-j \right |, 1\leq i,j\leq n.$

 
$\boxed{\text{Bài 15}}$ Tính định thức

$\begin{vmatrix} 1^{2} &2^{2} &3^{2} & ... &n^{2} \\ 2^{2} &3^{2} &4^{2} & ... &(n+1)^{2} \\ 3^{2}&4^{2} & 5^{2} & ... &(n+2)^{2} \\ ...& . ..& ... & ... & ...\\ n^{2}& (n+1)^{2} & (n+3)^{2} &...&(2n-1)^{2} \end{vmatrix}$

 
$\boxed{\text{Bài 16}}$ Chứng minh rằng
$$\begin{vmatrix}
1 & x & x^{2} &\cdots &x^{n-1} \\
1 &a_{1} &a_{1}^{2} & \cdots &a^{n-1}_{1} \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
1 & a_{n-1} & a^{2}_{n-1} & \cdots & a^{n-1}_{n-1}
\end{vmatrix}=0$$
 
$\boxed{\text{Bài 17}}$ Tính định thức $$\begin{vmatrix} 2& 1&1 & 1 & 1\\ 0 & -1& x& y &-1 \\ 0 &x &y & -1 &-1 \\ 0& y& -1& -1& x\\ 0&-1 &-1 & x & y \end{vmatrix}$$
 
$\boxed{\text{Bài 18}}$

Cho $2n$ số nguyên $a_1,a_2,...,a_n;b_1,b_2,...b_n$ thỏa mãn $$a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n=0$$

Đặt $$A=\begin{pmatrix} 1+a_1b_1 & a_1b_2 & \cdots & a_1b_n\\ a_2b_1& 1+a_2b_2 & \cdots & a_2b_n\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_nb_1 & a_nb_2 & \cdots & 1+a_nb_n \end{pmatrix}$$

Tính $|detA| $

 
$\boxed{\text{Bài 19}}$ Cho đa thức $f(x)=\frac{1}{a}x^{2}-x+1$ với $a=sin2011\sqrt{2}.cot\sqrt{2}-cos2011\sqrt{2}$ và định thức
$$D_{2011}=\begin{vmatrix} 2cos\sqrt{2} & 1 & 0 & ... & 0 & 0\\ 1 & 2cos\sqrt{2} & 1 & ... & 0 & 0\\ 0 & 1 & 2cos\sqrt{2} & ... & 0 & 0\\ ... & ... & ... & ... & ... & ...\\ 0 & 0 & 0 & ... & 1 & 2cos\sqrt{2} \end{vmatrix}$$

Tính $f(D_{2011})$

 
$\boxed{\text{Bài 20}}$ Tính định thức: $\begin{vmatrix} a & b & b & ... & b & b\\ -b & a & b & ... & b & b\\ -b & -b & a & ... & b & b\\ ...& ... & ... & ... & ... & ...\\ -b & -b & -b & ... & a & b\\ -b & -b & -b & ... & -b & a \end{vmatrix}$
 
$\boxed{\text{Bài 21}}$ Tính định thức

\[{D_n} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&1&1&{...}&1&1\\{{a_1}}&{{a_2}}&{{a_3}}&{...}&{{a_{n - 1}}}&{{a_n}}\\{a_1^2}&{a_2^2}&{a_3^2}&{...}&{a_{n - 1}^2}&{a_n^2}\\{...}&{...}&{...}&{...}&{...}&{...}\\{a_1^{n - 1}}&{a_2^{n - 1}}&{a_3^{n - 1}}&{...}&{a_{n - 1}^{n - 1}}&{a_n^{n - 1}}\\{a_1^n}&{a_2^n}&{a_3^n}&{...}&{a_{n - 1}^n}&{a_n^n}\end{array}} \right|\]
 
$\boxed{\text{Bài 22}}$ Tính:
 

a) $\begin{vmatrix} a & x & x... & x\\ x & a & x... & x\\ & & ... & \\ x & x & ... & a \end{vmatrix}$

b) $\begin{vmatrix} 1+a1 & a2 & ... & an\\ a1 & 1+a2 & ... & an\\ & & ... & \\ a1 & a2 & ... & 1+an \end{vmatrix}$

 
$\boxed{\text{Bài 23}}$ Chứng minh rằng:

 

1) $\begin{vmatrix} n^{2} & (n+1)^{2} & (n+2)^{2}\\ (n+1)^{2} & (n+2)^{2} & (n+3)^{2}\\ (n+2)^{2} & (n+3)^{2} & (n+4)^{2} \end{vmatrix}=-8$

2) $\begin{vmatrix} a+b+c & a+b & a &a \\ a+b & a+b+c & a & a\\ a & a & a+b+c & a+b\\ a & a & a+b & a+b+c \end{vmatrix}=c^{2}(2b+c)(4a+2b+c)$

 
$\boxed{\text{Bài 24}}$ Tính định thức: $D_{n}=\begin{vmatrix} \frac{2}{x} & \frac{1}{x^{2}} & 0 & 0 & ... & 0 & 0\\ 1 & \frac{2}{x} & \frac{1}{x^{2}} & 0 & ... & 0 & 0\\ 0 & 1 & \frac{2}{x} & \frac{1}{x^{2}} & ... & 0 & 0\\ ... & ... & ... & ... & ... & ... & ....\\ 0 & 0 & 0 & 0 & ... & 1 & \frac{2}{x} \end{vmatrix}$
 
$\boxed{\text{Bài 25}}$ Tính định thức:
$$D_{n}=\begin{vmatrix}a_1+x_1 & a_2 & a_3 & a_4 & ... & a_{n-1} & a_{n}\\ -x_1& x_2 & 0 & 0 & ... & 0 & 0\\ 0& -x_2 & x_3 & 0 & ... & 0 & 0\\ ...& & & & & & \\ 0& 0& 0 & 0 & ... & -x_{n-1} & x_{n}\end{vmatrix}$$
 
$\boxed{\text{Bài 26}}$ Tính định thức

a) $D=\begin{vmatrix} \sqrt{2} & \sqrt{3} & \sqrt{5} & \sqrt{3}\\ \sqrt{6} & \sqrt{21} & \sqrt{10} & -2\sqrt{3}\\ \sqrt{10} & 2\sqrt{15} & 5 & \sqrt{6}\\ 2 & 2\sqrt{10} & \sqrt{10} & \sqrt{15} \end{vmatrix}$


b) $D=\begin{vmatrix} \frac{1}{3} & -\frac{5}{2} & \frac{2}{5} & \frac{3}{2}\\ 3 & -12 & \frac{21}{5} & 15\\ \frac{2}{3} & -\frac{9}{2} & \frac{4}{5} & \frac{5}{2}\\ -\frac{1}{7} & \frac{2}{7} & -\frac{1}{7} & \frac{3}{7} \end{vmatrix}$

 

$\boxed{\text{Bài 27}}$

 

Cho ma trận:$$A=\begin{bmatrix} \binom{p}{1}&\binom{p}{2}&...&\binom{p}{n-1}&\binom{p}{n}\\1&\binom{p}{1}&...&\binom{p}{n-2}&\binom{p}{n-1}\\0&1&...&\binom{p}{n-3}&\binom{p}{n-2}\\0&0&...&1&\binom{p}{1}\end{bmatrix}$$ Tính $\det A$
 

$\boxed{\text{Bài 28}}$ Tính định thức

 

$D=\begin{vmatrix} a_{1} & x & x & \cdots & x \\ y & a_{2} & x & \cdots & x \\ y & y & a_{3} & \cdots & x \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ y & y & y & \cdots & a_{n} \end{vmatrix}$

 

$\boxed{\text{Bài 29}}$ Cho $c_{1}, c_{2},...,c_{n}$ là $n$ số thực. Xét ma trận $A=(a_{ij})_{n}$ với $a_{ij}=c_{i}c_{j}, \forall i,j=1,2,...,n$.

Tính $\det (I+A)$ với $I$ là ma trận đơn vị cấp $n$

 

$\boxed{\text{Bài 30}}$ Tính định thức $\begin{vmatrix} x_{1}+1 & x_{2}+1 ...&x_{n}+1 \\ x_{1}^{2}+1&x_{2}^{2}+1 ...&x_{n}^{2}+1\\ ...& ...&...\\ x_{1}^{n}+1&x_{2}^{n}+1 ...&x_{n}^{n}+1 \end{vmatrix}$

 

$\boxed{\text{Bài 31}}$ Cho A là ma trận vuông cấp n hệ số thực. Chứng minh rằng $$\det A=\frac{1}{n!}\det \begin{pmatrix} tr(A) & 1 & 0 & \cdots & \cdots & 0\\ tr(A^{2}) & tr(A) & 2 & 0 & \cdots & 0\\ tr(A^{3}) & tr(A^{2}) & tr(A) & 3 & \ddots & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & 0\\ tr(A^{n-1}) & tr(A^{n-2}) & \cdots & \cdots & tr(A) & n-1\\ tr(A^{n}) & tr(A^{n-1}) & \cdots & \cdots & tr(A^{2}) & tr(A) \end{pmatrix}$$

 

$\boxed{\text{Bài 32}}$ Cho định thức

 

$\Delta =\begin{vmatrix} x & 0 & 0 & \cdots & 0 & \frac{1}{n!}\\ -1 & x & 0 & \cdots & 0 & \frac{1}{n!}\\ 0 & -2 & x & \cdots & 0 & \frac{1}{n!}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & x & \frac{1}{n!}\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & -n & \frac{1}{n!} \end{vmatrix}$

Tính $\underset{n\rightarrow +\propto }{lim}\Delta$

 

$\boxed{\text{Bài 33}}$

Cho 2009 đa thức $f_{j}\left ( x \right )=a_{0,j}+a_{1,j}x+...+a_{2007,j}x^{2007}$ với $j\in \left \{ 1,2,...,2009 \right \}$ và ma trận vuông cấp 2009

$A=\begin{pmatrix}
f_{1}\left ( 1 \right ) & f_{1}\left ( 2 \right ) & ... & f_{1}\left ( 2009 \right )\\
f_{2}\left ( 1 \right ) & f_{2}\left ( 2 \right ) & ... & f_{2}\left ( 2009 \right )\\
... & ... & ... & ...\\
f_{2009}\left ( 1 \right ) & f_{2009}\left ( 2 \right ) & ... & f_{2009}\left ( 2009 \right )
\end{pmatrix}$

Hãy tính det(A).

 

$\boxed{\text{Bài 34}}$ Tính định thức $\begin{vmatrix} -a & b & c & d\\ b & -a & d & c\\ c & d & -a & b\\ d & c & b & -a \end{vmatrix}$$\begin{vmatrix} -a & b & c & d\\ b & -a & d & c\\ c & d & -a & b\\ d & c & b & -a \end{vmatrix}$

 

$\boxed{\text{Bài 35}}$ Tính định thức của ma trân A cấp $n\times n$ có hệ số

 

$a_{ij}=\frac{(2i+2j-2)!}{2^{2i+2j-2}(i+j-1)!},(i,j=1,2,...,n)$

 

 

$\boxed{\text{Bài 36}}$ Tính định thức

 

$D=\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \\ 1 & 1! & 0 & 0 & 0 & \cdots & x \\ 1 & 2 & 2! & 0 & 0 & \cdots & x^{2} \\ 1 & 3 & 3.2 & 3! & 0 & \cdots & x^{3} \\ 1 & 4 & 4.3 & 4.3.2 & 4! & \cdots & x^{4} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & n & n(n-1) & n(n-1)(n-2) & n(n-1)(n-2)(n-3) & \cdots & x^{n} \end{vmatrix}$

 

$\boxed{\text{Bài 36}}$ Tính định thức của ma trận $A=(a_{ij})_{n}$, trong đó

 

$a_{ij}=\sum_{k=1}^{n}k^{i+j}$

 

$\boxed{\text{Bài 37}}$ Với số tự nhiên $n\geq 3$, cho $\theta =\frac{2\pi }{n}$. Tính định thức của ma trận $I+A$ cấp $n\times n$, trong đó $I$ là ma trận đơn vị cấp $n$ và ma trận $A=(a_{ik})$ với

 

$a_{ik}=cos(i\theta +k\theta ),\forall i,k$

 

$\boxed{\text{Bài 38}}$ Tính định thức $\begin{vmatrix} x &1 &1 &1 \\ 1 & x & 1 &1 \\ 1& 1 &x &1 \\ 1& 1& 1& x \end{vmatrix}$

 

$\boxed{\text{Bài 39}}$ Tính định thức

$a)\:\:A=\begin{vmatrix} 1&\cos\alpha&\cos2\alpha&\cos3\alpha\\\cos\alpha&\cos2\alpha&\cos3\alpha&\cos4\alpha\\\cos2\alpha&\cos3\alpha&\cos4\alpha&\cos5\alpha\\\cos3\alpha&\cos4\alpha&\cos5\alpha&\cos6\alpha\end{vmatrix}$

 

$b)\:\: B_n=\begin{vmatrix} a_1-b_1&a_1-b_2&\cdots &a_1-b_n\\ a_2-b_1&a_2-b_2&\cdots &a_2-b_n\\\vdots &\vdots&\ddots &\vdots \\ a_n-b_1&a_n-b_2&\cdots &a_n-b_n\end{vmatrix}$

 

$\boxed{\text{Bài 40}}$ Tính định thức $\begin{vmatrix} x & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0\\ n-1 & x & 2 & \cdots & 0 & 0\\ 0 & n-2 & x & \cdots & 0 & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & x & n-1\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & x \end{vmatrix}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 05-11-2013 - 01:05

[tiwp9]

Em chao thay, em hien tai dang la sinh vien nam 1. Em vua biet duoc dien dan nay qua mot lan em tim tai lieu vao ngay 17/11/2023. Em da xem qua va theo doi tai lieu cua thay, em thay rat hay a. Thay cho em hoi nhung tai lieu nay co loi giai khong a? Em cam on thay nhieu a.

 

[vo van duc]

Mỗi bài có đường link. Em hãy tham gia thảo luận.