Độc cô cầu bại
Cho tam giác ABC ; các đường cao AD ; BE ; CF . Đường tròn đi qua D ; E ; F cắt BC ; CA ; AB tại M ; N; P . Chứng minh các đường vuông góc với các cạnh tam giác ABC hạ từ M ; N ; P đồng quy với nhau .
P/s : theo như hình vẽ và cách chứng minh của minh thì đường tròn đi qua D ; E ; F cắt các cạnh A ; B ; C tại 3 trung điểm . Nếu ai cũng làm ra như thế thì ghi chứng minh ở đây nhé .
$$[\Psi_f(\mathbb{1}_{X_{\eta}}) ] = \sum_{\varnothing \neq J} (-1)^{\left|J \right|-1} [\mathrm{M}_{X_{\sigma},c}^{\vee}(\widetilde{D}_J^{\circ} \times_k \mathbf{G}_{m,k}^{\left|J \right|-1})] \in K_0(\mathbf{SH}_{\mathfrak{M},ct}(X_{\sigma})).$$
Thượng úy
Cho tam giác ABC ; các đường cao AD ; BE ; CF . Đường tròn đi qua D ; E ; F cắt BC ; CA ; AB tại M ; N; P . Chứng minh các đường vuông góc với các cạnh tam giác ABC hạ từ M ; N ; P đồng quy với nhau .
P/s : theo như hình vẽ và cách chứng minh của minh thì đường tròn đi qua D ; E ; F cắt các cạnh A ; B ; C tại 3 trung điểm . Nếu ai cũng làm ra như thế thì ghi chứng minh ở đây nhé .
Bây giờ nếu ta gọi $M'$ là trung điểm của $BC$, chỉ cần chứng minh được $M'$ thuộc $(DEF)$ thì ta được $M\equiv M'$, tức là $M$ là trung điểm của $BC$. Thật vậy, vì môt đường thẳng chỉ cắt đường tròn tối đa 2 điểm. Xét đường thẳng $BC$ cắt đường tròn $(DEF)$, theo đề bài thì $BC$ cắt $(DEF)$ tại hai điểm $M$ và $D$. Gỉa sử $M$ và $M'$ không trùng nhau thì ta đã chứng minh $M'$ thuộc $(DEF)$, suy ra $BC$ cắt $(DEF)$ tại 3 điểm (vô lí)
Tương tự thì $N,P$ cũng sẽ là trung điểm của $AC,AB$. Ba đường thẳng đề bài cho sẽ đồng quy tại tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.
Do vậy ở đây, ta xét điểm $M$ là trung điểm của $BC$ và ta chứng minh $M$ thuộc $(DEF)$ bằng cách chứng minh tứ giác $DFEM$ là tứ giác nội tiếp
Ta có $\widehat{FEM}=\widehat{FEB}+\widehat{BEM}$
Mà $\widehat{FCB}=\widehat{FEB}$ ($EFBC$ là tứ giác nội tiếp)
và $\widehat{BEM}=\widehat{MBE}=\widehat{DFC}$
($\widehat{BEM}=\widehat{MBE}$ là vì tam giác $BEM$ cân tại $M$ theo tính chất trung tuyến trong tam giác vuông,
$\widehat{MBE}=\widehat{DFC}$ là do tứ giác $FHDB$ nội tiếp với $H$ là trực tâm tam giác $ABC$)
Suy ra $\widehat{FEM}=\widehat{FCB}+\widehat{DFC}$
Lại có $\widehat{FDB}=\widehat{FCB}+\widehat{DFC}$ (tính chất góc ngoài tam giác)
Suy ra $\widehat{FEM}=\widehat{FDB}$
Do đó $EFDM$ là tứ giác nội tiếp (góc ngoài bằng góc đối trong)
Bài toán kết thúc
Đường tròn nói trên chính là đường tròn Euler, đường tròn Chín Điểm, đường tròn này còn đi qua trung điểm các đoạn $HA,HB,HC$ và tâm của nó là trung điểm của đoạn $OH$ với $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 05-08-2013 - 12:40
Đừng rời xa tôi vì tôi lỡ yêu người mất rồi !
Welcome to My Facebook !
Độc cô cầu bại
cách em ngắn hơn bác ạ ;
Bây giờ nếu ta gọi $M'$ là trung điểm của $BC$, chỉ cần chứng minh được $M'$ thuộc $(DEF)$ thì ta được $M\equiv M'$, tức là $M$ là trung điểm của $BC$. Thật vậy, vì môt đường thẳng chỉ cắt đường tròn tối đa 2 điểm. Xét đường thẳng $BC$ cắt đường tròn $(DEF)$, theo đề bài thì $BC$ cắt $(DEF)$ tại hai điểm $M$ và $D$. Gỉa sử $M$ và $M'$ không trùng nhau thì ta đã chứng minh $M'$ thuộc $(DEF)$, suy ra $BC$ cắt $(DEF)$ tại 3 điểm (vô lí)
Tương tự thì $N,P$ cũng sẽ là trung điểm của $AC,AB$. Ba đường thẳng đề bài cho sẽ đồng quy tại tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.
Do vậy ở đây, ta xét điểm $M$ là trung điểm của $BC$ và ta chứng minh $M$ thuộc $(DEF)$ bằng cách chứng minh tứ giác $DFEM$ là tứ giác nội tiếp
Ta có $\widehat{FEM}=\widehat{FEB}+\widehat{BEM}$
Mà $\widehat{FCB}=\widehat{FEB}$ ($EFBC$ là tứ giác nội tiếp)
và $\widehat{BEM}=\widehat{MBE}=\widehat{DFC}$
($\widehat{BEM}=\widehat{MBE}$ là vì tam giác $BEM$ cân tại $M$ theo tính chất trung tuyến trong tam giác vuông,
$\widehat{MBE}=\widehat{DFC}$ là do tứ giác $FHDB$ nội tiếp với $H$ là trực tâm tam giác $ABC$)
Suy ra $\widehat{FEM}=\widehat{FCB}+\widehat{DFC}$
Lại có $\widehat{FDB}=\widehat{FCB}+\widehat{DFC}$ (tính chất góc ngoài tam giác)
Suy ra $\widehat{FEM}=\widehat{FDB}$
Do đó $EFDM$ là tứ giác nội tiếp (góc ngoài bằng góc đối trong)
Bài toán kết thúc
Đường tròn nói trên chính là đường tròn Euler, đường tròn Chín Điểm, đường tròn này còn đi qua trung điểm các đoạn $HA,HB,HC$ và tâm của nó là trung điểm của đoạn $OH$ với $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.
$$[\Psi_f(\mathbb{1}_{X_{\eta}}) ] = \sum_{\varnothing \neq J} (-1)^{\left|J \right|-1} [\mathrm{M}_{X_{\sigma},c}^{\vee}(\widetilde{D}_J^{\circ} \times_k \mathbf{G}_{m,k}^{\left|J \right|-1})] \in K_0(\mathbf{SH}_{\mathfrak{M},ct}(X_{\sigma})).$$
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
Community Forum Software by IP.Board
Licensed to: Diễn đàn Toán học
