Cho $x_{1}, x_{2},.....,x_{100}$ số tự nhiên khác không, CMR:
Nếu $\frac{1}{\sqrt{x_{1}}}+\frac{1}{\sqrt{x_{2}}}+...+\frac{1}{\sqrt{x_{100}}}$ =20 thì ít nhất có hai số bằng nhau
Giả sử trong 100 số trên ko có 2 số nào bằng nhau, Không mất tính tổng quát ta giả sử:
$x_1 \geq x_2 \geq ....\geq x_{100}$
$\Rightarrow x_1 \geq 1, x_2 \geq 2,...., x_{100}\geq 100$
$\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{x_{1}}}+\frac{1}{\sqrt{x_{2}}}+...+\frac{1}{\sqrt{x_{100}}}\leq \frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+....+\frac{1}{\sqrt{100}}$ (1)
Lại có: $\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+....+\frac{1}{\sqrt{100}}<2\sqrt{100}-1=19$ (2)
Từ (1) và (2) $\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{x_{1}}}+\frac{1}{\sqrt{x_{2}}}+...+\frac{1}{\sqrt{x_{100}}}<20$, trái với điều giả sử.
Vậy tồn tại 2 số bằng nhau.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DarkBlood: 04-08-2013 - 11:20
Latex